1
00:00:00,630 --> 00:00:02,430
在早先的视频里，我们介绍过

2
00:00:02,430 --> 00:00:04,100
如何用大小和方向

3
00:00:04,100 --> 00:00:06,670
来完全定义一个向量，两者缺一不可。

4
00:00:06,670 --> 00:00:08,260
此处有一个已经被这样定义的向量。

5
00:00:08,260 --> 00:00:09,880
我们已知它的大小

6
00:00:09,880 --> 00:00:12,570
等于3个单位长度。

7
00:00:12,570 --> 00:00:15,190
这两边的平行线，

8
00:00:15,190 --> 00:00:17,170
看上去像双重绝对值的符号，

9
00:00:17,170 --> 00:00:19,580
代表向量a的长度。

10
00:00:19,580 --> 00:00:23,150
这个式子相当于指定了

11
00:00:23,150 --> 00:00:26,200
图中箭头的长度为3个单位长度。

12
00:00:26,200 --> 00:00:27,560
与此同时我们还规定了它的方向。

13
00:00:27,560 --> 00:00:29,610
如图所示，这个向量的方向是

14
00:00:29,610 --> 00:00:32,270
相对正东方向逆时针旋转30°。

15
00:00:32,270 --> 00:00:34,860
在本视频中，我们将会介绍

16
00:00:34,860 --> 00:00:38,220
定义该向量的另一种方法。

17
00:00:38,220 --> 00:00:41,050
这是一种通过分量来定义向量的方法。

18
00:00:41,050 --> 00:00:42,530
我们将关注

19
00:00:42,530 --> 00:00:44,100
这个向量的尾部

20
00:00:44,100 --> 00:00:47,300
和头部，

21
00:00:47,300 --> 00:00:50,450
考虑从它的尾部走到头部，

22
00:00:50,450 --> 00:00:53,530
横坐标x改变了多少？

23
00:00:53,530 --> 00:00:55,510
我们可以看出，x的变化量

24
00:00:55,510 --> 00:00:58,340
等于这条红线的长度。

25
00:00:58,340 --> 00:01:00,980
我们的横坐标从这个值变成了这个值。

26
00:01:00,980 --> 00:01:05,370
我们还要考虑纵坐标y的变化。

27
00:01:05,370 --> 00:01:07,980
假如我们从此处向上走到这里，

28
00:01:07,980 --> 00:01:11,940
y方向的变化量就对应这条紫线的长度。

29
00:01:11,940 --> 00:01:13,500
让我们给它们做上标记。

30
00:01:13,500 --> 00:01:18,500
x的变化量记作Δx，y的变化量记作Δy。

31
00:01:18,790 --> 00:01:19,920
请设想一下，

32
00:01:19,920 --> 00:01:22,780
假如有人告诉了你Δx和Δy，

33
00:01:22,780 --> 00:01:25,390
你应该可以相应重建出这个向量：

34
00:01:25,390 --> 00:01:27,490
从这里出发，先改变x，

35
00:01:27,490 --> 00:01:31,200
再改变y，得到向量的头部

36
00:01:31,200 --> 00:01:34,740
相对尾部的位置。

37
00:01:34,740 --> 00:01:38,200
我们相应将上述定义记作：

38
00:01:38,200 --> 00:01:42,870
向量a，等于，写上两个括号，

39
00:01:42,870 --> 00:01:46,000
在括号中填入Δx，逗号，Δy。

40
00:01:46,000 --> 00:01:47,780
对图中的这个向量而言，

41
00:01:47,780 --> 00:01:50,340
更具体地说，

42
00:01:50,340 --> 00:01:53,550
我们已知它的长度为3。

43
00:01:53,550 --> 00:01:55,540
它的大小为3。

44
00:01:55,540 --> 00:01:58,350
我们还知道这条线处于水平方向，

45
00:01:58,350 --> 00:02:00,290
而这条线处于竖直方向。

46
00:02:00,290 --> 00:02:02,420
此处是一个直角。

47
00:02:02,420 --> 00:02:05,170
于是我们可以使用以往的几何知识。

48
00:02:05,170 --> 00:02:08,020
别担心，有必要的话你可以复习一下。

49
00:02:08,020 --> 00:02:09,620
我们可以使用一点几何，

50
00:02:09,620 --> 00:02:11,490
或者三角学知识：

51
00:02:11,490 --> 00:02:13,610
我们已知这个角的大小，

52
00:02:13,610 --> 00:02:17,210
以及这条斜边的长度，那么这条与30°角

53
00:02:17,210 --> 00:02:20,180
相对的边的长度就等于斜边的一半，

54
00:02:20,180 --> 00:02:22,020
也就是3/2。

55
00:02:22,020 --> 00:02:24,200
而x方向的变化量则等于

56
00:02:24,200 --> 00:02:26,960
根号3乘以3/2。

57
00:02:26,960 --> 00:02:31,080
也就是二分之三倍根号3。

58
00:02:31,080 --> 00:02:33,980
于是我们可以在括号中填入：

59
00:02:33,980 --> 00:02:37,680
