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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.63,0:00:02.43,Default,,0000,0000,0000,,在早先的视频里，我们介绍过
Dialogue: 0,0:00:02.43,0:00:04.10,Default,,0000,0000,0000,,如何用大小和方向
Dialogue: 0,0:00:04.10,0:00:06.67,Default,,0000,0000,0000,,来完全定义一个向量，两者缺一不可。
Dialogue: 0,0:00:06.67,0:00:08.26,Default,,0000,0000,0000,,此处有一个已经被这样定义的向量。
Dialogue: 0,0:00:08.26,0:00:09.88,Default,,0000,0000,0000,,我们已知它的大小
Dialogue: 0,0:00:09.88,0:00:12.57,Default,,0000,0000,0000,,等于3个单位长度。
Dialogue: 0,0:00:12.57,0:00:15.19,Default,,0000,0000,0000,,这两边的平行线，
Dialogue: 0,0:00:15.19,0:00:17.17,Default,,0000,0000,0000,,看上去像双重绝对值的符号，
Dialogue: 0,0:00:17.17,0:00:19.58,Default,,0000,0000,0000,,代表向量a的长度。
Dialogue: 0,0:00:19.58,0:00:23.15,Default,,0000,0000,0000,,这个式子相当于指定了
Dialogue: 0,0:00:23.15,0:00:26.20,Default,,0000,0000,0000,,图中箭头的长度为3个单位长度。
Dialogue: 0,0:00:26.20,0:00:27.56,Default,,0000,0000,0000,,与此同时我们还规定了它的方向。
Dialogue: 0,0:00:27.56,0:00:29.61,Default,,0000,0000,0000,,如图所示，这个向量的方向是
Dialogue: 0,0:00:29.61,0:00:32.27,Default,,0000,0000,0000,,相对正东方向逆时针旋转30°。
Dialogue: 0,0:00:32.27,0:00:34.86,Default,,0000,0000,0000,,在本视频中，我们将会介绍
Dialogue: 0,0:00:34.86,0:00:38.22,Default,,0000,0000,0000,,定义该向量的另一种方法。
Dialogue: 0,0:00:38.22,0:00:41.05,Default,,0000,0000,0000,,这是一种通过分量来定义向量的方法。
Dialogue: 0,0:00:41.05,0:00:42.53,Default,,0000,0000,0000,,我们将关注
Dialogue: 0,0:00:42.53,0:00:44.10,Default,,0000,0000,0000,,这个向量的尾部
Dialogue: 0,0:00:44.10,0:00:47.30,Default,,0000,0000,0000,,和头部，
Dialogue: 0,0:00:47.30,0:00:50.45,Default,,0000,0000,0000,,考虑从它的尾部走到头部，
Dialogue: 0,0:00:50.45,0:00:53.53,Default,,0000,0000,0000,,横坐标x改变了多少？
Dialogue: 0,0:00:53.53,0:00:55.51,Default,,0000,0000,0000,,我们可以看出，x的变化量
Dialogue: 0,0:00:55.51,0:00:58.34,Default,,0000,0000,0000,,等于这条红线的长度。
Dialogue: 0,0:00:58.34,0:01:00.98,Default,,0000,0000,0000,,我们的横坐标从这个值变成了这个值。
Dialogue: 0,0:01:00.98,0:01:05.37,Default,,0000,0000,0000,,我们还要考虑纵坐标y的变化。
Dialogue: 0,0:01:05.37,0:01:07.98,Default,,0000,0000,0000,,假如我们从此处向上走到这里，
Dialogue: 0,0:01:07.98,0:01:11.94,Default,,0000,0000,0000,,y方向的变化量就对应这条紫线的长度。
Dialogue: 0,0:01:11.94,0:01:13.50,Default,,0000,0000,0000,,让我们给它们做上标记。
Dialogue: 0,0:01:13.50,0:01:18.50,Default,,0000,0000,0000,,x的变化量记作Δx，y的变化量记作Δy。
Dialogue: 0,0:01:18.79,0:01:19.92,Default,,0000,0000,0000,,请设想一下，
Dialogue: 0,0:01:19.92,0:01:22.78,Default,,0000,0000,0000,,假如有人告诉了你Δx和Δy，
Dialogue: 0,0:01:22.78,0:01:25.39,Default,,0000,0000,0000,,你应该可以相应重建出这个向量：
Dialogue: 0,0:01:25.39,0:01:27.49,Default,,0000,0000,0000,,从这里出发，先改变x，
Dialogue: 0,0:01:27.49,0:01:31.20,Default,,0000,0000,0000,,再改变y，得到向量的头部
Dialogue: 0,0:01:31.20,0:01:34.74,Default,,0000,0000,0000,,相对尾部的位置。
Dialogue: 0,0:01:34.74,0:01:38.20,Default,,0000,0000,0000,,我们相应将上述定义记作：
Dialogue: 0,0:01:38.20,0:01:42.87,Default,,0000,0000,0000,,向量a，等于，写上两个括号，
