U substitution with exponential function

Gəlin

0-dan 1-ə
x-in kvadratı

vur 2 üstü x-in kubu dx-in müəyyən
inteqralını hesablayaq.

Həmişəki kimi videonu dayandırıb

ilk öncə özünüz hesablamağı

sınaya bilərsiniz.

Burada bir neçə maraqlı
məqam var.

İlk düşünəcəyimiz şey budur ki,

biz e üstü x-in törəməsini və ya
əks törəməsini

tapmağa öyrəşmişik, başqa əsasların
üstü x-ə yox.

Bilirik ki, e üstü x-in x-ə
görə törəməsi

e üstü x-dir və ya onun tərs törəməsi

e üstü x üstəgəl c-yə bərabərdir.

Burada

ədəd

x-in funksiyasına yüksəldildiyindən,
belə görünür ki,

biz əsası dəyişməliyik,
ancaq bunu necə edəcəyik?

Bunun üçün 2-ni
e ilə ifadə etməliyik.

e ilə ifadə olunanda 2 nəyə bərabər
olacaq?

2 bərabərdir e üstü

elə bir ədədə ki, 2-ni əldə edək.

2 almaq üçün e-ni

nəyə yüksəltməliyiq?

Bu, 2-nin natural loqarifmasıdır.

Təkrardan qeyd edək, 2-nin
natural loqarifması

e-ni yüksətdikdə bizə

2-ni verən ədəddir.

2-dir.

2-nin üstü x-in kubu nəyə bərabərdir?

Hər iki tərəfi x-in üstü 3-ə

yüksəldirik,

2 üstü x-in kubu,

əgər nəyinsə qüvvətini qüvvətə
yüksəltsək,

onda bu, e üstü

x-in kubu vur

2-nin natural loqarifması olacaq.

Bu artıq maraqlı görünür.

Gəlin bunu yenidən yazaq və
əslində gəlin

ilk öncə qeyri-müəyyən inteqrala
fokuslanaq və

onu anlamağa çalışaq.

Bundan sonra

biz müəyyən inteqralı da hesablaya bilərik.

İndi

x-in kvadratı vur

2 üstü x-in kubu dx-in qeyri-müəyyən
inteqralı haqda düşünək.

Bunun tərs törəməsini tapacağıq.

Burada

inteqral x-in kvadratı vur

ancaq 2 üstü x-in kubu yerinə

buradakıları ora yazırıq.

Gəlin kopyalayıb ora köçürüm.

Biz müəyyən etmişik ki,
bu,

2-nin üstü x-in kubuna bərabərdir.

Buraya köçürək.

dx yazmağı unutmayaq.

Əsası e-yə çevirə bildik,

bu biraz rahat gələ bilər, ancaq

bu hələ də çətin görünür.

Deyə bilərsiniz ki,

"Bəlkə u əvəzetməsi burada
rol oynaya bilər. "

Çünki burada x-in kubu vur
2-nin natural loqarifması kimi

uzun bir ifadə var, bunun törəməsi nədir?

Bu,

3 vur x-in kvadratı vur 2-nin natural
loqarifması və ya

3 vur 2-nin natural loqarifması vur x-in
kvadratı olacaq.

Bu, sadəcə sabit vur x-in kvadratıdır.

Burada x-in kvadratı var, yəni
bəlkə biraz işləsək

burada sabit də əldə edə bilərik.

Gəlin bu haqda düşünək.

Əgər bunu u olaraq təyin etsək,

yəni u bərabərdir
x-in kubu vur

2-nin natural loqarifması,
du nəyə bərabər olacaq?

du bərabər olacaq

2-nin loqrifması sabit olduğundan

3x-in kvadratı vur
2-nin natural loqarifması.

Vuruqların yerlərini

dəyişə bilərik.

Deyə bilərik ki, bu,

x-in kvadratı vur 3 vur 2-nin
natural loqarifmasına bərabərdir.

Bu da həmçinin loqarifmanın
xassəsi səbəbilə

x-in kvadratı vur 2 üstü 3-ün
natural loqarifmasına bərabər olur.

3 2-nin natural loqarifması

2 üstü 3-ün natural loqarifmasına
bərabərdir.

Bu da x-in kvadratı vur 8-in natural
loqarifmasına bərabərdir.

Baxaq, bu u-sa, du haradadır?

Burada dx-i unutmayaq.

dx yazmalıyıq, dx, dx, dx.

du haradadır? Burada dx-miz var.
Gəlin haşiyələyək.

Burada dx-miz var və burada da var.

Burada x-in kvadratı var,
burada da.

Bütün ehtiyacımız olan

8-in natural loqarifmasıdır.

Əslində, burada 8-in natural
loqarifması da olmalıdır və

bunu edə bilmək üçün

biz 8-in natural loqarifmasına vurmaq üçün

onu həm də ona bölməliyik.

Bunu burada edə bilərik,

8-in natural loqarifmasına bölə bilərik.

Bildiyimiz kimi sabit vur

hər hansı funksiyanın tərs törəməsi ilə

o funksiyanın tərs törəməsinin
sabitə vurulması eyni şeydir.

Bunu xaricə çıxara bilərik.

Yəni 1 böl 8-in natural loqarifması.

Gəlin indi bunu u və du-ya görə yazaq.

Bu, 1 böl

8-in natural loqarifması vur

e üstü u-nun tərs törəməsi, bu u-dur, du.

Bu vur bu vur isə du-dur.

Bunun nəyə bərabər olacağı

aydındır.

Bu,

1 böl 8-in natural

loqarifması vur
e üstü u və

inteqral tapdığımızdan

burada bir sabit üzərinə gələcək.

İndi isə əvəzetmənin tərsini
yerinə yetirəcəyik.

u-nun nə olduğunu artıq bilirik.

Bu ifadənin inteqralı

1 böl 8-in natural loqarifması

vur e üstü u yerinə,
artıq u-nun nə olduğunu bilirik,

x üstü 3 vur 2-nin natural loqarifması.

Buraya üstəgəl c də yazırıq.

İndi orijinal misala qayıdaq.

Biz sadəcə

bu nöqtələrdə tərs törəməni
hesablamalıyıq.

Gəlin yenidən yazaq.

Bunu köçürək.

Bu,

-1-də və

0-da hesablanan tərs törəmələrə
bərabər olacaq.

Sabitlər haqqında narahatlığa

əsas yoxdur, onlar islah olunacaqlar.

Gəlin ilk öncə

1-də hesablayaq.

1 böl

8-in natural loqarifması vur e üstü
1 üstü 3,

hansı ki 1-ə bərabərdir, vur 2-nin

natural loqarifması,
bu 1 ilə hesablandı.

Daha sonra biz 0-da hesablananı
çıxacağıq.

Bu olacaq, 1 böl

8-in natural loqarifması vur e üstü x
0-dır,

bütün bunlar 0-a bərabər olacaq.

e üstü 0 1-dir və
e-nin üstü

2-nin natural loqarifması,
2-yə bərabər olacaq,

bunu əvvəl müəyyən etmişdik,

2-yə bərabər olacaq.

İndi isə bizim 2 böl 8-in natural loqarifmamız

çıx 1 böl 8-in natural loqarifmamız var.

Bu isə 1 böl 8-in natural loqarifmasına
bərabər olacaq.

Beləcə, misalı bitirdik.