x分量等于二分之三倍根号3，

60
00:02:37,680 --> 00:02:42,420
y分量等于3/2。

61
00:02:42,420 --> 00:02:43,820
不少同学可能会觉得

62
00:02:43,820 --> 00:02:47,260
这长得很像坐标平面上的坐标：

63
00:02:47,260 --> 00:02:48,580
这对应横坐标，

64
00:02:48,580 --> 00:02:50,300
这对应纵坐标。

65
00:02:50,300 --> 00:02:51,970
不过，当你在处理向量时，

66
00:02:51,970 --> 00:02:54,610
这种理解并不确切。

67
00:02:54,610 --> 00:02:57,000
是的，当这个向量的尾巴

68
00:02:57,000 --> 00:03:00,140
刚好落在原点上时，

69
00:03:00,140 --> 00:03:04,670
它的头部在坐标平面上的坐标会恰好等于这个。

70
00:03:04,670 --> 00:03:07,470
但我们知道，向量并不是

71
00:03:07,470 --> 00:03:10,180
被它尾部的位置所定义的。

72
00:03:10,180 --> 00:03:12,200
我们可以把这个向量在平面上随意平移，

73
00:03:12,200 --> 00:03:13,840
得到的都还是同一个向量。

74
00:03:13,840 --> 00:03:15,590
它的起点在哪儿都行。

75
00:03:15,590 --> 00:03:19,000
所以，在向量语境下，

76
00:03:19,000 --> 00:03:21,440
这两者并不代表横坐标和纵坐标，

77
00:03:21,440 --> 00:03:26,440
而是代表横坐标的变化量，和纵坐标的变化量。

78
00:03:27,070 --> 00:03:28,480
让我们再看一个

79
00:03:28,480 --> 00:03:30,880
反其道而行之的例子。

80
00:03:30,880 --> 00:03:34,790
假设我们用刚才的方法定义了一个向量b，

81
00:03:34,790 --> 00:03:39,200
它的x分量等于根号2，

82
00:03:39,200 --> 00:03:43,520
它的y分量也等于根号2。

83
00:03:43,520 --> 00:03:46,260
这个向量长什么样？

84
00:03:46,260 --> 00:03:49,380
假设这是它的尾部，

85
00:03:49,380 --> 00:03:51,410
它的x分量，也就是横坐标的变化量，

86
00:03:51,410 --> 00:03:53,030
等于根号2。

87
00:03:53,030 --> 00:03:55,460
x的变化量大致长这样。

88
00:03:55,460 --> 00:04:00,460
这条线对应横坐标的变化量，等于根号2。

89
00:04:00,800 --> 00:04:03,980
而这个向量的y分量也等于根号2。

90
00:04:03,980 --> 00:04:07,230
我们在这里写上，纵坐标的变化量，

91
00:04:07,230 --> 00:04:08,970
也等于根号2。

92
00:04:08,970 --> 00:04:12,850
于是这个向量将会长这样子：

93
00:04:12,850 --> 00:04:17,850
它从这里出发，指向这里。

94
00:04:18,580 --> 00:04:20,590
借助一点几何知识，

95
00:04:20,590 --> 00:04:21,980
我们可以求出该向量的

96
00:04:21,980 --> 00:04:24,260
大小和方向。

97
00:04:24,260 --> 00:04:26,760
根据勾股定理，

98
00:04:26,760 --> 00:04:28,760
两条直角边的平方和

99
00:04:28,760 --> 00:04:30,410
等于斜边的平方。

100
00:04:30,410 --> 00:04:32,380
于是我们可以算得，

101
00:04:32,380 --> 00:04:34,510
斜边的长度等于2，

102
00:04:34,510 --> 00:04:39,370
也就是说，向量b的长度等于2。

103
00:04:39,370 --> 00:04:42,420
假如想进一步求出这个角的度数，

104
00:04:42,420 --> 00:04:43,870
你可以用一点三角学知识，

105
00:04:43,870 --> 00:04:46,110
实际上一点几何知识就够了。

106
00:04:46,110 --> 00:04:49,500
你看，此处是一个直角，

107
00:04:49,500 --> 00:04:52,130
而这两条边长度相等。

108
00:04:52,130 --> 00:04:53,590
所以这两个角大小相等，

109
00:04:53,590 --> 00:04:55,600
都等于45°。

110
00:04:55,600 --> 00:04:58,690
于是我们也确定了这个向量的方向：

111
00:04:58,690 --> 00:05:02,770
相对正东方向逆时针旋转45°。

112
00:05:02,770 --> 00:05:05,360
希望你可以体会到，上述两种针对向量的表达方式

113
00:05:05,360 --> 00:05:06,540
其实是一回事。

114
00:05:06,540 --> 00:05:08,950
你既可以规定向量的长度和方向，

115
00:05:08,950 --> 00:05:10,200
也可以规定它的分量，

116
00:05:10,200 --> 00:05:12,350
这两种表达方式可以相互转化。

117
00:05:12,350 --> 00:05:15,283
关于这一点，我们在接下来的视频中会做更多的练习。