Phép triển khai tích có hướng của 3 vectơ (theo công thức Lagrange) (không bắt buộc)

Cách tính nhanh tích hỗn tạp của 3 vectơ (theo công thức Lagrange).

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/normal-vector-from-plane-equation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/dot-and-cross-product-comparison-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Trong video lần này, mình sẽ đi qua

phép triển khai tích hỗn tạp của 3 vectơ (triple product expansion)

hay còn được gọi là công thức Lagrange.

Cái này chỉ là dạng đơn giản

của tích có hướng của 3 vectơ.

Vậy nếu mình tính tích có hướng của a, b và c,

mình có thể

biểu diễn cái này dưới dạng tổng và hiệu

của tích vô hướng.

Không chỉ tích vô hướng--

mà là tích vô hướng với tỉ lệ vectơ khác nhau.

Nghĩa là

nó sẽ đơn giản biểu thức này một xíu

vì tính tích có hướng ở đây khá khó.

Cái này sẽ khá nặng tính toán,

mình cũng thấy nó hơi rối.

Bạn không bắt buộc phải biết

cái này khi học vectơ,

nhưng nó cũng khá hữu ích.

Động lực để mình làm video này là

mình thấy bài toán cho bài thi đầu vào của Học viện Công nghệ Ấn Độ

có liên quan tới công thức Lagrange,

hay phép triển khai dạng tích hỗn tạp này.

Để xem mình sẽ đơn giản cái này ra sao.

Mình sẽ bắt đầu bằng việc lấy

tích có hướng của b và c.

Trong những trường hợp như thế này,

mình giả sử mình có vectơ a.

Nó sẽ là vectơ thành phần a_x nhân với

vectơ đơn vị i, cộng vectơ thành phần y của vectơ a

nhân với vectơ thành phần j, cộng với vectơ thành phần z của vectơ a

nhân với vectơ đơn vị k.

Mình làm điều tương tự với b và c.

Vậy nếu mình nói b_y, mình đang nói về

tỉ lệ của thành phần j trong vectơ b.

Đầu tiên mình sẽ tính tích có hướng ở đây.

Và nếu bạn đã thấy mình làm cái này,

bạn sẽ biết mình hay dùng định thức.

Để mình chuyển nó qua đây.

Vậy tích có hướng của b và c sẽ bằng định thức.

Mình sẽ để i, j, k ở đây.

Cái này là định nghĩa của tích có hướng,

nên mình không cần chứng minh lại.

Đây là một cách để nhớ tích vô hướng,

nếu bạn nhớ cách dùng định thức

bằng phương pháp giải hệ phương trình 3 ẩn (three-by-three)

Vậy mình sẽ để ở đây số hạng b_x, hệ số b_y,

và thành phần b_z.

Giờ bạn sẽ làm điều tương tự với c, c_x, c_y, c_z

Và cái này sẽ bằng với,

đầu tiên là mình có thành phần i.

Nó sẽ là thành phần i nhân b.

Bạn có thể bỏ qua hàng này và cột này.

Vậy b_y c_z trừ b_z c_y.

Vậy mình sẽ bỏ qua cái này.

Mình đang tính hệ phương trình 2 ẩn (two-by-two)

trừ cho b_z c_y.

Và mình sẽ trừ thành phần j.

Mình đã đổi dấu khi mình lấy định thức.

Trừ cái đó đi.

Và mình sẽ bỏ qua cột và hàng đó,

nó sẽ thành b_x c_z, cái này hơi chán,

mình mong là kết quả của nó sẽ thú vị hơn,

b_x c_z trừ b_z c_x.

Và cuối cùng là cộng thành phần k.

Vậy mình sẽ có b_x nhân với c_y trừ b_y c_x.

Mình vừa tính tích vô hướng,

à không, vừa rồi là tích có hướng mới đúng.

Mình không muốn làm bạn bị rối.

Mình vừa lấy tích có hướng của b và c.

Và giờ mình cần lấy tích có hướng của nó

với a, hay tích có hướng của a với cái này.

Được rồi.

Thay vì ghi là vectơ,

mình sẽ viết ma trận ở đây.

Để mình viết i j k ở đây.

Và mình viết thành phần của a ở đây.

Vậy mình có a_x, a_y, a_z.

Mình có thể bỏ qua cái này xíu.

Mình sẽ xét, mình sẽ dùng màu đen

để xoá được chúng.

Cái này là a trừ j nhân với cái này.

