Phép triển khai tích có hướng của 3 vectơ (theo công thức Lagrange) (không bắt buộc)

Cách tính nhanh tích có hướng của 3 vectơ (theo công thức Lagrange).

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/normal-vector-from-plane-equation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/dot-and-cross-product-comparison-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Đại số tuyến tính của Khan Academy:
https://www.youtube.com/channel/UCGYSKl6e3HM0PP7QR35Crug?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Trong video này, mình sẽ học về phép triển khai

tích có hướng của 3 vectơ

hay còn gọi là công thức Lagrange.

Cái này chỉ là dạng đơn giản của

tích có hướng của 3 vectơ.

Vậy nếu mình tính tích có hướng của a, b và c,

mình có thể biểu diễn cái này dưới dạng

tổng và hiệu của

tích vô hướng.

Không chỉ tích vô hướng--

mà là tích vô hướng với

các vectơ khác nhau.

Nghĩa là nó sẽ đơn giản biểu thức này một xíu

vì tính tích có hướng ở đây khá khó.

Cái này khá nặng tính toán,

và mình thấy nó khá rối.

Bạn không bắt buộc phải biết cái

này khi học vectơ,

nhưng nó cũng khá hữu ích.

Động lực để mình làm video này là

mình thấy bài toán cho bài thi đầu vào của Học viện Công nghệ Ấn Độ

có liên quan tới công thức Lagrange,

hay phép triển khai tích có hướng của 3 vectơ.

Để xem mình sẽ đơn giản hóa cái này như thế nào.

Mình sẽ bắt đầu bằng việc lấy

tích có hướng của b và c.

Trong những trường hợp như thế này,

mình giả sử mình có vectơ a.

Nó sẽ là thành phần x của vector a nhân với

vectơ đơn vị i, cộng thành phần y của vectơ a

nhân với vectơ đơn vị j, cộng với thành phần z của vectơ a

nhân với vectơ đơn vị k.

Mình làm điều tương tự với b và c.

Vậy nếu mình nói b_y, mình đang nói về

tỉ lệ của thành phần j trong vectơ b.

Đầu tiên mình sẽ tính tích có hướng ở đây.

Và nếu bạn đã thấy mình làm cái này,

bạn sẽ biết mình hay dùng định thức.

Để mình chuyển nó qua đây.

Vậy tích có hướng của b và c sẽ bằng định thức--

Mình sẽ để i, j, k ở đây.

Cái này là định nghĩa của tích có hướng,

nên mình không cần chứng minh lại.

Đây là một cách để nhớ tích vô hướng

nếu bạn nhớ cách dùng định thức

bằng phương pháp giải hệ phương trình 3 ẩn

Vậy mình sẽ để ở đây số hạng b_x, hệ số b_y,

và thành phần b_z.

Mình làm điều tương tự với c, c_x, c_y, c_z

Và cái này sẽ bằng với,

đầu tiên là mình có thành phần i.

Nó sẽ là thành phần i nhân b.

Bạn có thể bỏ qua hàng này và cột này.

Vậy b_y c_z trừ b_z c_y.

Vậy mình sẽ bỏ qua cái này.

Mình đang nhìn vào phần diện tích 2 nhân 2 ngay đây.

trừ cho b_z c_y.

Và mình sẽ trừ thành phần j.

Mình đã đổi dấu khi mình lấy định thức.

Trừ cái đó đi.

Và mình sẽ bỏ qua cột và hàng đó,

nó sẽ thành b_x c_z, cái này hơi chán,

mình mong là kết quả của nó sẽ thú vị hơn,

b_x c_z trừ b_z c_x.

Và cuối cùng là cộng thành phần k.

Vậy mình sẽ có b_x nhân với c_y trừ b_y c_x.

Mình vừa tính tích vô hướng,

à không, vừa rồi là tích có hướng mới đúng.

Mình không muốn làm bạn bị rối.

Mình vừa lấy tích có hướng của b và c.

Và giờ mình cần lấy tích có hướng của nó với a

hay tích có hướng của a với cái này.

Được rồi.

Thay vì ghi là vectơ,

mình sẽ viết một ma trận ở đây.

Để mình viết i j k ở đây.

Và mình viết thành phần của a ở đây.

Vậy mình có a_x, a_y, a_z.

Mình có thể

bỏ qua cái này xíu.

Mình sẽ xét, mình sẽ dùng màu đen

để xoá được chúng.

Cái này là a trừ j nhân với cái này.

Vậy mình sẽ làm gì đây?

