Bundan əvvəlki videolarda skalyar və
vektorial hasil haqqında danışanda tərifi
məsafə vurulsun aralarındakı bucağın sinus
ya da kosinusu kimi vermişdik.
Bəs, əgər vektorlar vizual olaraq verilməsə
ya da aralarındakı bucaq verilməsə,
skalyar və vektorial hasili necə tapa bilərik?
Gəlin, ilk növbədə düsturları
yazaq.
a və b-nin skalyar hasili modulda a
vurulsun modulda b vurulsun aralarındakı
bucağın kosinusuna bərabərdir.
a və b-nin vektorial hasili isə bərabərdir
modulda a vurulsun modulda b vurulsun
aralarındakı bucağın sinusu vurulsun
hər iki vektora perpendikulyar olan normal vektor.
Sağ əl qaydası ilə
bunun hansı iki vektor olduğunu
bilmək olar.
Bəs, əgər aralarındakı bucaq, yəni teta
verilməzsə, onda necə?
Məsələn, gəlin a vektorunu toplananlarına
ayıraq.
Karteziyan koordinat sistemində,
bu vektor x, y və z komponentlərə bölünür.
Gəlin deyək, a vektoru 5i çıxılsın
6j üstəgəl 3k-ya bərabərdir.
i, j və k uyğun olaraq x, y və z istiqamətindəki
vahid vektorlardır.
Burada 5 vektorun x oxu istiqamətində,
mənfi 6 ,y oxu istiqamətində,
3 isə z oxu istiqamətində
getdiyi yolu göstərir.
Bunu daha yaxşı qavramaq üçün
qrafik şəklində də göstərmək mümkündür.
Amma, indi gəlin
sadəcə formul üzərindən gedək.
Keçək b vektoruna. B vektorunu
mənfi 2i
üstəgəl 7j üstəgəl 4k kimi yazaq.
Bunu qrafiklə də
göstərmək mümkündür və əgər kompüterin
köməyi ilə vektorları modelləşdirsək,
sözsüz, bu üsuldan istifadə edəcəyik.
Vektorları toplamaq üçün onları x, y və z
komponentlərinə böləcəyik.
Və sonda uyğun komponentləri toplayacağıq.
Bəs, əgər onların vektorial yaxud skalyar
hasilini tapmaq lazım olsa necə?
İndi isə bunun necə hesablandığını
göstərəcəyəm.
Vektor bu şəkildə verildikdə skalyar
hasili tapmaq çox asandır.
Bu tip vektorlar adətən
mötərizəli şəkildə yazılır.
Yəni bunu 5, mənfi 6 və 3 kimi yazmaq olar.
Bunlar x, y və z istiqamətindəki qiymətlərdir.
Bu iki yazılış forması arasında elə də
fərq yoxdur.
b vektorunu isə mənfi 2, 7 və 4
kimi yaza bilərik.
Gəlin indi a və b vektorlarının skalyar
hasilinin necə tapıldığına baxaq.
Skalyar hasili tapmaq üçün edəcəyimiz
tək şey bu iki vektorun i, j və z
komponentlərini ayrı-ayrılıqda bir-birinə
vurub toplamaqdır.
Yəni, 5 dəfə mənfi 2 üstəgəl mənfi 6 dəfə 7 üstəgəl 3 dəfə 4
bərabərdir mənfi 10 çıx 42 üstəgəl 12
və bu da mənfi 52 üstəgəl 12 bərabərdir mənfi 40 edir.
Bu qədər.
Cavab sadəcə ədəddir.
Bunu üç ölçülü qrafikdə də çəkərək
niyə mənfi 40 alındığını görə bilərik.
İki vektor əks istiqamətdə hərəkət edir və
onların bir-birinə nəzərən proyeksiyaları da
əksinə olacaq.
Məhz buna görə mənfi ədəd aldıq.
Məqsədimiz skalyar hasili hesablamaq idi
və göründüyü kimi bunu tapmaq olduqca
sadədir.
İlk öncə x komponentlərini, daha sonra
y komponentlərini və sonda z komponentlərini
bir-birinə vurub toplayırıq.
Vektorlar belə verildikdə və skalyar
hasili tapmaq soruşulduqda bu sadə üsulla
dəqiq cavab ala bilərik.
Lakin, vektorial hasili tapmaq lazım
gəldikdə işimiz bir qədər
çətinləşir.
Əlbəttə, skalyar hasili tapmaq üçün başqa
üsullar da var. Vektorların qiymətləri verildiyi
halda triqonometrik yolla tetanı tapıb
bu düsturda yerinə qoyaraq cavabı
ala bilərik.
