Ebben a videóban arról szeretnék beszélni,
hogy mit jelent az, hogy egy szám prímszám.
Látni fogod,
hogy ez egy elég egyszerű fogalom.
De ahogy haladsz majd a matematikai tanulmányaidban,
meglátod, hogy eléggé bonyolult elméleteket
lehet a prímszám fogalmára építeni.
Ezek közé tartozik a titkosítás.
Talán ebben a pillanatban is
olyan titkosítást használ a számítógéped,
aminek egy része a prímszámokra épül.
Ha nem tudod, mi az a titkosítás,
most még nem kell aggódnod miatta.
Csak annyit kell tudnod, hogy a prímszámok elég fontosak.
Nézzük meg akkor, hogy mi a prímszám.
A definíció egy kicsit bonyolultnak tűnhet,
de a példákból majd láthatod, hogy elég egyszerű.
Egy pozitív egész szám prímszám,
ha pontosan két pozitív osztója van, az 1 és önmaga.
A pozitív egész számok az 1, 2, 3, stb. számok.
Tehát pontosan két pozitív osztója van.
Pontosan két osztója van a pozitív egész számok körében.
Az egyik maga a szám, a másik pedig az 1.
Hogy jobban megértsd, nézzünk meg néhány példát.
Vizsgáljunk meg néhány számot,
döntsük el, hogy prímek vagy nem.
Kezdjük a legkisebb pozitív egész számmal, az 1-gyel.
Az 1 osztható 1-gyel és osztható saját magával,
ezért lehet, hogy azt gondolod, hogy az 1 prím.
De gondoljunk vissza a definícióra,
a prímszámnak pontosan két osztója van.
Az 1 viszont csak pozitív egész számmal osztható, az 1-gyel.
Így az 1 nem prímszám.
Menjünk a kettőre.
A 2 osztható 1-gyel és 2-vel,
de más pozitív egész számmal nem.
Ez megfelel a feltételünknek.
Pontosan két pozitív egész számmal osztható.
Önmagával és az 1-gyel.
Így a 2 prímszám.
Bekarikázom a prímszámokat.
A 2 elég érdekes,
mert ez az egyetlen páros szám, ami prím.
Ha belegondolsz, bármelyik másik páros szám
osztható lesz kettővel az 1-en és önmagán kívül,
tehát nem lehet prím.
Foglalkozunk majd ezzel a későbbi videókban.
Nézzük a 3-at.
A 3 természetesen osztható 1-gyel és 3-mal,
a kettő közötti számmal, a 2-vel nem osztható,
ezért a 3 szintén prímszám.
Próbáljuk meg a 4-et.
A 4 biztosan osztató 1-gyel és 4-gyel,
de osztható 2-vel is, 2-szer 2 az 4.
2-vel is osztható,
vagyis három pozitív egész osztója van, az 1, a 2 és a 3.
A 4 tehát nem felel meg a prímszám fogalmának.
Próbáljuk meg az 5-öt.
Az 5 természetesen osztható 1-gyel,
nem osztható 2-vel,
nem osztható 3-mal,
nem osztható 4-gyel maradék nélkül
eloszthatjuk az 5-öt 4-gyel, de lesz maradék
viszont természetesen osztható 5-tel.
Így ez is pontosan két pozitív egész számmal osztható,
az 1-gyel és az 5-tel.
Tehát az 5 prímszám.
Folytassuk, hátha felfedezünk valami szabályszerűséget.
Később megpróbálok egy igazán kellemetlent mutatni
Akkor nézzük 6-ot.
Ez osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal és 6-tal.
osztható 2-vel,
osztható 3-mal,
4-gyel nem, 5-tel sem, de 6-tal igen.
Négy pozitív egész osztója van,
vagyis nem pontosan két pozitív egész számmal osztható,
hanem néggyel, ezért nem prímszám.
Nézzük a 7-et.
