WEBVTT

00:00:00.630 --> 00:00:02.430
在早先的视频里，我们介绍过

00:00:02.430 --> 00:00:04.100
如何用大小和方向

00:00:04.100 --> 00:00:06.670
来完全定义一个向量，两者缺一不可。

00:00:06.670 --> 00:00:08.260
此处有一个已经被这样定义的向量。

00:00:08.260 --> 00:00:09.880
我们已知它的大小

00:00:09.880 --> 00:00:12.570
等于3个单位长度。

00:00:12.570 --> 00:00:15.190
这两边的平行线，

00:00:15.190 --> 00:00:17.170
看上去像双重绝对值的符号，

00:00:17.170 --> 00:00:19.580
代表向量a的长度。

00:00:19.580 --> 00:00:23.150
这个式子相当于指定了

00:00:23.150 --> 00:00:26.200
图中箭头的长度为3个单位长度。

00:00:26.200 --> 00:00:27.560
与此同时我们还规定了它的方向。

00:00:27.560 --> 00:00:29.610
如图所示，这个向量的方向是

00:00:29.610 --> 00:00:32.270
相对正东方向逆时针旋转30°。

00:00:32.270 --> 00:00:34.860
在本视频中，我们将会介绍

00:00:34.860 --> 00:00:38.220
定义该向量的另一种方法。

00:00:38.220 --> 00:00:41.050
这是一种通过分量来定义向量的方法。

00:00:41.050 --> 00:00:42.530
我们将关注

00:00:42.530 --> 00:00:44.100
这个向量的尾部

00:00:44.100 --> 00:00:47.300
和头部，

00:00:47.300 --> 00:00:50.450
考虑从它的尾部走到头部，

00:00:50.450 --> 00:00:53.530
横坐标x改变了多少？

00:00:53.530 --> 00:00:55.510
我们可以看出，x的变化量

00:00:55.510 --> 00:00:58.340
等于这条红线的长度。

00:00:58.340 --> 00:01:00.980
我们的横坐标从这个值变成了这个值。

00:01:00.980 --> 00:01:05.370
我们还要考虑纵坐标y的变化。

00:01:05.370 --> 00:01:07.980
假如我们从此处向上走到这里，

00:01:07.980 --> 00:01:11.940
y方向的变化量就对应这条紫线的长度。

00:01:11.940 --> 00:01:13.500
让我们给它们做上标记。

00:01:13.500 --> 00:01:18.500
x的变化量记作Δx，y的变化量记作Δy。

00:01:18.790 --> 00:01:19.920
请设想一下，

00:01:19.920 --> 00:01:22.780
假如有人告诉了你Δx和Δy，

00:01:22.780 --> 00:01:25.390
你应该可以相应重建出这个向量：

00:01:25.390 --> 00:01:27.490
从这里出发，先改变x，

00:01:27.490 --> 00:01:31.200
再改变y，得到向量的头部

00:01:31.200 --> 00:01:34.740
相对尾部的位置。

00:01:34.740 --> 00:01:38.200
我们相应将上述定义记作：

00:01:38.200 --> 00:01:42.870
向量a，等于，写上两个括号，

00:01:42.870 --> 00:01:46.000
在括号中填入Δx，逗号，Δy。

00:01:46.000 --> 00:01:47.780
对图中的这个向量而言，

00:01:47.780 --> 00:01:50.340
更具体地说，

00:01:50.340 --> 00:01:53.550
我们已知它的长度为3。

00:01:53.550 --> 00:01:55.540
它的大小为3。

00:01:55.540 --> 00:01:58.350
我们还知道这条线处于水平方向，

00:01:58.350 --> 00:02:00.290
而这条线处于竖直方向。

00:02:00.290 --> 00:02:02.420
此处是一个直角。

00:02:02.420 --> 00:02:05.170
于是我们可以使用以往的几何知识。

00:02:05.170 --> 00:02:08.020
别担心，有必要的话你可以复习一下。

00:02:08.020 --> 00:02:09.620
我们可以使用一点几何，

00:02:09.620 --> 00:02:11.490
或者三角学知识：

00:02:11.490 --> 00:02:13.610
我们已知这个角的大小，

00:02:13.610 --> 00:02:17.210
以及这条斜边的长度，那么这条与30°角

00:02:17.210 --> 00:02:20.180
相对的边的长度就等于斜边的一半，

00:02:20.180 --> 00:02:22.020
也就是3/2。

00:02:22.020 --> 00:02:24.200
而x方向的变化量则等于

00:02:24.200 --> 00:02:26.960
根号3乘以3/2。

00:02:26.960 --> 00:02:31.080
也就是二分之三倍根号3。

00:02:31.080 --> 00:02:33.980
于是我们可以在括号中填入：

00:02:33.980 --> 00:02:37.680
