1 00:00:00,760 --> 00:00:03,130 Bundan əvvəlki videolarda skalyar və 2 00:00:03,130 --> 00:00:06,440 vektorial hasil haqqında danışanda tərifi 3 00:00:06,440 --> 00:00:08,710 məsafə vurulsun aralarındakı bucağın sinus 4 00:00:08,710 --> 00:00:09,710 ya da kosinusu kimi vermişdik. 5 00:00:09,710 --> 00:00:12,430 Bəs, əgər vektorlar vizual olaraq verilməsə 6 00:00:12,430 --> 00:00:14,210 ya da aralarındakı bucaq verilməsə, 7 00:00:14,210 --> 00:00:17,240 skalyar və vektorial hasili necə tapa bilərik? 8 00:00:17,240 --> 00:00:19,160 Gəlin, ilk növbədə düsturları 9 00:00:19,160 --> 00:00:20,000 yazaq. 10 00:00:20,000 --> 00:00:26,710 a və b-nin skalyar hasili modulda a 11 00:00:26,710 --> 00:00:31,610 vurulsun modulda b vurulsun aralarındakı 12 00:00:31,610 --> 00:00:34,200 bucağın kosinusuna bərabərdir. 13 00:00:34,200 --> 00:00:39,730 a və b-nin vektorial hasili isə bərabərdir 14 00:00:39,730 --> 00:00:44,670 modulda a vurulsun modulda b vurulsun 15 00:00:44,670 --> 00:00:48,360 aralarındakı bucağın sinusu vurulsun 16 00:00:48,360 --> 00:00:50,130 hər iki vektora perpendikulyar olan normal vektor. 17 00:00:50,130 --> 00:00:53,750 Sağ əl qaydası ilə 18 00:00:53,750 --> 00:00:55,500 bunun hansı iki vektor olduğunu 19 00:00:55,500 --> 00:00:56,620 bilmək olar. 20 00:00:56,620 --> 00:01:00,170 Bəs, əgər aralarındakı bucaq, yəni teta 21 00:01:00,170 --> 00:01:01,320 verilməzsə, onda necə? 22 00:01:01,320 --> 00:01:04,760 Məsələn, gəlin a vektorunu toplananlarına 23 00:01:04,760 --> 00:01:09,990 ayıraq. 24 00:01:09,990 --> 00:01:12,090 Karteziyan koordinat sistemində, 25 00:01:12,090 --> 00:01:16,270 bu vektor x, y və z komponentlərə bölünür. 26 00:01:16,270 --> 00:01:23,580 Gəlin deyək, a vektoru 5i çıxılsın 27 00:01:23,580 --> 00:01:31,890 6j üstəgəl 3k-ya bərabərdir. 28 00:01:34,740 --> 00:01:37,790 i, j və k uyğun olaraq x, y və z istiqamətindəki 29 00:01:37,790 --> 00:01:38,310 vahid vektorlardır. 30 00:01:38,310 --> 00:01:40,700 Burada 5 vektorun x oxu istiqamətində, 31 00:01:40,700 --> 00:01:43,400 mənfi 6 ,y oxu istiqamətində, 32 00:01:43,400 --> 00:01:45,890 3 isə z oxu istiqamətində 33 00:01:45,890 --> 00:01:47,040 getdiyi yolu göstərir. 34 00:01:47,040 --> 00:01:48,960 Bunu daha yaxşı qavramaq üçün 35 00:01:48,960 --> 00:01:51,370 qrafik şəklində də göstərmək mümkündür. 36 00:01:51,370 --> 00:01:52,360 Amma, indi gəlin 37 00:01:52,360 --> 00:01:53,830 sadəcə formul üzərindən gedək. 38 00:01:53,830 --> 00:02:00,100 Keçək b vektoruna. B vektorunu 39 00:02:00,100 --> 00:02:04,170 mənfi 2i 40 00:02:04,170 --> 00:02:14,480 üstəgəl 7j üstəgəl 4k kimi yazaq. 41 00:02:14,480 --> 00:02:15,300 Bunu qrafiklə də 42 00:02:15,300 --> 00:02:19,030 göstərmək mümkündür və əgər kompüterin 43 00:02:19,030 --> 00:02:22,270 köməyi ilə vektorları modelləşdirsək, 44 00:02:22,270 --> 00:02:23,510 sözsüz, bu üsuldan istifadə edəcəyik. 45 00:02:23,510 --> 00:02:25,690 Vektorları toplamaq üçün onları x, y və z 46 00:02:25,690 --> 00:02:26,780 komponentlərinə böləcəyik. 47 00:02:26,780 --> 00:02:28,600 Və sonda uyğun komponentləri toplayacağıq. 