Bundan əvvəlki videolarda skalyar və vektorial hasil haqqında danışanda tərifi məsafə vurulsun aralarındakı bucağın sinus ya da kosinusu kimi vermişdik. Bəs, əgər vektorlar vizual olaraq verilməsə ya da aralarındakı bucaq verilməsə, skalyar və vektorial hasili necə tapa bilərik? Gəlin, ilk növbədə düsturları yazaq. a və b-nin skalyar hasili modulda a vurulsun modulda b vurulsun aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir. a və b-nin vektorial hasili isə bərabərdir modulda a vurulsun modulda b vurulsun aralarındakı bucağın sinusu vurulsun hər iki vektora perpendikulyar olan normal vektor. Sağ əl qaydası ilə bunun hansı iki vektor olduğunu bilmək olar. Bəs, əgər aralarındakı bucaq, yəni teta verilməzsə, onda necə? Məsələn, gəlin a vektorunu toplananlarına ayıraq. Karteziyan koordinat sistemində, bu vektor x, y və z komponentlərə bölünür. Gəlin deyək, a vektoru 5i çıxılsın 6j üstəgəl 3k-ya bərabərdir. i, j və k uyğun olaraq x, y və z istiqamətindəki vahid vektorlardır. Burada 5 vektorun x oxu istiqamətində, mənfi 6 ,y oxu istiqamətində, 3 isə z oxu istiqamətində getdiyi yolu göstərir. Bunu daha yaxşı qavramaq üçün qrafik şəklində də göstərmək mümkündür. Amma, indi gəlin sadəcə formul üzərindən gedək. Keçək b vektoruna. B vektorunu mənfi 2i üstəgəl 7j üstəgəl 4k kimi yazaq. Bunu qrafiklə də göstərmək mümkündür və əgər kompüterin köməyi ilə vektorları modelləşdirsək, sözsüz, bu üsuldan istifadə edəcəyik. Vektorları toplamaq üçün onları x, y və z komponentlərinə böləcəyik. Və sonda uyğun komponentləri toplayacağıq. Bəs, əgər onların vektorial yaxud skalyar hasilini tapmaq lazım olsa necə? İndi isə bunun necə hesablandığını göstərəcəyəm. Vektor bu şəkildə verildikdə skalyar hasili tapmaq çox asandır. Bu tip vektorlar adətən mötərizəli şəkildə yazılır. Yəni bunu 5, mənfi 6 və 3 kimi yazmaq olar. Bunlar x, y və z istiqamətindəki qiymətlərdir. Bu iki yazılış forması arasında elə də fərq yoxdur. b vektorunu isə mənfi 2, 7 və 4 kimi yaza bilərik. Gəlin indi a və b vektorlarının skalyar hasilinin necə tapıldığına baxaq. Skalyar hasili tapmaq üçün edəcəyimiz tək şey bu iki vektorun i, j və z komponentlərini ayrı-ayrılıqda bir-birinə vurub toplamaqdır. Yəni, 5 dəfə mənfi 2 üstəgəl mənfi 6 dəfə 7 üstəgəl 3 dəfə 4 bərabərdir mənfi 10 çıx 42 üstəgəl 12 və bu da mənfi 52 üstəgəl 12 bərabərdir mənfi 40 edir. Bu qədər. Cavab sadəcə ədəddir. Bunu üç ölçülü qrafikdə də çəkərək niyə mənfi 40 alındığını görə bilərik. İki vektor əks istiqamətdə hərəkət edir və onların bir-birinə nəzərən proyeksiyaları da əksinə olacaq. Məhz buna görə mənfi ədəd aldıq. Məqsədimiz skalyar hasili hesablamaq idi və göründüyü kimi bunu tapmaq olduqca sadədir. İlk öncə x komponentlərini, daha sonra y komponentlərini və sonda z komponentlərini bir-birinə vurub toplayırıq. Vektorlar belə verildikdə və skalyar hasili tapmaq soruşulduqda bu sadə üsulla dəqiq cavab ala bilərik. Lakin, vektorial hasili tapmaq lazım gəldikdə işimiz bir qədər çətinləşir. Əlbəttə, skalyar hasili tapmaq üçün başqa üsullar da var. Vektorların qiymətləri