Mình sẽ bỏ dấu trừ và j,

nhưng mình sẽ viết lại khi dấu bị đổi.

Nó sẽ thành
b_z c_x trừ b_x c_z.

Để mình xoá bớt mấy cái này.

Mình vừa lấy âm và nhân nó với cái này.

Mình sẽ cố gắng không sai lặt vặt,

để mình kiểm tra lại, và dùng đầu bút to hơn

để dễ xoá hơn cho mình.

Được rồi này.

Và mình cũng muốn bỏ cái này nữa.

Đợi mình sửa bút lại bình thường.

Ổn rồi này.

Giờ mình sẽ tính tích có hướng này.

Một lần nữa mình sẽ dùng định thức cho nó.

Mình sẽ tập trung vào--

không thì video này sẽ dài mãi mất-

nếu mình dùng thành phần i, j, k,

mình sẽ chỉ tập trung vào thành phần i,

ở ngay trên thành phần x của tích có hướng này.

Và mình có thể thấy là

mình sẽ có kết quả tương tự cho j và k

Và từ đó mình sẽ thấy

cái này được đơn giản bớt.

Nếu mình chỉ tập trung vào thành phần i,

nó sẽ là i nhân với,

mình chỉ đang làm ma trận 2x2 ở đây,

mình có thể bỏ qua cột i và hàng i.

Và mình có a_y nhân với toàn bộ cái này.

Để mình nhân phân phối.

Vậy a_y nhân với b_x c_y, trừ

a_y nhân b_y c_x.

Và sau đó mình sẽ muốn trừ bớt.

Mình sẽ trừ a_z nhân cái này.

Và nó sẽ là trừ hoặc âm a_z b_z c_x.

Và mình có âm của a_z nhân cái này,

vậy nó sẽ là cộng a_z b_x c_z.

Giờ mình sẽ thực hiện 1 mẹo nhỏ

cho bài chứng minh để mình

đạt được kết quả mình muốn.

Mình sẽ cộng trừ các phần giống nhau.

Mình sẽ cộng a_x b_ x c_x,

và mình cũng trừ a_x b_ x c_x.

Vậy rõ ràng mình không biến đổi biểu thức.

Mình vừa cộng trừ cùng một số hạng.

Để xem nó đơn giản được gì nhé.

Nhớ là đây chỉ là thành phần x,

trong tích của 3 vectơ.

Chỉ có thành phần x,

Để làm vậy mình phải đặt nhân tử chung.

Là b_x.

Để mình làm thử, mình đặt b_x làm nhân tử chung.

Mình sẽ rút nó ra khỏi

các số hạng có chứa b_x này.

Và mình cũng rút nó ra khỏi số hạng này,

và rút b_x ra khỏi số hạng này.

Nếu mình rút b_x ra, mình chỉ còn a_y c_y.

Thật ra để mình viết nó khác một xíu.

Khi đặt nhân tử chung như vậy,

ở đây tiếp tục là a_x c_x.

a_x c_x.

Vậy mình đã xong cái này.

Giờ mình sẽ làm cái này.

Cộng, nếu mình lấy b_x ra, mình sẽ còn a_y c_y.

Xong cái này.

Giờ mình có cái này.

Mình sẽ rút b_x ra.

Vậy mình còn cộng a_z c_z.

Vậy là hết rồi.

Mình đã rút nhân tử chung ra hết.

Giờ thì từ ngay đây,

để mình đặt nhân tử chung là âm c_x.

Nếu mình làm vậy, để mình chuyển qua số hạng này,

mình sẽ còn a_x b_x khi mình rút c_x ra.

Vậy mình gạch a_x b_x đi.

Và ở đây thì mình sẽ có a_y b_y.

Nhớ là mình đang lấy âm c_x ra

nên mình còn cộng a_y b_y.

Và sau đó mình có cộng a_z b_z.

Vậy cái này bằng gì?

Phần màu xanh lá ở đây,

nó chính xác là tích vô hướng của a và c.

Vậy đây là tích vô hướng của vectơ a và c.

Là tích vô hướng của hai vectơ này.

Vậy đây là tích vô hướng của a và c

nhân với thành phần x của b trừ--

mình sẽ làm cái này lại lần nữa-- trừ cho,

cái này là tích vô hướng của a và b. Ta trừ cho tích vô hướng của a và b

nhân thành phần x của c.

Và hãy nhớ là cả cái này nhân với

vectơ đơn vị i.