x分量等于二分之三倍根号3，

00:02:37.680 --> 00:02:42.420
y分量等于3/2。

00:02:42.420 --> 00:02:43.820
不少同学可能会觉得

00:02:43.820 --> 00:02:47.260
这长得很像坐标平面上的坐标：

00:02:47.260 --> 00:02:48.580
这对应横坐标，

00:02:48.580 --> 00:02:50.300
这对应纵坐标。

00:02:50.300 --> 00:02:51.970
不过，当你在处理向量时，

00:02:51.970 --> 00:02:54.610
这种理解并不确切。

00:02:54.610 --> 00:02:57.000
是的，当这个向量的尾巴

00:02:57.000 --> 00:03:00.140
刚好落在原点上时，

00:03:00.140 --> 00:03:04.670
它的头部在坐标平面上的坐标会恰好等于这个。

00:03:04.670 --> 00:03:07.470
但我们知道，向量并不是

00:03:07.470 --> 00:03:10.180
被它尾部的位置所定义的。

00:03:10.180 --> 00:03:12.200
我们可以把这个向量在平面上随意平移，

00:03:12.200 --> 00:03:13.840
得到的都还是同一个向量。

00:03:13.840 --> 00:03:15.590
它的起点在哪儿都行。

00:03:15.590 --> 00:03:19.000
所以，在向量语境下，

00:03:19.000 --> 00:03:21.440
这两者并不代表横坐标和纵坐标，

00:03:21.440 --> 00:03:26.440
而是代表横坐标的变化量，和纵坐标的变化量。

00:03:27.070 --> 00:03:28.480
让我们再看一个

00:03:28.480 --> 00:03:30.880
反其道而行之的例子。

00:03:30.880 --> 00:03:34.790
假设我们用刚才的方法定义了一个向量b，

00:03:34.790 --> 00:03:39.200
它的x分量等于根号2，

00:03:39.200 --> 00:03:43.520
它的y分量也等于根号2。

00:03:43.520 --> 00:03:46.260
这个向量长什么样？

00:03:46.260 --> 00:03:49.380
假设这是它的尾部，

00:03:49.380 --> 00:03:51.410
它的x分量，也就是横坐标的变化量，

00:03:51.410 --> 00:03:53.030
等于根号2。

00:03:53.030 --> 00:03:55.460
x的变化量大致长这样。

00:03:55.460 --> 00:04:00.460
这条线对应横坐标的变化量，等于根号2。

00:04:00.800 --> 00:04:03.980
而这个向量的y分量也等于根号2。

00:04:03.980 --> 00:04:07.230
我们在这里写上，纵坐标的变化量，

00:04:07.230 --> 00:04:08.970
也等于根号2。

00:04:08.970 --> 00:04:12.850
于是这个向量将会长这样子：

00:04:12.850 --> 00:04:17.850
它从这里出发，指向这里。

00:04:18.580 --> 00:04:20.590
借助一点几何知识，

00:04:20.590 --> 00:04:21.980
我们可以求出该向量的

00:04:21.980 --> 00:04:24.260
大小和方向。

00:04:24.260 --> 00:04:26.760
根据勾股定理，

00:04:26.760 --> 00:04:28.760
两条直角边的平方和

00:04:28.760 --> 00:04:30.410
等于斜边的平方。

00:04:30.410 --> 00:04:32.380
于是我们可以算得，

00:04:32.380 --> 00:04:34.510
斜边的长度等于2，

00:04:34.510 --> 00:04:39.370
也就是说，向量b的长度等于2。

00:04:39.370 --> 00:04:42.420
假如想进一步求出这个角的度数，

00:04:42.420 --> 00:04:43.870
你可以用一点三角学知识，

00:04:43.870 --> 00:04:46.110
实际上一点几何知识就够了。

00:04:46.110 --> 00:04:49.500
你看，此处是一个直角，

00:04:49.500 --> 00:04:52.130
而这两条边长度相等。

00:04:52.130 --> 00:04:53.590
所以这两个角大小相等，

00:04:53.590 --> 00:04:55.600
都等于45°。

00:04:55.600 --> 00:04:58.690
于是我们也确定了这个向量的方向：

00:04:58.690 --> 00:05:02.770
相对正东方向逆时针旋转45°。

00:05:02.770 --> 00:05:05.360
希望你可以体会到，上述两种针对向量的表达方式

00:05:05.360 --> 00:05:06.540
其实是一回事。

00:05:06.540 --> 00:05:08.950
你既可以规定向量的长度和方向，

00:05:08.950 --> 00:05:10.200
也可以规定它的分量，

00:05:10.200 --> 00:05:12.350
这两种表达方式可以相互转化。

00:05:12.350 --> 00:05:15.283
关于这一点，我们在接下来的视频中会做更多的练习。