Ancaq göründüyü kimi bu üsul
daha asandır.
İndi isə gəlin, vektorial hasilin
necə hesablandığına baxaq.
Qeyd edim ki, mən bunun sadəcə necə
tapıldığını göstərəcəyəm, isbatını yox.
Sonrakı videolarda bunu izah edəcəyəm,
lakin indi mövzudan kənara çıxmayaq.
Vektorial hasili tapmaq nisbətən çətindir.
Karteziyan sistemində verilmiş vektorların
vektorial hasili başqa üsulla hesablanır.
a-nın b-yə
vektorial hasili
matris üsulu ilə tapılır.
Edəcəyimiz şey determinantı almaqdır.
İlk öncə determinant xəttini çəkək.
Bu sadəcə vektorial
hasilin necə tapıldığını göstərir,
onun mahiyyətini izah eləmir.
Mahiyyətini bu düsturdan anlamaq olar.
Vektorlardan neçəsi bir-birinə perpendikulyardırsa,
həmin vektorları bir-birinə vuraraq
sağ əl qaydası ilə istiqaməti
təyin etmək olar.
Lakin, vektor toplananlarına ayrılıbsa,
yuxarıda i, j və k vahid vektorlarını
yazmalısınız.
Daha sonra ilkin vektorun qiymətlərini
yazırıq.
5, mənfi 6, 3
Daha sonra b vektorunun qiymətləri, yəni
mənfi 2, 7 və 4.
İndi 3-ün 3-ə matrisin determinantını
tapmağa çalışaq.
Bu bərabərdir ilk öncə i minoru,
matrisin i minoru, əgər bu sütun və sətri
silsək, yerdə qalan determinanta bərabərdir,
yəni, mənfi 6, 3, 7, 4 vurulsun i, (ola bilsin,
determinant mövzusu yadınızdan çıxa bilər,)
bəlkə bu misal üzərində işləmək yaddaşınızı
təzələyər, deməli, bu müsbət, mənfi, müsbətdir.
Daha sonra mənfi j minoru.
matrisin j minoru nədir?
Əgər, j-nin sətir və sütunlarını silsək,
5, 3, mənfi 2 və 4-dür.
Deməli, biz sadəcə j-nin olduğu sətir və
sütunları sildik və yerdə nə qaldısa j-nin
minoru sayılır.
Və vurulsun j.
Üstəgəl, gəlin qıraqda yazaq,
üstəgəl, matrisin k minoru.
k minoru,
k-nın dayandığı sətir və sütunları silsək,
5, mənfi 6, mənfi 2 və 7 vurulsun k olur.
İndi, gəlin hesablayaq.
İcazə verin buranı silim.
Düşünürəm ki, artıq buna
ehtiyacımız yoxdur.
İndi nə etməliyik?
Gəlin bunu bura gətirək.
Bu 2-in 2-yə matrisi asandır.
Bu , mənfi 6 vurulsun 4 çıxılsın 7
vurulsun 3 -ə bərabərdir.
Mənfi 24 çıxılsın 21 vurulsun i, çıxılsın 20 çıxılsın
mənfi 2 dəfə 3, yəni çıxılsın mənfi 6 j üstəgəl 5 dəfə 7.35
çıxılsın mənfi 2 dəfə mənfi 6.
Bu da çıxılsın müsbət 12k edir.
Bunu sadələşdirsək, mənfi 24 çıx 21
bərabərdir mənfi 45, daha sonra
20 çıxılsın mənfi 6 nə edir?
Deməli, bu 20 üstəgəl 6 deməkdir, yəni 26.
Burda da mənfi işarəsi var,
yəni mənfi 26j.
Və sonda 35 çıxılsın 12 bərabərdir 23.
Üstəgəl 23k.
Vektorial hasili tapdıq.
Maraqlısı budur ki, əgər bu vektoru
üç ölçülü qrafikdə çəksək, görərik ki,
mənfi 45 i çıxılsın 26 j üstəgəl 23 k vektoru
bu vektorların hər ikisinə perpendikulyardır.
Artıq videonun sonuna gəlib çatdıq.
Gələn videolarda vektor qrafik
proqramlarda bunları tətbiq edərik.
Düşünürəm ki, həm göstərdiyim üsulla
vektorial və skalyar hasili tapmaq həm də
onları qrafikdə göstərmək
və işə yaradığını görmək maraqlı olar.
Qrafiklə həmçinin alınan vektorun bu iki vektora
perpendikulyar olduğunu və sağ əl qaydası ilə
tapdığımız istiqamətin düzgünlüyünü
yoxlamaq olar.