Mình đang xét thành phần x, hay thành phần i

của toàn bộ tích có hướng của 3 vectơ này.

Vậy cái này sẽ bằng toàn bộ cái này.

Tất cả cái này, nhân với vectơ thành phần i.

Giờ nếu mình lại làm như vậy,

mình sẽ không làm, vì nó có quá nhiều phép tính.

Và mình nghĩ bạn cũng hiểu kha khá rồi.

Cái này là với thành phần x.

Nếu mình làm tương tự với thành phần y

với thành phần j, nó sẽ là cộng--

nếu mình làm tương tự với thành phần j,

mình chỉ cần tìm điểm chung ở đây.

Mình có b_x, c_x, cho thành phần x.

Mình có b_y và c_y cho thành phần j.

Cái này không rõ là thành phần

nên nó sẽ là tích vô hướng của a và c, trừ tích vô hướng của a và b.

Bạn có thể kiểm chứng lại nếu bạn

còn chưa hiểu rõ.

Nhưng đây chính xác là cách làm tương tự.

Và cuối cùng với thành phần z, hay thành phần k,

để mình cho dấu ngoặc vào, cũng vậy luôn.

Bạn sẽ có b_z và c_z.

Và sau đó bạn có tích vô hướng của a và b.

Và có tích vô hướng của a và c.

Vậy cái này trở thành gì?

Làm sao để mình đơn giản nó?

Cái này ở đây, mình có thể khai triển nó.

Mình sẽ đặt nhân tử chung là tích vô hướng

của a và c từ tất cả số hạng này.

Nhớ là, cái này sẽ được nhân i.

Mình sẽ không làm tắt nữa

mình muốn bạn hiểu rõ mình đang làm gì.

Nếu mình nhân phân phối i ở đây, thay vì viết lại

để mình làm như thế này.

Cái này hơi lộn xộn, để mình viết lại.

Đây là i ở đây, và i ở đây nữa.

Mình đang nhân phân phối vectơ đơn vị x,

hay vectơ đơn vị i.

Để mình làm tương tự với j.

Vậy mình có thể để j ở đây.

Và để j ở đây nữa.

Và mình sẽ làm tương tự với k.

để k ở đây và để k ở đây nữa.

Và giờ cái này là gì?

Phần ngay đây

bằng với tích vô hướng của a và c nhân với

để mình viết ra đây-- b_x nhân i

cộng b_y nhân j, cộng b_z nhân k.

Và từ đây, mình sẽ trừ

tất cả cái này, tích vô hướng của a và b.

Mình sẽ trừ tích vô hướng của a và b nhân với cái tương tự.

Và bạn cũng nhận ra là

cái này bằng với vectơ b.

Đây là vectơ b luôn.

Khi bạn xử lý cái này, nó sẽ ra vectơ c.

Để mình viết ở đây.

Bạn có vectơ c như thế này.

Vậy cứ như vậy, mình có thể đơn giản

tích có hướng của 3 vectơ của mình.

Mình biết là nó khá mất thời gian,

nhưng đây là một cách đơn giản.

Nhìn nó không có vẻ vậy, nhưng về mặt tính toán thì có.

Nó dễ làm hơn.

Nếu mình có-- mình đổi màu xíu-- tích có hướng của a và b

mình đổi màu tiếp-- nhân có hướng với c,

ta thấy là cái này bằng với --

một cách để nghĩ là,

bạn lấy vectơ đầu nhân với tích vô hướng của--

vectơ đầu trong tích vô hướng thứ hai này, cái mà

chúng ta đang để trong ngoặc đơn,

cái mà ta thường

.xử lý đầu tiên.

Vậy nó là vectơ b.

Và bạn nhân nó với tích vô hướng của hai vectơ khác,

Nhân tích vô hướng của a và c.

Và từ đó, bạn trừ vectơ thứ hai nhân với

tích vô hướng của hai vectơ còn lại, là a và b.

Vậy là chúng ta đã xong rồi

Đây là phép khai triển tích có hướng của 3 vectơ.

Một lần nữa, đây không phải là thứ

bạn bắt buộc phải biết.

Bạn luôn có thể

tự tính nó theo cách bình thường vẫn được.

Bạn không nhất thiết phải biết nó,

nhưng nếu bạn có 1 vectơ khá rối, hay bạn gặp nó trong cuộc thi toán

thì cái này sẽ giúp bạn rất nhiều.

Vậy thì biết về phép triển khai tích có hướng của 3 vectơ theo công thức Lagrange

cũng khá hữu ích đấy chứ.