Dialogue: 0,0:01:42.87,0:01:46.00,Default,,0000,0000,0000,,在括号中填入Δx，逗号，Δy。
Dialogue: 0,0:01:46.00,0:01:47.78,Default,,0000,0000,0000,,对图中的这个向量而言，
Dialogue: 0,0:01:47.78,0:01:50.34,Default,,0000,0000,0000,,更具体地说，
Dialogue: 0,0:01:50.34,0:01:53.55,Default,,0000,0000,0000,,我们已知它的长度为3。
Dialogue: 0,0:01:53.55,0:01:55.54,Default,,0000,0000,0000,,它的大小为3。
Dialogue: 0,0:01:55.54,0:01:58.35,Default,,0000,0000,0000,,我们还知道这条线处于水平方向，
Dialogue: 0,0:01:58.35,0:02:00.29,Default,,0000,0000,0000,,而这条线处于竖直方向。
Dialogue: 0,0:02:00.29,0:02:02.42,Default,,0000,0000,0000,,此处是一个直角。
Dialogue: 0,0:02:02.42,0:02:05.17,Default,,0000,0000,0000,,于是我们可以使用以往的几何知识。
Dialogue: 0,0:02:05.17,0:02:08.02,Default,,0000,0000,0000,,别担心，有必要的话你可以复习一下。
Dialogue: 0,0:02:08.02,0:02:09.62,Default,,0000,0000,0000,,我们可以使用一点几何，
Dialogue: 0,0:02:09.62,0:02:11.49,Default,,0000,0000,0000,,或者三角学知识：
Dialogue: 0,0:02:11.49,0:02:13.61,Default,,0000,0000,0000,,我们已知这个角的大小，
Dialogue: 0,0:02:13.61,0:02:17.21,Default,,0000,0000,0000,,以及这条斜边的长度，那么这条与30°角
Dialogue: 0,0:02:17.21,0:02:20.18,Default,,0000,0000,0000,,相对的边的长度就等于斜边的一半，
Dialogue: 0,0:02:20.18,0:02:22.02,Default,,0000,0000,0000,,也就是3/2。
Dialogue: 0,0:02:22.02,0:02:24.20,Default,,0000,0000,0000,,而x方向的变化量则等于
Dialogue: 0,0:02:24.20,0:02:26.96,Default,,0000,0000,0000,,根号3乘以3/2。
Dialogue: 0,0:02:26.96,0:02:31.08,Default,,0000,0000,0000,,也就是二分之三倍根号3。
Dialogue: 0,0:02:31.08,0:02:33.98,Default,,0000,0000,0000,,于是我们可以在括号中填入：
Dialogue: 0,0:02:33.98,0:02:37.68,Default,,0000,0000,0000,,x分量等于二分之三倍根号3，
Dialogue: 0,0:02:37.68,0:02:42.42,Default,,0000,0000,0000,,y分量等于3/2。
Dialogue: 0,0:02:42.42,0:02:43.82,Default,,0000,0000,0000,,不少同学可能会觉得
Dialogue: 0,0:02:43.82,0:02:47.26,Default,,0000,0000,0000,,这长得很像坐标平面上的坐标：
Dialogue: 0,0:02:47.26,0:02:48.58,Default,,0000,0000,0000,,这对应横坐标，
Dialogue: 0,0:02:48.58,0:02:50.30,Default,,0000,0000,0000,,这对应纵坐标。
Dialogue: 0,0:02:50.30,0:02:51.97,Default,,0000,0000,0000,,不过，当你在处理向量时，
Dialogue: 0,0:02:51.97,0:02:54.61,Default,,0000,0000,0000,,这种理解并不确切。
Dialogue: 0,0:02:54.61,0:02:57.00,Default,,0000,0000,0000,,是的，当这个向量的尾巴
Dialogue: 0,0:02:57.00,0:03:00.14,Default,,0000,0000,0000,,刚好落在原点上时，
Dialogue: 0,0:03:00.14,0:03:04.67,Default,,0000,0000,0000,,它的头部在坐标平面上的坐标会恰好等于这个。
Dialogue: 0,0:03:04.67,0:03:07.47,Default,,0000,0000,0000,,但我们知道，向量并不是
Dialogue: 0,0:03:07.47,0:03:10.18,Default,,0000,0000,0000,,被它尾部的位置所定义的。
Dialogue: 0,0:03:10.18,0:03:12.20,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把这个向量在平面上随意平移，
Dialogue: 0,0:03:12.20,0:03:13.84,Default,,0000,0000,0000,,得到的都还是同一个向量。
Dialogue: 0,0:03:13.84,0:03:15.59,Default,,0000,0000,0000,,它的起点在哪儿都行。
Dialogue: 0,0:03:15.59,0:03:19.00,Default,,0000,0000,0000,,所以，在向量语境下，
Dialogue: 0,0:03:19.00,0:03:21.44,Default,,0000,0000,0000,,这两者并不代表横坐标和纵坐标，
Dialogue: 0,0:03:21.44,0:03:26.44,Default,,0000,0000,0000,,而是代表横坐标的变化量，和纵坐标的变化量。
Dialogue: 0,0:03:27.07,0:03:28.48,Default,,0000,0000,0000,,让我们再看一个