Vậy mình sẽ làm gì đây?

Mình sẽ bỏ dấu trừ và j,

nhưng mình sẽ viết lại khi dấu bị đổi.

Nó sẽ thành
b_z c_x trừ b_x c_z.

Để mình xoá bớt mấy cái này.

Mình vừa lấy âm và nhân nó với cái này.

Mình sẽ cố gắng không sai lặt vặt,

để mình kiểm tra lại, và dùng đầu bút to hơn

để dễ xoá hơn cho mình.

Và mình cũng muốn bỏ cái này nữa.

Đợi mình sửa bút lại bình thường.

Giờ mình sẽ tính tích có hướng này.

Một lần nữa mình sẽ dùng định thức cho nó.

Vậy mình sẽ tập trung vào--

không thì video này sẽ dài mãi mất-

nếu mình dùng thành phần i, j, k,

mình sẽ chỉ tập trung vào thành phần i.

ở ngay trên thành phần x của tích có hướng này.

Và mình có thể thấy là

mình sẽ có kết quả tương tự cho j và k

Và từ đó mình sẽ thấy

cái này được đơn giản bớt.

Nếu mình chỉ tập trung vào thành phần i,

nó sẽ thành i nhân với,

mình chỉ đang làm ma trận 2x2 ở đây,

mình có thể bỏ qua cột i và hàng i.

Và mình có a_y nhân với toàn bộ cái này.

Để mình nhân phân phối.

Vậy a_y nhân với b_x c_y, trừ a_y nhân b_y nhân b_y c_x.

Và sau đó mình sẽ muốn trừ bớt.

Mình sẽ trừ a_z nhân cái này.

Nó sẽ là trừ hoặc âm a_z b_z c_x.

Và mình có âm của a_z nhân cái này,

vậy nó sẽ là cộng a_z b_x c_z.

Giờ mình sẽ thực hiện 1 mẹo nhỏ

cho bài chứng minh

để mình đạt được kết quả mình muốn.

Mình sẽ cộng trừ các phần giống nhau.

Mình sẽ cộng a_x b_ x c_x,

và mình cũng trừ a_x b_ x c_x.

Vậy rõ ràng mình không biến đổi biểu thức.

Mình vừa cộng trừ cùng một số hạng.

Để xem nó đơn giản được gì nhé.

Nhớ là đây chỉ là thành phần x,

trong tích của 3 vectơ.

Chỉ có thành phần x,

Để làm vậy mình phải đặt thừa số chung.

Là b_x.

Để mình làm thử, mình đặt b_x làm thừa số chung.

mình sẽ lấy nó ra khỏi số hạng có b_x này.

Và mình cũng lấy nó ra khỏi số hạng này, và số hạng này.

Nếu mình lấy b_x ra, mình chỉ còn a_y c_y.

Thật ra để mình viết nó khác một xíu.

Khi đặt thừa số chung như vậy,

ở đây tiếp tục là a_x c_x.

a_x c_x.

Vậy mình đã xong cái này.

Giờ mình sẽ làm cái này.

Cộng, nếu mình lấy b_x ra, mình sẽ còn a_y c_y.

Xong cái này.

Mình sẽ lấy b_x ra từ cái này.

Vậy mình còn cộng a_z, c_z.

Vậy là hết rồi.

Mình đã đặt thừa số chung hết.

Giờ thì từ ngay đây,

để mình lấy thừa số chung là âm c_x.

Nếu mình làm vậy, để mình chuyển qua số hạng này,

mình sẽ còn a_x b_x khi mình lấy c_x ra.

Vậy mình gạch a_x b_x đi.

Và ở đây thì mình sẽ có a_y b_y.

Nhớ là mình đang lấy âm c_x ra

nên mình còn cộng a_y b_y.

Và sau đó mình có cộng a_z b_z.

Vậy cái này bằng gì?

Phần màu xanh lá ở đây,

nó chính xác là tích vô hướng của a và c.

Vậy đây là tích vô hướng của vectơ a và c.

Là tích vô hướng của hai vectơ này.

Vậy đây là tích vô hướng của a và c nhân với thành phần x của b trừ--

mình sẽ làm cái này lại lần nữa-- trừ cho,

cái này là tích vô hướng của a và b. Ta trừ cho tích vô hướng của a và b

nhân thành phần x của c.

Mình tạm bỏ qua là nguyên cái này

nhân với vectơ đơn vị i.

