Prime Numbers

Ebben a videóban arról
szeretnék beszélni,

hogy mit jelent az,
hogy egy szám prímszám.

Látni fogod,

hogy ez egy elég egyszerű fogalom.

De ahogy haladsz majd
a matematikai tanulmányaidban,

meglátod, hogy eléggé
bonyolult elméleteket

lehet a prímszám fogalmára építeni.

Ezek közé tartozik a titkosítás.

Talán ebben a pillanatban is

olyan titkosítást használ
a számítógéped,

aminek egy része a prímszámokra épül.

Ha nem tudod, mi az a titkosítás,

most még nem kell aggódnod miatta.

Csak annyit kell tudnod,
hogy a prímszámok elég fontosak.

Nézzük meg akkor,
hogy mi a prímszám.

A definíció egy kicsit
bonyolultnak tűnhet,

de a példákból majd láthatod,
hogy elég egyszerű.

Egy pozitív egész szám prímszám,

ha pontosan két pozitív osztója van,
az 1 és önmaga.

A pozitív egész számok
az 1, 2, 3, stb. számok.

Tehát pontosan két pozitív osztója van.

Pontosan két osztója van
a pozitív egész számok körében.

Az egyik maga a szám,
a másik pedig az 1.

Hogy jobban megértsd,
nézzünk meg néhány példát.

Vizsgáljunk meg néhány számot,

döntsük el, hogy prímek vagy nem.

Kezdjük a legkisebb pozitív egész számmal,
az 1-gyel.

Az 1 osztható 1-gyel
és osztható saját magával,

ezért lehet, hogy azt gondolod,
hogy az 1 prím.

De gondoljunk vissza a definícióra,

a prímszámnak pontosan két
osztója van.

Az 1 viszont csak pozitív egész számmal
osztható, az 1-gyel.

Így az 1 nem prímszám.

Menjünk a kettőre.

A 2 osztható 1-gyel és 2-vel,

de más pozitív egész számmal nem.

Ez megfelel a feltételünknek.

Pontosan két pozitív egész
számmal osztható.

Önmagával és az 1-gyel.

Így a 2 prímszám.

Bekarikázom a prímszámokat.

A 2 elég érdekes,

mert ez az egyetlen páros szám,
ami prím.

Ha belegondolsz,
bármelyik másik páros szám

osztható lesz kettővel
az 1-en és önmagán kívül,

tehát nem lehet prím.

Foglalkozunk majd ezzel
a későbbi videókban.

Nézzük a 3-at.

A 3 természetesen osztható
1-gyel és 3-mal,

a kettő közötti számmal,
a 2-vel nem osztható,

ezért a 3 szintén prímszám.

Próbáljuk meg a 4-et.

A 4 biztosan osztató 1-gyel és 4-gyel,

de osztható 2-vel is, 2-szer 2 az 4.

2-vel is osztható,

vagyis három pozitív egész
osztója van, az 1, a 2 és a 3.

A 4 tehát nem felel meg
a prímszám fogalmának.

Próbáljuk meg az 5-öt.

Az 5 természetesen osztható 1-gyel,

nem osztható 2-vel,

nem osztható 3-mal,

nem osztható 4-gyel maradék nélkül

eloszthatjuk az 5-öt 4-gyel,
de lesz maradék

viszont természetesen osztható 5-tel.

Így ez is pontosan két
pozitív egész számmal osztható,

az 1-gyel és az 5-tel.

Tehát az 5 prímszám.

Folytassuk, hátha felfedezünk
valami szabályszerűséget.

Később megpróbálok egy igazán kellemetlent mutatni

Akkor nézzük 6-ot.

Ez osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal és 6-tal.

osztható 2-vel,

osztható 3-mal,

4-gyel nem, 5-tel sem,
de 6-tal igen.

Négy pozitív egész osztója van,

vagyis nem pontosan két
pozitív egész számmal osztható,

hanem néggyel,
ezért nem prímszám.

Nézzük a 7-et.

