Calculating dot and cross products with unit vector notation

Bundan əvvəlki videolarda skalyar və

vektorial hasil haqqında danışanda tərifi

məsafə vurulsun aralarındakı bucağın sinus

ya da kosinusu kimi vermişdik.

Bəs, əgər vektorlar vizual olaraq verilməsə

ya da aralarındakı bucaq verilməsə,

skalyar və vektorial hasili necə tapa bilərik?

Gəlin, ilk növbədə düsturları

yazaq.

a və b-nin skalyar hasili modulda a

vurulsun modulda b vurulsun aralarındakı

bucağın kosinusuna bərabərdir.

a və b-nin vektorial hasili isə bərabərdir

modulda a vurulsun modulda b vurulsun

aralarındakı bucağın sinusu və vurulsun

hər iki vektora perpendikulyar olan normal vektora.

Sağ əl qaydası ilə

bunun hansı iki vektor olduğunu

bilmək olar.

Bəs, əgər aralarındakı bucaq, yəni teta

verilməzsə, onda necə?

Məsələn, gəlin a vektorunu karteziyan

vektor şəklində göstərək.

Karteziyan koordinat sistemində,

vektor x, y və z komponentlərə bölünür.

Gəlin deyək, a vektoru 5i çıxılsın

6j üstəgəl 3k-ya bərabərdir.

i, j və k uyğun olaraq x, y və z istiqamətindəki

vahid vektorlardır.

Burada 5 vektorun x oxu istiqamətində,

-6 y oxu istiqamətində,

3 isə z oxu istiqamətində

getdiyi yolu göstərir.

Bunu daha yaxşı qavramaq üçün

qrafik şəklində də göstərmək mümkündür.

Amma, indi gəlin

sadəcə formul üzərindən gedək.

Keçək b vektoruna. B vektoru,

gəlin götürək, mənfi 2i

üstəgəl 7j və üstəgəl 4k-dır.

Bunu qrafiklə də

göstərmək mümkündür və əgər kompüter

simulyasında vektorları modelləşdirsək,

sözsüz, bu üsuldan istifadə edəcəyik.

Vektorları toplamaq üçün onları x, y və z

komponentlərinə böləcəyik.

Və sonda uyğun komponentləri toplayacağıq.

Bəs, əgər onların vektorial yaxud skalyar

hasilini tapmaq lazım olsa?

İndi isə bunun necə hesablandığını

göstərəcəm.

Vektor bu şəkildə verildikdə vektorial

hasili tapmaq çox asandır.

Belə karteziyan vektor adətən

mötərizəli şəkildə də yazılır.

Yəni bunu 5, mənfi 6 və 3 kimi yazmaq olar.

Bunlar x, y və z istiqamətindəki qiymətlərdir.

Bu iki yazılış forması arasında elə də

fərq yoxdur.

b vektorunu isə mənfi 2, 7 və 4

kimi yaza bilərik.

Gəlin indi a və b vektorlarının skalyar

hasilinin necə tapıldığına baxaq.

Skalyar hasili tapmaq üçün edəcəyimiz

tək şey bu iki vektorun i, j və z

komponentlərini ayrı-ayrılıqda bir-birinə

vurub toplamaqdır.

Yəni, 5 dəfə mənfi 2 üstəgəl mənfi 6 dəfə 7 üstəgəl

3 dəfə 4 və bərabərdir mənfi 10 çıx 42 üstəgəl 12

və bu da mənfi 52 üstəgəl 12 bərabərdir mənfi 40 edir.

Bu qədər.

Cavab sadəcə ədəddir.

Bunu üç ölçülü qrafikdə də çəkərək

niyə mənfi 40 alındığını görə bilərik.

İki vektor əks istiqamətdə hərəkət edir və

onların bir-birinə nəzərən proyeksiyaları da

əksinə olacaq.

Məhz buna görə mənfi ədəd aldıq.

Məqsədimiz skalyar hasili hesablamaq idi

və göründüyü kimi bunu tapmaq olduqca

sadədir.

İlk öncə x komponentlərini, daha sonra

y komponentlərini və sonda z komponentlərini

bir-birinə vurub toplayırıq.

Karteziyan vektor verildikdə və skalyar

hasili tapmaq soruşulduqda bu sadə üsulla

dəqiq cavab ala bilərik

Lakin, vektorial hasili tapmaq lazım

gəldikdə işimiz bir qədər

çətinləşir.