Dialogue: 0,0:03:28.48,0:03:30.88,Default,,0000,0000,0000,,反其道而行之的例子。
Dialogue: 0,0:03:30.88,0:03:34.79,Default,,0000,0000,0000,,假设我们用刚才的方法定义了一个向量b，
Dialogue: 0,0:03:34.79,0:03:39.20,Default,,0000,0000,0000,,它的x分量等于根号2，
Dialogue: 0,0:03:39.20,0:03:43.52,Default,,0000,0000,0000,,它的y分量也等于根号2。
Dialogue: 0,0:03:43.52,0:03:46.26,Default,,0000,0000,0000,,这个向量长什么样？
Dialogue: 0,0:03:46.26,0:03:49.38,Default,,0000,0000,0000,,假设这是它的尾部，
Dialogue: 0,0:03:49.38,0:03:51.41,Default,,0000,0000,0000,,它的x分量，也就是横坐标的变化量，
Dialogue: 0,0:03:51.41,0:03:53.03,Default,,0000,0000,0000,,等于根号2。
Dialogue: 0,0:03:53.03,0:03:55.46,Default,,0000,0000,0000,,x的变化量大致长这样。
Dialogue: 0,0:03:55.46,0:04:00.46,Default,,0000,0000,0000,,这条线对应横坐标的变化量，等于根号2。
Dialogue: 0,0:04:00.80,0:04:03.98,Default,,0000,0000,0000,,而这个向量的y分量也等于根号2。
Dialogue: 0,0:04:03.98,0:04:07.23,Default,,0000,0000,0000,,我们在这里写上，纵坐标的变化量，
Dialogue: 0,0:04:07.23,0:04:08.97,Default,,0000,0000,0000,,也等于根号2。
Dialogue: 0,0:04:08.97,0:04:12.85,Default,,0000,0000,0000,,于是这个向量将会长这样子：
Dialogue: 0,0:04:12.85,0:04:17.85,Default,,0000,0000,0000,,它从这里出发，指向这里。
Dialogue: 0,0:04:18.58,0:04:20.59,Default,,0000,0000,0000,,借助一点几何知识，
Dialogue: 0,0:04:20.59,0:04:21.98,Default,,0000,0000,0000,,我们可以求出该向量的
Dialogue: 0,0:04:21.98,0:04:24.26,Default,,0000,0000,0000,,大小和方向。
Dialogue: 0,0:04:24.26,0:04:26.76,Default,,0000,0000,0000,,根据勾股定理，
Dialogue: 0,0:04:26.76,0:04:28.76,Default,,0000,0000,0000,,两条直角边的平方和
Dialogue: 0,0:04:28.76,0:04:30.41,Default,,0000,0000,0000,,等于斜边的平方。
Dialogue: 0,0:04:30.41,0:04:32.38,Default,,0000,0000,0000,,于是我们可以算得，
Dialogue: 0,0:04:32.38,0:04:34.51,Default,,0000,0000,0000,,斜边的长度等于2，
Dialogue: 0,0:04:34.51,0:04:39.37,Default,,0000,0000,0000,,也就是说，向量b的长度等于2。
Dialogue: 0,0:04:39.37,0:04:42.42,Default,,0000,0000,0000,,假如想进一步求出这个角的度数，
Dialogue: 0,0:04:42.42,0:04:43.87,Default,,0000,0000,0000,,你可以用一点三角学知识，
Dialogue: 0,0:04:43.87,0:04:46.11,Default,,0000,0000,0000,,实际上一点几何知识就够了。
Dialogue: 0,0:04:46.11,0:04:49.50,Default,,0000,0000,0000,,你看，此处是一个直角，
Dialogue: 0,0:04:49.50,0:04:52.13,Default,,0000,0000,0000,,而这两条边长度相等。
Dialogue: 0,0:04:52.13,0:04:53.59,Default,,0000,0000,0000,,所以这两个角大小相等，
Dialogue: 0,0:04:53.59,0:04:55.60,Default,,0000,0000,0000,,都等于45°。
Dialogue: 0,0:04:55.60,0:04:58.69,Default,,0000,0000,0000,,于是我们也确定了这个向量的方向：
Dialogue: 0,0:04:58.69,0:05:02.77,Default,,0000,0000,0000,,相对正东方向逆时针旋转45°。
Dialogue: 0,0:05:02.77,0:05:05.36,Default,,0000,0000,0000,,希望你可以体会到，上述两种针对向量的表达方式
Dialogue: 0,0:05:05.36,0:05:06.54,Default,,0000,0000,0000,,其实是一回事。
Dialogue: 0,0:05:06.54,0:05:08.95,Default,,0000,0000,0000,,你既可以规定向量的长度和方向，
Dialogue: 0,0:05:08.95,0:05:10.20,Default,,0000,0000,0000,,也可以规定它的分量，
Dialogue: 0,0:05:10.20,0:05:12.35,Default,,0000,0000,0000,,这两种表达方式可以相互转化。
Dialogue: 0,0:05:12.35,0:05:15.28,Default,,0000,0000,0000,,关于这一点，我们在接下来的视频中会做更多的练习。