verildiyi halda triqonometrik yolla tetanı tapıb bu düsturda yerinə qoyaraq cavabı ala bilərik. Ancaq göründüyü kimi bu üsul daha asandır. İndi isə gəlin, vektorial hasilin necə hesablandığına baxaq. Qeyd edim ki, mən bunun sadəcə necə tapıldığını göstərəcəyəm, isbatını yox. Sonrakı videolarda bunu izah edəcəyəm, lakin indi mövzudan kənara çıxmayaq. Vektorial hasili tapmaq nisbətən çətindir. Karteziyan sistemində verilmiş vektorların vektorial hasili başqa üsulla hesablanır. a-nın b-yə vektorial hasili matris üsulu ilə tapılır. Edəcəyimiz şey determinantı almaqdır. İlk öncə determinant xəttini çəkək. Bu sadəcə vektorial hasilin necə tapıldığını göstərir, onun mahiyyətini izah eləmir. Mahiyyətini bu düsturdan anlamaq olar. Vektorlardan neçəsi bir-birinə perpendikulyardırsa, həmin vektorları bir-birinə vuraraq sağ əl qaydası ilə istiqaməti təyin etmək olar. Lakin, vektor toplananlarına ayrılıbsa, yuxarıda i, j və k vahid vektorlarını yazmalısınız. Daha sonra ilkin vektorun qiymətlərini yazırıq. 5, mənfi 6, 3 Daha sonra b vektorunun qiymətləri, yəni mənfi 2, 7 və 4. İndi 3-ün 3-ə matrisin determinantını tapmağa çalışaq. Bu bərabərdir ilk öncə i minoru, matrisin i minoru, əgər bu sütun və sətri silsək, yerdə qalan determinanta bərabərdir, yəni, mənfi 6, 3, 7, 4 vurulsun i, (ola bilsin, determinant mövzusu yadınızdan çıxa bilər,) bəlkə bu misal üzərində işləmək yaddaşınızı təzələyər, deməli, bu müsbət, mənfi, müsbətdir. Daha sonra mənfi j minoru. matrisin j minoru nədir? Əgər, j-nin sətir və sütunlarını silsək, 5, 3, mənfi 2 və 4-dür. Deməli, biz sadəcə j-nin olduğu sətir və sütunları sildik və yerdə nə qaldısa j-nin minoru sayılır. Və vurulsun j. Üstəgəl, gəlin qıraqda yazaq, üstəgəl, matrisin k minoru. k minoru, k-nın dayandığı sətir və sütunları silsək, 5, mənfi 6, mənfi 2 və 7 vurulsun k olur. İndi, gəlin hesablayaq. İcazə verin buranı silim. Düşünürəm ki, artıq buna ehtiyacımız yoxdur. İndi nə etməliyik? Gəlin bunu bura gətirək. Bu 2-in 2-yə matrisi asandır. Bu , mənfi 6 vurulsun 4 çıxılsın 7 vurulsun 3 -ə bərabərdir. Mənfi 24 çıxılsın 21 vurulsun i, çıxılsın 20 çıxılsın mənfi 2 dəfə 3, yəni çıxılsın mənfi 6 j üstəgəl 5 dəfə 7.35 çıxılsın mənfi 2 dəfə mənfi 6. Bu da çıxılsın müsbət 12k edir. Bunu sadələşdirsək, mənfi 24 çıx 21 bərabərdir mənfi 45, daha sonra 20 çıxılsın mənfi 6 nə edir? Deməli, bu 20 üstəgəl 6 deməkdir, yəni 26. Burda da mənfi işarəsi var, yəni mənfi 26j. Və sonda 35 çıxılsın 12 bərabərdir 23. Üstəgəl 23k. Vektorial hasili tapdıq. Maraqlısı budur ki, əgər bu vektoru üç ölçülü qrafikdə çəksək, görərik ki, mənfi 45 i çıxılsın 26 j üstəgəl 23 k vektoru bu vektorların hər ikisinə perpendikulyardır. Artıq videonun sonuna gəlib çatdıq. Gələn videolarda vektor qrafik proqramlarda bunları tətbiq edərik. Düşünürəm ki, həm göstərdiyim üsulla vektorial və skalyar hasili tapmaq həm də onları qrafikdə göstərmək və işə yaradığını görmək maraqlı olar. Qrafiklə həmçinin alınan vektorun bu iki vektora perpendikulyar olduğunu və sağ əl qaydası ilə tapdığımız istiqamətin düzgünlüyünü yoxlamaq olar.