48 00:02:28,600 --> 00:02:31,210 Bəs, əgər onların vektorial yaxud skalyar 49 00:02:31,210 --> 00:02:32,340 hasilini tapmaq lazım olsa necə? 50 00:02:32,340 --> 00:02:34,580 İndi isə bunun necə hesablandığını 51 00:02:34,580 --> 00:02:35,400 göstərəcəyəm. 52 00:02:35,400 --> 00:02:38,100 Vektor bu şəkildə verildikdə skalyar 53 00:02:38,100 --> 00:02:39,330 hasili tapmaq çox asandır. 54 00:02:39,330 --> 00:02:40,880 Bu tip vektorlar adətən 55 00:02:40,880 --> 00:02:42,360 mötərizəli şəkildə yazılır. 56 00:02:42,360 --> 00:02:46,955 Yəni bunu 5, mənfi 6 və 3 kimi yazmaq olar. 57 00:02:46,955 --> 00:02:49,455 Bunlar x, y və z istiqamətindəki qiymətlərdir. 58 00:02:49,455 --> 00:02:53,170 Bu iki yazılış forması arasında elə də 59 00:02:53,170 --> 00:02:54,270 fərq yoxdur. 60 00:02:54,270 --> 00:02:57,360 b vektorunu isə mənfi 2, 7 və 4 61 00:02:57,360 --> 00:02:58,380 kimi yaza bilərik. 62 00:02:58,380 --> 00:03:00,360 Gəlin indi a və b vektorlarının skalyar 63 00:03:00,360 --> 00:03:05,430 hasilinin necə tapıldığına baxaq. 64 00:03:08,110 --> 00:03:10,670 Skalyar hasili tapmaq üçün edəcəyimiz 65 00:03:10,670 --> 00:03:15,410 tək şey bu iki vektorun i, j və z 66 00:03:15,410 --> 00:03:18,270 komponentlərini ayrı-ayrılıqda bir-birinə 67 00:03:18,270 --> 00:03:20,210 vurub toplamaqdır. 68 00:03:20,210 --> 00:03:34,350 Yəni, 5 dəfə mənfi 2 üstəgəl mənfi 6 dəfə 7 üstəgəl 3 dəfə 4 69 00:03:34,350 --> 00:03:45,260 bərabərdir mənfi 10 çıx 42 üstəgəl 12 70 00:03:45,260 --> 00:03:52,020 və bu da mənfi 52 üstəgəl 12 bərabərdir mənfi 40 edir. 71 00:03:52,020 --> 00:03:52,460 Bu qədər. 72 00:03:52,460 --> 00:03:54,840 Cavab sadəcə ədəddir. 73 00:03:54,840 --> 00:03:57,090 Bunu üç ölçülü qrafikdə də çəkərək 74 00:03:57,090 --> 00:04:00,980 niyə mənfi 40 alındığını görə bilərik. 75 00:04:00,980 --> 00:04:03,600 İki vektor əks istiqamətdə hərəkət edir və 76 00:04:03,600 --> 00:04:05,680 onların bir-birinə nəzərən proyeksiyaları da 77 00:04:05,680 --> 00:04:06,070 əksinə olacaq. 78 00:04:06,070 --> 00:04:07,770 Məhz buna görə mənfi ədəd aldıq. 79 00:04:11,000 --> 00:04:13,030 Məqsədimiz skalyar hasili hesablamaq idi 80 00:04:13,030 --> 00:04:15,050 və göründüyü kimi bunu tapmaq olduqca 81 00:04:15,050 --> 00:04:15,900 sadədir. 82 00:04:15,900 --> 00:04:18,930 İlk öncə x komponentlərini, daha sonra 83 00:04:18,930 --> 00:04:22,029 y komponentlərini və sonda z komponentlərini 84 00:04:22,029 --> 00:04:23,450 bir-birinə vurub toplayırıq. 85 00:04:23,450 --> 00:04:25,710 Vektorlar belə verildikdə və skalyar 86 00:04:25,710 --> 00:04:28,470 hasili tapmaq soruşulduqda bu sadə üsulla 87 00:04:28,470 --> 00:04:33,680 dəqiq cavab ala bilərik. 88 00:04:33,680 --> 00:04:37,390 Lakin, vektorial hasili tapmaq lazım 89 00:04:37,390 --> 00:04:40,160 gəldikdə işimiz bir qədər 90 00:04:40,160 --> 00:04:41,490 çətinləşir. 91 00:04:41,490 --> 00:04:43,020 Əlbəttə, skalyar hasili tapmaq üçün başqa 92 00:04:43,020 --> 00:04:44,590 üsullar da var. Vektorların qiymətləri verildiyi 93 00:04:44,590 --> 00:04:49,470 halda triqonometrik yolla tetanı tapıb 94 00:04:49,470 --> 00:04:51,770 bu düsturda yerinə qoyaraq cavabı 95 00:04:51,770 --> 00:04:52,370 ala bilərik. 