Phép triển khai tích có hướng của 3 vectơ (theo công thức Lagrange) (không bắt buộc)

Cách khác để tính tích hữu hướng của 3 vectơ.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/normal-vector-from-plane-equation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/dot-and-cross-product-comparison-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Trong video lần này, mình sẽ đi qua

phép phân phối tích hỗn tạp trong vecto

hay còn được gọi là công thức Lagrange.

Cái này chỉ là dạng đơn giản

của tích hữu hướng 3 vecto.

Vậy nếu mình tính tích hữu hướng của a b và c,

việc mình làm là

biểu diễn cái này dưới dạng tổng và hiệu

của tích vô hướng.

Không chỉ tích vô hướng--

mà là tích vô hướng với tỉ lệ vecto khác nhau.

Mình sẽ làm cho bạn xem.

Nó sẽ đơn giản biểu thức này một xíu,

vì tính tích hữu hướnng ở đây khá khó.

Cái này sẽ khá nặng tính toán

mình cũng thấy nó hơi rối.

Bạn không bắt buộc phải biết

cái này khi học vecto,

nhưng nó cũng khá hữu ích.

Động lực để mình làm video này là

mình thấy bài toán cho bài thi đầu vào, của Học viện Công nghệ Ấn Độ

có liên quan tới công thức Lagrange,

hay phép phân phối tích hỗn tạp.

Để xem mình sẽ đơn giản cái này ra sao.

Mình sẽ bắt đầu bằng việc lấy

tích hữu hướng b và c.

Trong những trường hợp như này,

mình giả sử là mình có vecto a.

Nó sẽ là vecto thành phần a_x nhân với

vecto đơn vị i, cộng vecto thành phần y

nhân với vecto thành phần j, cộng với vecto thành phần z

nhân với đơn vị vecto k.

Và mình có thể làm điều tương tự với b và c.

Vậy nếu mình nói b_y, mình đang nói về

tỉ lệ của thành phần j trong vecto b.

Đầu tiên mình sẽ tính tích hữu hướng ở đây

Và nếu bạn đã thấy mình làm cái này,

bạn sẽ biết mình hay làm định thức.

Để mình chuyển nó qua đây.

Vậy b nhân hữu hướng c sẽ bằng định thức.

Mình sẽ để i, j, k ở đây.

Cái này là định nghĩa của tích hữu hướng,

nên mình không cần chứng minh lại nữa.

Đây là một cách để nhớ tích vô hướng,

nếu bạn nhớ cách lấy định thức

ba-nhân-ba (ma trận hả chị)

Vậy mình sẽ để ở đây b_x, hệ số b_y,

và thành phần b_z.

Giờ bạn sẽ làm điều tương tự cho c, c_x, c_y, c_z

Và cái này sẽ bằng với,

đầu tiên là mình có thành phần i.

Nó sẽ là vecto i thành phần nhân b.

Bạn có thể bỏ qua hàng này và cột này.

Vậy b_y c_z trừ b_z c_y.

Vậy mình sẽ bỏ qua cái này.

Mình đang làm 2x2,

trừ cho b_z c_y.

Và mình sẽ trừ thành phần j.

Và mình đã đổi dấu khi mình lấy định thức.

Trừ cái đó đi

Và mình sẽ lấy cột và hàng đó ra,

nó sẽ thành b_x c_z, cái này hơi chán,

nhưng mà cứ mong là kết quả nó sẽ hay đi,

b_x c_z trừ b_z c_x.

Và cuối cùng là cộng thành phần k.

vậy mình sẽ có b_x nhân với c_y trừ b_y c_x.

Mình vừa làm tích vô hướng, và bây giờ sẽ

à không mình vừa làm tích hữu hướng.

Mình không muốn làm bạn bị rối.

Mình vừa lấy tích hữu hướng của b và c.

Và giờ mình cần lấy tích hữu hướng của nó

với a, hay tích hữu hướng của a với cái này.

Được rồi.

Thay vì ghi là vectơ,

mình sẽ viết ma trận ở đây.

Để mình viết i j k ở đây.

Để mình viết thành phần của a ở đây.

Vậy mình có a_x, a_y, a_z.

0:04:09.040,0:04:09.810 Mình có thể bỏ qua cái này xíu.

Mình sẽ xét, mình sẽ làm nó màu đen,

để sẽ kiểu xoá được luôn.

Cái này là a trừ j nhân với cái này.

Vậy mình sẽ làm gì đây?

Mình sẽ bỏ cái trừ và j,

nhưng mình sẽ viết lại dấu bị đổi.

