Calculating dot and cross products with unit vector notation

Bundan əvvəlki videolarda skalyar və

vektorial hasil haqqında danışanda tərifi

məsafə vurulsun aralarındakı bucağın sinus

ya da kosinusu kimi vermişdik.

Bəs, əgər vektorlar vizual olaraq verilməsə

ya da aralarındakı bucaq verilməsə,

skalyar və vektorial hasili necə tapa bilərik?

Gəlin, ilk növbədə düsturları

yazaq.

a və b-nin skalyar hasili modulda a

vurulsun modulda b vurulsun aralarındakı

bucağın kosinusuna bərabərdir.

a və b-nin vektorial hasili isə bərabərdir

modulda a vurulsun modulda b vurulsun

aralarındakı bucağın sinusu vurulsun

hər iki vektora perpendikulyar olan normal vektor.

Sağ əl qaydası ilə

bunun hansı iki vektor olduğunu

bilmək olar.

Bəs, əgər aralarındakı bucaq, yəni teta

verilməzsə, onda necə?

Məsələn, gəlin a vektorunu toplananlarına

ayıraq.

Karteziyan koordinat sistemində,

bu vektor x, y və z komponentlərə bölünür.

Gəlin deyək, a vektoru 5i çıxılsın

6j üstəgəl 3k-ya bərabərdir.

i, j və k uyğun olaraq x, y və z istiqamətindəki

vahid vektorlardır.

Burada 5 vektorun x oxu istiqamətində,

mənfi 6 ,y oxu istiqamətində,

3 isə z oxu istiqamətində

getdiyi yolu göstərir.

Bunu daha yaxşı qavramaq üçün

qrafik şəklində də göstərmək mümkündür.

Amma, indi gəlin

sadəcə formul üzərindən gedək.

Keçək b vektoruna. B vektorunu

mənfi 2i

üstəgəl 7j üstəgəl 4k kimi yazaq.

Bunu qrafiklə də

göstərmək mümkündür və əgər kompüterin

köməyi ilə vektorları modelləşdirsək,

sözsüz, bu üsuldan istifadə edəcəyik.

Vektorları toplamaq üçün onları x, y və z

komponentlərinə böləcəyik.

Və sonda uyğun komponentləri toplayacağıq.

Bəs, əgər onların vektorial yaxud skalyar

hasilini tapmaq
lazım olsa necə?

İndi isə bunun necə hesablandığını

göstərəcəyəm.

Vektor bu şəkildə verildikdə skalyar

hasili tapmaq çox asandır.

Bu tip vektorlar adətən

mötərizəli şəkildə yazılır.

Yəni bunu 5, mənfi 6 və 3 kimi yazmaq olar.

Bunlar x, y və z istiqamətindəki qiymətlərdir.

Bu iki yazılış forması arasında elə də

fərq yoxdur.

b vektorunu isə mənfi 2, 7 və 4

kimi yaza bilərik.

Gəlin indi a və b vektorlarının skalyar

hasilinin necə tapıldığına baxaq.

Skalyar hasili tapmaq üçün edəcəyimiz

tək şey bu iki vektorun i, j və z

komponentlərini ayrı-ayrılıqda bir-birinə

vurub toplamaqdır.

Yəni, 5 dəfə mənfi 2 üstəgəl
mənfi 6 dəfə 7 üstəgəl 3 dəfə 4

bərabərdir mənfi 10 çıx 42 üstəgəl 12

və bu da mənfi 52 üstəgəl 12 bərabərdir mənfi 40 edir.

Bu qədər.

Cavab sadəcə ədəddir.

Bunu üç ölçülü qrafikdə də çəkərək

niyə mənfi 40 alındığını görə bilərik.

İki vektor əks istiqamətdə hərəkət edir və

onların bir-birinə nəzərən proyeksiyaları da

əksinə olacaq.

Məhz buna görə mənfi ədəd aldıq.

Məqsədimiz skalyar hasili hesablamaq idi

və göründüyü kimi bunu tapmaq olduqca

sadədir.

İlk öncə x komponentlərini, daha sonra

y komponentlərini və sonda z komponentlərini

bir-birinə vurub toplayırıq.

Vektorlar belə verildikdə və skalyar

hasili tapmaq soruşulduqda bu sadə üsulla

dəqiq cavab ala bilərik.

Lakin, vektorial hasili tapmaq lazım

gəldikdə işimiz bir qədər

çətinləşir.

Əlbəttə, skalyar hasili tapmaq üçün başqa

üsullar da var. Vektorların qiymətləri verildiyi

halda triqonometrik yolla tetanı tapıb

bu düsturda yerinə qoyaraq cavabı

ala bilərik.