96 00:04:52,370 --> 00:04:56,230 Ancaq göründüyü kimi bu üsul 97 00:04:56,230 --> 00:04:56,797 daha asandır. 98 00:04:57,350 --> 00:04:59,140 İndi isə gəlin, vektorial hasilin 99 00:04:59,140 --> 00:05:02,570 necə hesablandığına baxaq. 100 00:05:02,570 --> 00:05:04,450 Qeyd edim ki, mən bunun sadəcə necə 101 00:05:04,450 --> 00:05:06,230 tapıldığını göstərəcəyəm, isbatını yox. 102 00:05:06,230 --> 00:05:09,370 Sonrakı videolarda bunu izah edəcəyəm, 103 00:05:09,370 --> 00:05:11,710 lakin indi mövzudan kənara çıxmayaq. 104 00:05:11,710 --> 00:05:15,270 Vektorial hasili tapmaq nisbətən çətindir. 105 00:05:15,270 --> 00:05:18,210 Karteziyan sistemində verilmiş vektorların 106 00:05:18,210 --> 00:05:20,290 vektorial hasili başqa üsulla hesablanır. 107 00:05:20,290 --> 00:05:22,700 a-nın b-yə 108 00:05:22,700 --> 00:05:23,760 vektorial hasili 109 00:05:23,760 --> 00:05:27,530 matris üsulu ilə tapılır. 110 00:05:27,530 --> 00:05:31,850 Edəcəyimiz şey determinantı almaqdır. 111 00:05:31,850 --> 00:05:34,120 İlk öncə determinant xəttini çəkək. 112 00:05:34,120 --> 00:05:35,190 Bu sadəcə vektorial 113 00:05:35,190 --> 00:05:37,090 hasilin necə tapıldığını göstərir, 114 00:05:37,090 --> 00:05:39,240 onun mahiyyətini izah eləmir. 115 00:05:39,240 --> 00:05:41,690 Mahiyyətini bu düsturdan anlamaq olar. 116 00:05:41,690 --> 00:05:44,010 Vektorlardan neçəsi bir-birinə perpendikulyardırsa, 117 00:05:44,010 --> 00:05:45,050 həmin vektorları bir-birinə vuraraq 118 00:05:45,050 --> 00:05:47,210 sağ əl qaydası ilə istiqaməti 119 00:05:47,210 --> 00:05:48,360 təyin etmək olar. 120 00:05:48,360 --> 00:05:51,380 Lakin, vektor toplananlarına ayrılıbsa, 121 00:05:51,380 --> 00:05:55,763 yuxarıda i, j və k vahid vektorlarını 122 00:05:55,763 --> 00:06:00,080 yazmalısınız. 123 00:06:00,080 --> 00:06:02,230 Daha sonra ilkin vektorun qiymətlərini 124 00:06:02,230 --> 00:06:03,560 yazırıq. 125 00:06:03,560 --> 00:06:09,550 5, mənfi 6, 3 126 00:06:09,550 --> 00:06:12,320 Daha sonra b vektorunun qiymətləri, yəni 127 00:06:12,320 --> 00:06:16,970 mənfi 2, 7 və 4. 128 00:06:16,970 --> 00:06:19,880 İndi 3-ün 3-ə matrisin determinantını 129 00:06:19,880 --> 00:06:21,350 tapmağa çalışaq. 130 00:06:21,350 --> 00:06:25,930 Bu bərabərdir ilk öncə i minoru, 131 00:06:25,930 --> 00:06:28,460 matrisin i minoru, əgər bu sütun və sətri 132 00:06:28,460 --> 00:06:31,920 silsək, yerdə qalan determinanta bərabərdir, 133 00:06:31,920 --> 00:06:40,760 yəni, mənfi 6, 3, 7, 4 vurulsun i, (ola bilsin, 134 00:06:40,760 --> 00:06:42,430 determinant mövzusu yadınızdan çıxa bilər,) 135 00:06:42,430 --> 00:06:47,770 bəlkə bu misal üzərində işləmək yaddaşınızı 136 00:06:47,770 --> 00:06:50,590 təzələyər, deməli, bu müsbət, mənfi, müsbətdir. 137 00:06:50,590 --> 00:06:53,550 Daha sonra mənfi j minoru. 138 00:06:53,550 --> 00:06:55,500 matrisin j minoru nədir? 