向量分量入门 | 向量 | 微积分预科 | 可汗学院

向量是既有大小又有方向的量。在二维平面上，我们还有另一种描述向量的方式：考虑从向量的尾部走到头部时，x坐标和y坐标的变化量。

在早先的视频里，我们介绍过

如何用大小和方向

来完全定义一个向量，两者缺一不可。

此处有一个已经被这样定义的向量。

我们已知它的大小

等于3个单位长度。

这两边的平行线，

看上去像双重绝对值的符号，

代表向量a的长度。

这个式子相当于指定了

图中箭头的长度为3个单位长度。

与此同时我们还规定了它的方向。

如图所示，这个向量的方向是

相对正东方向逆时针旋转30°。

在本视频中，我们将会介绍

定义该向量的另一种方法。

这是一种通过分量来定义向量的方法。

我们将关注

这个向量的尾部

和头部，

考虑从它的尾部走到头部，

横坐标x改变了多少？

我们可以看出，x的变化量

等于这条红线的长度。

我们的横坐标从这个值变成了这个值。

我们还要考虑纵坐标y的变化。

假如我们从此处向上走到这里，

y方向的变化量就对应这条紫线的长度。

让我们给它们做上标记。

x的变化量记作Δx，y的变化量记作Δy。

请设想一下，

假如有人告诉了你Δx和Δy，

你应该可以相应重建出这个向量：

从这里出发，先改变x，

再改变y，得到向量的头部

相对尾部的位置。

我们相应将上述定义记作：

向量a，等于，写上两个括号，

在括号中填入Δx，逗号，Δy。

对图中的这个向量而言，

更具体地说，

我们已知它的长度为3。

它的大小为3。

我们还知道这条线处于水平方向，

而这条线处于竖直方向。

此处是一个直角。

于是我们可以使用以往的几何知识。

别担心，有必要的话你可以复习一下。

我们可以使用一点几何，

或者三角学知识：

我们已知这个角的大小，

以及这条斜边的长度，那么这条与30°角

相对的边的长度就等于斜边的一半，

也就是3/2。

而x方向的变化量则等于

根号3乘以3/2。

也就是二分之三倍根号3。

于是我们可以在括号中填入：

x分量等于二分之三倍根号3，

y分量等于3/2。

不少同学可能会觉得

这长得很像坐标平面上的坐标：

这对应横坐标，

这对应纵坐标。

不过，当你在处理向量时，

这种理解并不确切。

是的，当这个向量的尾巴

刚好落在原点上时，

它的头部在坐标平面上的坐标会恰好等于这个。

但我们知道，向量并不是

被它尾部的位置所定义的。

我们可以把这个向量在平面上随意平移，

得到的都还是同一个向量。

它的起点在哪儿都行。

所以，在向量语境下，

这两者并不代表横坐标和纵坐标，

而是代表横坐标的变化量，和纵坐标的变化量。

让我们再看一个

反其道而行之的例子。

假设我们用刚才的方法定义了一个向量b，

它的x分量等于根号2，

它的y分量也等于根号2。

这个向量长什么样？

假设这是它的尾部，

它的x分量，也就是横坐标的变化量，

等于根号2。

x的变化量大致长这样。

这条线对应横坐标的变化量，等于根号2。

而这个向量的y分量也等于根号2。

我们在这里写上，纵坐标的变化量，

也等于根号2。

于是这个向量将会长这样子：

它从这里出发，指向这里。

借助一点几何知识，

我们可以求出该向量的

大小和方向。

根据勾股定理，

两条直角边的平方和

等于斜边的平方。

于是我们可以算得，

斜边的长度等于2，

也就是说，向量b的长度等于2。

假如想进一步求出这个角的度数，

你可以用一点三角学知识，

实际上一点几何知识就够了。

你看，此处是一个直角，

而这两条边长度相等。

所以这两个角大小相等，

都等于45°。

于是我们也确定了这个向量的方向：

相对正东方向逆时针旋转45°。

希望你可以体会到，上述两种针对向量的表达方式

其实是一回事。

你既可以规定向量的长度和方向，

也可以规定它的分量，

这两种表达方式可以相互转化。

关于这一点，我们在接下来的视频中会做更多的练习。