Ancaq göründüyü kimi bu üsul

daha asandır.

İndi isə gəlin, vektorial hasilin

necə hesablandığına baxaq.

Qeyd edim ki, mən bunun sadəcə necə

tapıldığını göstərəcəyəm, isbatını yox.

Sonrakı videolarda bunu izah edəcəyəm,

lakin indi mövzudan kənara çıxmayaq.

Vektorial hasili tapmaq nisbətən çətindir.

Karteziyan sistemində verilmiş vektorların

vektorial hasili başqa üsulla hesablanır.

a-nın b-yə

vektorial hasili

matris üsulu ilə tapılır.

Edəcəyimiz şey determinantı almaqdır.

İlk öncə determinant xəttini çəkək.

Bu sadəcə vektorial

hasilin necə tapıldığını göstərir,

onun mahiyyətini izah eləmir.

Mahiyyətini bu düsturdan anlamaq olar.

Vektorlardan neçəsi bir-birinə perpendikulyardırsa,

həmin vektorları bir-birinə vuraraq

sağ əl qaydası ilə istiqaməti

təyin etmək olar.

Lakin, vektor toplananlarına ayrılıbsa,

yuxarıda i, j və k vahid vektorlarını

yazmalısınız.

Daha sonra ilkin vektorun qiymətlərini

yazırıq.

5, mənfi 6, 3

Daha sonra b vektorunun qiymətləri, yəni

mənfi 2, 7 və 4.

İndi 3-ün 3-ə matrisin determinantını

tapmağa çalışaq.

Bu bərabərdir ilk öncə i minoru,

matrisin i minoru, əgər bu sütun və sətri

silsək, yerdə qalan determinanta bərabərdir,

yəni, mənfi 6, 3, 7, 4 vurulsun i, (ola bilsin,

determinant mövzusu yadınızdan çıxa bilər,)

bəlkə bu misal üzərində işləmək yaddaşınızı

təzələyər,
deməli, bu müsbət, mənfi, müsbətdir.

Daha sonra mənfi j minoru.

matrisin j minoru nədir?

Əgər, j-nin sətir və sütunlarını silsək,

5, 3, mənfi 2 və 4-dür.

Deməli, biz sadəcə j-nin olduğu sətir və

sütunları sildik və yerdə nə qaldısa j-nin

minoru sayılır.

Və vurulsun j.

Üstəgəl, gəlin qıraqda yazaq,

üstəgəl, matrisin k minoru.

k minoru,

k-nın dayandığı sətir və sütunları silsək,

5, mənfi 6, mənfi 2 və 7 vurulsun k olur.

İndi, gəlin hesablayaq.

İcazə verin buranı silim.

Düşünürəm ki, artıq buna

ehtiyacımız yoxdur.

İndi nə etməliyik?

Gəlin bunu bura gətirək.

Bu 2-in 2-yə matrisi asandır.

Bu , mənfi 6 vurulsun 4 çıxılsın 7

vurulsun 3 -ə bərabərdir.

Mənfi 24 çıxılsın 21 vurulsun i,
çıxılsın 20 çıxılsın

mənfi 2 dəfə 3, yəni çıxılsın mənfi 6 j üstəgəl 5 dəfə 7.35

çıxılsın mənfi 2 dəfə mənfi 6.

Bu da çıxılsın müsbət 12k edir.

Bunu sadələşdirsək, mənfi 24 çıx 21

bərabərdir mənfi 45, daha sonra

20 çıxılsın mənfi 6 nə edir?

Deməli, bu 20 üstəgəl 6 deməkdir, yəni 26.

Burda da mənfi işarəsi var,

yəni mənfi 26j.

Və sonda 35 çıxılsın 12 bərabərdir 23.

Üstəgəl 23k.

Vektorial hasili tapdıq.

Maraqlısı budur ki, əgər bu vektoru

üç ölçülü qrafikdə çəksək, görərik ki,

mənfi 45 i çıxılsın 26 j üstəgəl 23 k vektoru

bu vektorların hər ikisinə perpendikulyardır.

Artıq videonun sonuna gəlib çatdıq.

Gələn videolarda vektor qrafik

proqramlarda bunları tətbiq edərik.

Düşünürəm ki, həm göstərdiyim üsulla

vektorial və skalyar hasili tapmaq həm də

onları qrafikdə göstərmək

və işə yaradığını görmək maraqlı olar.

Qrafiklə həmçinin alınan vektorun bu iki vektora

perpendikulyar olduğunu və sağ əl qaydası ilə

tapdığımız istiqamətin düzgünlüyünü

yoxlamaq olar.