向量分量入门 | 向量 | 微积分预科 | 可汗学院

在早先的视频里，我们介绍过

如何用长度和方向

来完全定义一个向量，两者缺一不可。

在这里有一个已经被这样定义的向量。

我们已知它的长度

等于3个单位长度。

这两边的平行线，

看上去像双重绝对值的符号，

代表向量a的长度。

这个式子相当于指定了

图中箭头的长度为3个单位长度。

与此同时我们还规定了它的方向。

如图所示，这个向量的方向是

相对正东方向逆时针旋转30°。

在本视频中，我们将会介绍

定义该向量的另一种方法。

这是一种通过分量来定义向量的方法。

我们将关注

这个向量的尾巴

和头部，

考虑从它的尾巴走到头部，

横坐标x改变了多少？

我们可以看出，x的变化量

等于这条红线的长度。

我们的横坐标从这个值变成了这个值。

我们还要考虑纵坐标y的变化。

假如我们从此处向上走到这里，

y方向的变化量就对应这条紫线的长度。

让我们给它们做上标记。

x的变化量记作Δx，y的变化量记作Δy。

请设想一下，

假如有人告诉了你Δx和Δy，

你应该可以相应重建出这个向量：

从这里出发，先改变x，

再改变y，得到向量的头部

相对尾部的位置。

我们相应将上述定义记作：

向量a，等于，写上两个括号，

在括号中填入Δx，逗号，Δy。

对图中的这个向量而言，

更具体地说，

我们已知它的长度为3。

它的长度为3。

我们还知道这条线处于水平方向，

而这条线处于竖直方向。

此处是一个直角。

于是我们可以使用以往的几何知识。

别担心，有必要的话你可以复习一下。

我们可以使用一点几何，

或者三角学知识：

我们已知这个角的大小，

以及斜边的长度，那么与30°角

相对的边的长度就等于斜边的一半，

也就是3/2。