Nếu mình đảo dấu lại, nó sẽ thành b_z c_x trừ b_x c_z.

Để mình xoá bớt mấy cái kia.

Mình vừa lấy âm và nhân nó với cái này.

Mình sẽ cố gắng không sai lặt vặt,

để mình kiểm lại cho bút rõ hơn xíu,

thì nó sẽ dễ xoá hơn cho mình.

0:04:54.700,0:04:57.710 Và mình cũng muốn bỏ cái này nữa.

Đợi mình sửa bút lại bình thường.

0:05:02.090,0:05:05.630 Giờ mình sẽ tính tích hữu hướng.

Một lần nữa mình sẽ đặt định thức cho nó.

Vậy mình sẽ tập trung vào--

không thì video này sẽ dài mãi mãi mất-

nếu mình làm tới thành phần i, j, k,

mình sẽ tập trung vào thành phần i.

ở ngay trên thành phần x của tích vô hướng này.

Và mình có thể thấy là

mình sẽ có kết quả tương tự cho j và k

Và từ đó mình sẽ thấy được là

cái này được đơn giản bớt.

Nếu mình chỉ tập trung vào thành phần i,

nó sẽ thành i nhân với

mình chỉ đang làm ma trận 2x2 ở đây.

Mình có thể bỏ qua cột i và hàng i.

Và mình có a_y nhân với toàn bộ cái này.

Để mình nhân nó ra.

Vậy ay nnhaan với b_x c_y, trừ a_y nhân b_y nhân b_y c_x.

Và sau đó mình sẽ muốn trừ bớt.

Mình sẽ trừ a_z nhân cái này.

Mình sẽ làm vậy.

Nó sẽ là trừ a_z b_z c_x.

Và mình có âm của a_z nhân cái này,

0:06:29.472,0:06:30.930

0:06:33.150,0:06:37.030

0:06:39.890,0:06:43.501

0:06:57.330,0:06:59.820

0:07:02.770,0:07:04.250

0:07:07.270,0:07:08.580

0:07:09.930,0:07:12.830

0:07:15.970,0:07:20.210

0:07:23.170,0:07:26.070

0:07:28.060,0:07:30.860

0:07:37.650,0:07:40.320

0:07:42.600,0:07:46.440

0:07:48.410,0:07:50.100

0:07:53.030,0:07:58.700

0:07:59.815,0:08:00.815

0:08:02.660,0:08:07.920

0:08:09.260,0:08:10.790

0:08:14.530,0:08:16.180

0:08:23.380,0:08:26.400

0:08:30.200,0:08:32.590

0:08:34.370,0:08:39.460

0:08:47.130,0:08:49.310

0:08:51.740,0:08:56.290

0:09:01.010,0:09:05.520

0:09:10.050,0:09:19.840

0:09:22.660,0:09:29.790

0:09:32.990,0:09:34.490

0:09:36.450,0:09:40.140

0:09:42.550,0:09:46.070

0:09:51.570,0:09:53.510

0:09:56.560,0:10:00.700

0:10:02.210,0:10:04.830

0:10:07.600,0:10:09.840

0:10:11.840,0:10:14.500

0:10:19.440,0:10:21.540

0:10:29.860,0:10:31.770

0:10:33.240,0:10:35.600

0:10:39.050,0:10:41.930

0:10:47.240,0:10:51.920

0:10:57.920,0:11:01.790

0:11:04.500,0:11:07.780

0:11:10.720,0:11:12.020

0:11:14.340,0:11:16.710

0:11:20.340,0:11:24.724

0:11:25.890,0:11:27.770

0:11:31.320,0:11:34.820

0:11:36.560,0:11:39.270

0:11:41.060,0:11:43.690

0:11:46.460,0:11:49.890

0:11:51.390,0:11:58.840

0:12:05.910,0:12:10.400

0:12:21.650,0:12:24.390

0:12:25.900,0:12:32.617

0:12:34.200,0:12:36.720

0:12:37.880,0:12:40.770

0:12:42.520,0:12:44.870

0:12:48.600,0:12:51.110

0:12:53.150,0:12:54.590

0:12:57.150,0:12:58.470

0:13:05.760,0:13:09.820

0:13:13.690,0:13:16.430

0:13:20.190,0:13:22.210

0:13:23.716,0:13:25.340

0:13:27.370,0:13:29.790

0:13:32.510,0:13:36.035

0:13:46.850,0:13:53.900

0:13:57.030,0:13:59.260

0:14:02.130,0:14:04.042

0:14:05.750,0:14:09.660

0:14:10.930,0:14:14.080

0:14:16.055,0:14:18.425

0:14:20.870,0:14:24.001