139 00:06:55,500 --> 00:06:57,470 Əgər, j-nin sətir və sütunlarını silsək, 140 00:06:57,470 --> 00:07:01,065 5, 3, mənfi 2 və 4-dür. 141 00:07:05,030 --> 00:07:07,650 Deməli, biz sadəcə j-nin olduğu sətir və 142 00:07:07,650 --> 00:07:09,770 sütunları sildik və yerdə nə qaldısa j-nin 143 00:07:09,770 --> 00:07:11,470 minoru sayılır. 144 00:07:11,470 --> 00:07:13,420 Və vurulsun j. 145 00:07:13,420 --> 00:07:18,136 Üstəgəl, gəlin qıraqda yazaq, 146 00:07:18,136 --> 00:07:19,870 üstəgəl, matrisin k minoru. 147 00:07:19,870 --> 00:07:20,840 k minoru, 148 00:07:20,840 --> 00:07:23,290 k-nın dayandığı sətir və sütunları silsək, 149 00:07:23,290 --> 00:07:35,010 5, mənfi 6, mənfi 2 və 7 vurulsun k olur. 150 00:07:35,010 --> 00:07:36,980 İndi, gəlin hesablayaq. 151 00:07:36,980 --> 00:07:39,440 İcazə verin buranı silim. 152 00:07:39,440 --> 00:07:41,130 Düşünürəm ki, artıq buna 153 00:07:41,130 --> 00:07:43,790 ehtiyacımız yoxdur. 154 00:07:43,790 --> 00:07:46,460 İndi nə etməliyik? 155 00:07:46,460 --> 00:07:49,400 Gəlin bunu bura gətirək. 156 00:07:49,400 --> 00:07:51,090 Bu 2-in 2-yə matrisi asandır. 157 00:07:51,090 --> 00:07:58,690 Bu , mənfi 6 vurulsun 4 çıxılsın 7 158 00:07:58,690 --> 00:08:00,180 vurulsun 3 -ə bərabərdir. 159 00:08:00,180 --> 00:08:10,770 Mənfi 24 çıxılsın 21 vurulsun i, çıxılsın 20 çıxılsın 160 00:08:10,770 --> 00:08:23,270 mənfi 2 dəfə 3, yəni çıxılsın mənfi 6 j üstəgəl 5 dəfə 7.35 161 00:08:23,270 --> 00:08:25,640 çıxılsın mənfi 2 dəfə mənfi 6. 162 00:08:25,640 --> 00:08:29,330 Bu da çıxılsın müsbət 12k edir. 163 00:08:29,330 --> 00:08:34,330 Bunu sadələşdirsək, mənfi 24 çıx 21 164 00:08:34,330 --> 00:08:40,830 bərabərdir mənfi 45, daha sonra 165 00:08:40,830 --> 00:08:43,720 20 çıxılsın mənfi 6 nə edir? 166 00:08:43,720 --> 00:08:46,600 Deməli, bu 20 üstəgəl 6 deməkdir, yəni 26. 167 00:08:46,600 --> 00:08:47,590 Burda da mənfi işarəsi var, 168 00:08:47,590 --> 00:08:51,640 yəni mənfi 26j. 169 00:08:51,640 --> 00:08:54,340 Və sonda 35 çıxılsın 12 bərabərdir 23. 170 00:08:54,340 --> 00:08:57,190 Üstəgəl 23k. 171 00:08:57,190 --> 00:08:58,690 Vektorial hasili tapdıq. 172 00:08:58,690 --> 00:09:01,150 Maraqlısı budur ki, əgər bu vektoru 173 00:09:01,150 --> 00:09:03,710 üç ölçülü qrafikdə çəksək, görərik ki, 174 00:09:03,710 --> 00:09:09,410 mənfi 45 i çıxılsın 26 j üstəgəl 23 k vektoru 175 00:09:09,410 --> 00:09:15,750 bu vektorların hər ikisinə perpendikulyardır. 176 00:09:15,750 --> 00:09:19,440 Artıq videonun sonuna gəlib çatdıq. 177 00:09:19,440 --> 00:09:20,050 Gələn videolarda vektor qrafik 178 00:09:20,050 --> 00:09:22,140 proqramlarda bunları tətbiq edərik. 179 00:09:22,140 --> 00:09:25,880 Düşünürəm ki, həm göstərdiyim üsulla 180 00:09:25,880 --> 00:09:29,130 vektorial və skalyar hasili tapmaq həm də 181 00:09:29,130 --> 00:09:29,840 onları qrafikdə göstərmək 182 00:09:29,840 --> 00:09:31,320 və işə yaradığını görmək maraqlı olar. 183 00:09:31,320 --> 00:09:36,930 Qrafiklə həmçinin alınan vektorun bu iki vektora 184 00:09:36,930 --> 00:09:40,820 perpendikulyar olduğunu və sağ əl qaydası ilə 185 00:09:40,820 --> 00:09:42,520 tapdığımız istiqamətin düzgünlüyünü 186 00:09:42,520 --> 00:09:43,990 yoxlamaq olar.