A 7 az osztható 1-gyel,
de nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 4-gyel,
sem 5-tel sem 6-tal,
viszont osztható 7-tel,
tehát a 7 prímszám.
Gondolom, most már érted az elvet.
Hány szám -- olyan számok mint 1, 2, 3, 4, 5,
amiket már két évesen is ismertél, --
a nulla nélkül, a negatív számok nélkül,
a törtek nélkül, az irracionális számok nélkül,
a tizedes törtek és minden más nélkül,
csak a rendes pozitív számok amiket számláláshoz használunk.
Ha csak kettőt találunk,
ha a szám csak önmagával és 1-gyel osztható,
akkor prímszám.
Úgy gondolhatunk a prímekre,
ha most ez 1-est nem számítjuk (mint láttuk - a ford.),
a prímszámok a építőkövei a számoknak.
Nem lehet őket tovább osztani.
Hasonlóak az atomokhoz.
A belegondolunk, hogy az atom micsoda --
vagy inkább ahogy a hétköznapi emberek először,
gondolnak rá -- azok a dolgok,
amiket nem lehet tovább osztani.
Persze tudjuk, hogy az atomokat is lehet tovább osztani,
ha megpróbálod akkor lehet, hogy atomrobbanás lesz belőle.
Az alapgondolat hasonló a prímszámok mögött.
Nem tudod őket tovább osztani
kisebb természetes számokra.
Olyanokra mint a 6-os mondhatod, hogy hé, a 6, az 2-szer 3,
szét tudjuk bontani, és figyeljük meg, hogy
két prímszámra tudtuk szétbontani.
Szétbontottuk -- úgy is mondhatjuk, hogy -- az alkotóira.
A 7-es nem tudod tovább bontani.
Csak annyit mondhatsz a 7-esről, hogy az 1-szer 7.
És ebben az esetben igazából nem bontottad tovább.
Csak egy 7-esed van ott megint.
A 6-ost szét tudod bontani.
A 4-est is szét tudod bontani, 2-szer 2-re.
Most, hogy mindezt tisztáztuk, nézzünk valami nagyobb
számokat és próbáljuk meg eldönteni,
hogy azok a számok prímek-e.
Próbáljuk meg a 16-ot.
Bármilyen természetes szám osztható 1-gyel és önmagával.
A 16, osztható 1-gyel és 16-tal.
Egyből két osztóval kezdünk,
ha találunk ezeken kívül másik osztókat,
akkor tudjuk, hogy nem prímmel van dolgunk,
és 16-osnak van még a 2 és a 8, mint osztója,
lehet a 4-szer 4 is,
szóval egy csomó más osztója is van ennek,
az 1 és a 16 kötött,
ezért a 16 nem prím. Mi a helyzet a 17-tel?
1 és 17 természetesen megvan a 17-ben,
2 nincs meg a 17-ben, 3 nincs meg, 4, 5, 6, 7, 8...
egyik sincs meg a tizenhétben, semmi sincs az 1 és 17 között
ami megvan benne, ezért 17 az prím.
És akkor most hadd adjak egy nehezet.
Ez sokszor beugratja az embereket.
Mi a helyzet az 51-gyel? Az 51 prím?
Ha érdekel, akkor megállíthatod itt a videót
és megpróbálhatod kitalálni magadtól,
hogy az 51 prímszám-e.
Hátha találsz bármilyen számot az 1-en és 51-en kívül,
ami megvan az 51-ben. Úgy tűnik...
á, ez egy elég fura szám.
Erősen hajlik az ember arra, hogy azt gondolja ez prím,
de most megmondom a választ.
Ez nem prím, mert osztható 3-mal és 17-tel szintúgy.
3-szro 17, az 51.
Remélhetőleg sikerült megérteni,
mik azok a prímszámok,
és remélem, hogy a további videókban majd gyakorolhatjuk,
mondjuk valamelyik feladatban.