Fatoração com substituição

RKA4JL - Fala, galera
da Khan Academy!

Então, neste vídeo continuaremos a falar
um pouco sobre fatoração polinomial.

Desta vez nós iremos abordar a fatoração
por substituição. Vamos lá.

O seguinte exercício nos pede
que fatoremos a expressão

(x mais 7)² mais 2y²
vezes (x mais 7) mais y⁴.

O exercício também nos diz que
podemos fatorar a expressão como (u mais v)²,

onde "u" e "v"
são valores constantes

ou expressões de apenas
uma variável cada.

Então, neste momento eu peço
que você pause o vídeo

e tente resolver
por conta própria.

Vamos lá. Primeiramente, nós temos que olhar a
expressão polinomial dada pelo exercício

e nos perguntar como nós a vemos
em termos de (u mais v)².

Bom, um jeito de facilitar
o desenvolvimento desse exercício

é desenvolver este
binômio aqui, (u mais v)².

Nós já vimos muitas vezes
esse tipo de expressão.

Então, esse (u mais v)² será u²

mais 2 vezes o primeiro vezes segundo,
ou seja, mais 2uv,

mais 2 vezes o
quadrado do segundo, v².

A pergunta que fica é: essa expressão aqui
do quadrado do binômio

realmente corresponde de alguma forma
ao nosso polinômio?

Podemos começar a ver que sim
a partir deste primeiro termo aqui,

já que se (x mais 7)²
for igual a u²,

então teremos que u
é igual a x mais 7.

Aplicando essa mesma linha de raciocínio
para o último termo,

nós chegaremos
à nossa resposta.

Então de acordo com o desenvolvimento
do nosso binômio aqui de cima,

este último termo, y⁴,
deve ser igual a v².

Então temos que o nosso v será y².

Agora esse método de fatoração
nos permite, no caso do binômio,

confirmar os nossos resultados
com o termo aqui no meio,

já que sabemos que esse termo aqui
deve ser igual a 2 vezes u vezes v,

que é justamente o 2y²
vezes (x mais 7).

Então concluímos aqui
que essa expressão polinomial, de fato,

corresponde ao padrão
proposto pelo exercício.

Agora, usando esse u e esse v que nós achamos,
podemos fatorar a expressão.

Então usando o binômio como base,
teremos (x mais 7)

(e eu até vou utilizar e parênteses aqui)

mais y², tudo elevado ao quadrado.

Vale lembrar que nós poderíamos escrever essa função
sem utilizar os parênteses, pois seria a mesma coisa.

Vamos, então, fazer outro exemplo.

Aqui novamente o exercício nos propõe
a fatoração de uma expressão,

expressão essa que é
4x² menos 9y².

Só que dessa vez o exercício nos diz

que a fatoração pode ser realizada
como (u mais v) vezes (u menos v),

e não pelo quadrado binômio,
como foi lá no exemplo anterior,

e lembrando que u e v são valores constantes
ou expressões de apenas uma variável.

Como sempre, eu peço que
você pause esse vídeo

e tente resolver por conta própria.

Pronto? Vamos lá!

Assim como no exercício anterior,
nós iremos olhar primeiro para essa expressão aqui

e tentar ver como ela encaixa na expressão
em função de u e v que o exercício nos deu.

Sabemos que essa expressão
que o exercício nos deu

nada mais é do que
uma diferença de quadrados,

já que essa multiplicação vai dar justamente
a diferença do quadrado de u pelo quadrado de v.

Então, sabendo disso,
podemos dizer que 4x² será u²

e 9y² será v².

Com isso, u é igual 2x,
que a raiz quadrada de 4x²,

e da mesma forma v será 3y.

Com isso temos a primeira parte
do exercício feita,

então podemos agora
realmente fatorar a expressão.

(u mais v) seria (2x mais 3y)

e (u menos v) seria (2 x menos 3y).

Então está aí a forma fatorada da
expressão polinomial que o exercício nos deu:

(2x mais 3y) vezes (2 x menos 3y).

Então, galera, neste vídeo
nosso fatoramos duas expressões

um tanto quanto complexas
de forma muito fácil

utilizando a fatoração
pelo método da substituição.

Então é isso, galera.
Nós nos vemos aqui pela Khan!