Əlbəttə, skalyar hasili tapmaq üçün başqa

üsullar da var. Vektorların qiymətləri verildiyi

halda triqonometrik yolla tetanı tapıb

bu düsturda yerinə qoyaraq cavabı

ala bilərik.

Ancaq göründüyü kimi bu üsul

daha asandır.

İndi isə gəlin, vektorial hasilin

necə hesablandığına baxaq.

Qeyd edim ki, mən bunun sadəcə necə

tapıldığını göstərəcəm, isbatını yox.

Sonrakı videolarda bunu izah edəcəyəm,

lakin indi mövzudan kənara çıxmayaq.

Vektorial hasili tapmaq nisbətən çətindir.

Karteziyan sistemində verilmiş vektorların

vektorial hasili başqa üsulla hesablanır.

a-nın b-yə

vektorial hasili

matris üsulu ilə tapılır.

Edəcəyimiz şey determinantı almaqdır.

İlk öncə determinant xəttini çəkək.

Bu sadəcə vektorial

hasilin necə tapıldığını göstərir,

onun mahiyyətini izah eləmir.

Mahiyyətini bu düsturdan anlamaq olar.

Vektorlardan neçəsi bir-birinə perpendikulyardırsa,

həmin vektorları bir-birinə vuraraq

sağ əl qaydası ilə istiqaməti

təyin etmək olar.

Lakin, karteziyan vektor verildikdə

yuxarıda i, j və k vahid vektorlarını

yazırıq.

Daha sonra ilk vektorun qiymətlərini

yazırıq.

5, mənfi 6, 3

Daha sonra b vektorunun qiymətləri, yəni

mənfi 2, 7 və 4.

İndi 3-ün 3-ə matrisin determinantını

tapmağa çalışaq.

Bu bərabərdir ilk öncə i minoru,

matrisin i minoru, əgər bu sütun və sətri

silsək, yerdə qalan determinanta bərabərdir,

yəni, mənfi 6, 3, 7, 4 vurulsun i, ola bilsin,

determinant mövzusu yadınızdan çıxa bilər,

bəlkə bu misal üzərində işləmək yaddaşınızı

təzələyər, deməli, bu müsbət, mənfi, müsbətdir.

Daha sonra mənfi j minoru.

matrisin j minoru nədir?

Əgər, j-nin sətir və sütunlarını silsək,

5, 3, mənfi 2 və 4-dür.

Deməli, biz sadəcə j-nin olduğu sətir və

sütunları sildik və yerdə nə qaldısa j-nin

minoru sayılır.

Və vurulsun j.

Üstəgəl, gəlin qıraqda yazaq,

üstəgəl, matrisin k minoru.

k minoru,

k-nın dayandığı sətir və sütunları silsək,

5, mənfi 6, mənfi 2 və 7 vurulsun k olur.

İndi, gəlin hesablayaq.

İcazə verin buranı silim.

Düşünürəm ki, artıq buna

ehtiyacımız yoxdur.

İndi nə etməliyik?

Gəlin bunu bura gətirək.

Deməli, bu 2-in 2-yə matrisi asandır.

Burada mənfi 6 vurulsun 4 çıxılsın 7

vurulsun 3 bərabərdir mənfi 24

çıxılsın 21 vurulsun i, çıx 5 dəfə 4 20 çıxılsın

mənfi 2 dəfə 3, yəni çıxılsın mənfi 6 j üstəgəl 5

dəfə 7, 35 çıxılsın mənfi 2 dəfə mənfi 6.

Bu da çıxılsın müsbət 12k edir.

Bunu sadələşdirsək, mənfi 24 çıx 21

bərabərdir mənfi 35, daha sonra

20 çıxılsın mənfi 6 nə edir?

Deməli, bu 20 üstəgəl 6 deməkdir, yəni 26.

Burda da mənfi işarəsi var,

deməli, mənfi 26j.

Və sonda 35 çıxılsın 12 23.

Üstəgəl 23k.

Vektorial hasili tapdıq.

Maraqlısı budur ki, əgər bu vektoru

üç ölçülü qrafikdə çəksək, görərik ki,

mənfi 35i çıxılsın 26j üstəgəl 23k vektoru

bu vektorların hər ikisinə perpendikulyardır.

Artıq videonun sonuna gəlib çatdıq.

Gələn videolarda görüşərik.

Ümid edirəm ki,