Mình đang xét thành phần x, hay thành phần i

của toàn bộ tích hỗn tạp này.

Vậy cái này sẽ bằng toàn bộ cái này.

Tất cả cái này, nhân với vectơ thành phần i.

Giờ nếu mình lại làm như vậy,

mình sẽ không làm, vì nó có quá nhiều phép tính.

Và mình nghĩ bạn cũng hiểu kha khá rồi.

Cái này là với thành phần x.

Nếu mình làm tương tự với thành phần y

với thành phần j, nó sẽ là cộng--

nếu mình làm tương tự với thành phần j,

mình chỉ cần tìm điểm chung ở đây.

Mình có b_x, c_x, với thành phần x.

Mình có b_y và c_y với thành phần j.

Cái này không rõ là thành phần

nên nó sẽ là tích vô hướng của a và c, trừ tích vô hướng của a và b.

Bạn có thể đi kiểm chứng lại

nếu bạn không tin mình...

Nhưng đây chính xác là cách làm tương tự.

Và cuối cùng với thành phần k,

để mình cho dấu ngoặc vào, cũng vậy luôn.

Bạn sẽ có b_z và c_z.

Và sau đó bạn có tích vô hướng của a và b.

Và có tích vô hướng của a và c.

Vậy cái này thành gì?

Làm sao để mình đơn giản nó?

Cái này ở đây, mình có thể khai triển nó.

Mình sẽ lấy thừa số chung là tích vô hướng của a và c

từ tất cả số hạng này.

Và nhớ là, cái này sẽ được nhân i.

Mình sẽ không làm tắt nữa

mình muốn bạn hiểu rõ mình đang làm gì.

Nếu mình nhân phân phối i ở đây, thay vì viết lại

để mình làm như thế này.

Cái này hơi lộn xộn, để mình viết lại.

Đây là i ở đây, và i ở đây nữa.

Mình đang phân phối vectơ đơn vị x,

hay vectơ đơn vị i.

Để mình làm tương tự với j.

Vậy mình có thể để j ở đây.

Và để j ở đây nữa.

Và mình sẽ làm tương tự với k.

để k ở đây và để k ở đây nữa.

Và giờ cái này là gì?

Phần ngay đây

bằng với tích vô hướng của a và c nhân với

để mình viết ra đây-- b_x nhân i

cộng b_y nhân j, cộng b_z nhân k.

Và từ đây, mình sẽ trừ

tất cả cái này, tích vô hướng của a và b.

Mình sẽ trừ tích vô hướng của a và b nhân với cái tương tự.

Và bạn cũng nhận ra là

cái này bằng với vectơ b.

Đây là vectơ b luôn.

Khi bạn làm ở đây, nó sẽ ra vectơ c.

Để mình viết ở đây.

Bạn có vectơ c như thế này.

Vậy cứ như vậy, mình có thể đơn giản

tích hỗn tạp này của mình.

Mình biết là nó khá mất thời gian,

nhưng đây là một cách đơn giản.

Nhìn nó không có vẻ vậy, nhưng về mặt tính toán thì có.

Nó dễ làm hơn.

Nếu mình có-- mình đổi màu xíu-- tích có hướng của a và b

mình đổi màu tiếp-- nhân có hướng với c,

ta thấy là cái này bằng với --

một cách để nghĩ là, bạn lấy vectơ đầu nhân với tích vô hướng của--

Nhớ là phần ở trong dấu ngoặc này,

cái này bạn sẽ phải làm trước--

bạn lấy vectơ đầu ở đây.

Vậy nó là vectơ b.

Và bạn nhân nó với tích vô hướng của hai vectơ khác,

Nhân tích vô hướng của a và c.

Và từ đó, bạn trừ vectơ thứ hai nhân với

tích vô hướng của hai vectơ còn lại, là a và b.

Vậy là mình xong.

Đây là phép khai triển tích hỗn tạp theo công thức Lagrange.

Một lần nữa, đây không phải là thứ bạn bắt buộc phải biết.

Bạn luôn có thể tự tính nó bằng tay như bình thường.

Bạn không nhất thiết phải biết nó,

nhưng nếu bạn có một vectơ khá rối, hay bạn gặp nó trong cuộc thi toán

thì cái này sẽ giúp bạn rất nhiều.

Vậy thì biết về phép triển khai tích hỗn tạp theo công thức Lagrange

cũng khá hữu dụng đấy chứ.