A 7 az osztható 1-gyel,

de nem osztható sem 2-vel,
sem 3-mal, sem 4-gyel,

sem 5-tel sem 6-tal,

viszont osztható 7-tel,

tehát a 7 prímszám.

Gondolom, most már érted az elvet.

Hány szám -- olyan számok mint 1, 2, 3, 4, 5,

amiket már két évesen is ismertél, --

a nulla nélkül, a negatív számok nélkül,

a törtek nélkül, az irracionális számok nélkül,

a tizedes törtek és minden más nélkül,

csak a rendes pozitív számok amiket számláláshoz használunk.

Ha csak kettőt találunk,

ha a szám csak önmagával
és 1-gyel osztható,

akkor prímszám.

Úgy gondolhatunk a prímekre,

ha most ez 1-est nem számítjuk (mint láttuk - a ford.),

a prímszámok a építőkövei a számoknak.

Nem lehet őket tovább osztani.

Hasonlóak az atomokhoz.

A belegondolunk, hogy az atom micsoda --

vagy inkább ahogy a hétköznapi emberek először,

gondolnak rá -- azok a dolgok,

amiket nem lehet tovább osztani.

Persze tudjuk, hogy az atomokat is lehet tovább osztani,

ha megpróbálod akkor lehet, hogy atomrobbanás lesz belőle.

Az alapgondolat hasonló a prímszámok mögött.

Nem tudod őket tovább osztani

kisebb természetes számokra.

Olyanokra mint a 6-os mondhatod, hogy hé, a 6, az 2-szer 3,

szét tudjuk bontani, és figyeljük meg, hogy

két prímszámra tudtuk szétbontani.

Szétbontottuk -- úgy is mondhatjuk, hogy -- az alkotóira.

A 7-es nem tudod tovább bontani.

Csak annyit mondhatsz a 7-esről, hogy az 1-szer 7.

És ebben az esetben igazából nem bontottad tovább.

Csak egy 7-esed van ott megint.

A 6-ost szét tudod bontani.

A 4-est is szét tudod bontani, 2-szer 2-re.

Most, hogy mindezt tisztáztuk, nézzünk valami nagyobb

számokat és próbáljuk meg eldönteni,

hogy azok a számok prímek-e.

Próbáljuk meg a 16-ot.

Bármilyen természetes szám osztható 1-gyel és önmagával.

A 16, osztható 1-gyel és 16-tal.

Egyből két osztóval kezdünk,

ha találunk ezeken kívül másik osztókat,

akkor tudjuk, hogy nem prímmel van dolgunk,

és 16-osnak van még a 2 és a 8, mint osztója,

lehet a 4-szer 4 is,

szóval egy csomó más osztója is van ennek,

az 1 és a 16 kötött,

ezért a 16 nem prím. Mi a helyzet a 17-tel?

1 és 17 természetesen megvan a 17-ben,

2 nincs meg a 17-ben, 3 nincs meg, 4, 5, 6, 7, 8...

egyik sincs meg a tizenhétben, semmi sincs az 1 és 17 között

ami megvan benne, ezért 17 az prím.

És akkor most hadd adjak egy nehezet.

Ez sokszor beugratja az embereket.

Mi a helyzet az 51-gyel? Az 51 prím?

Ha érdekel, akkor megállíthatod itt a videót

és megpróbálhatod kitalálni magadtól,

hogy az 51 prímszám-e.

Hátha találsz bármilyen számot az 1-en és 51-en kívül,

ami megvan az 51-ben. Úgy tűnik...

á, ez egy elég fura szám.

Erősen hajlik az ember arra, hogy azt gondolja ez prím,

de most megmondom a választ.

Ez nem prím, mert osztható 3-mal és 17-tel szintúgy.

3-szro 17, az 51.

Remélhetőleg sikerült megérteni,

mik azok a prímszámok,

és remélem, hogy a további videókban majd gyakorolhatjuk,

mondjuk valamelyik feladatban.