Gəlin
0-dan 1-ə x-in kvadratı
vur 2 üstü x-in kubu dx-in müəyyən inteqralını hesablayaq.
Həmişəki kimi videonu dayandırıb
ilk öncə özünüz hesablamağı
sınaya bilərsiniz.
Burada bir neçə maraqlı məqam var.
İlk düşünəcəyimiz şey budur ki,
biz e üstü x-in törəməsini və ya əks törəməsini
tapmağa öyrəşmişik, başqa əsasların üstü x-ə yox.
Bilirik ki, e üstü x-in x-ə görə törəməsi
e üstü x-dir və ya onun tərs törəməsi
e üstü x üstəgəl c-yə bərabərdir.
Burada
ədəd
x-in funksiyasına yüksəldildiyindən, belə görünür ki,
biz əsası dəyişməliyik, ancaq bunu necə edəcəyik?
Bunun üçün 2-ni e ilə ifadə etməliyik.
e ilə ifadə olunanda 2 nəyə bərabər olacaq?
2 bərabərdir e üstü
elə bir ədədə ki, 2-ni əldə edək.
2 almaq üçün e-ni
nəyə yüksəltməliyiq?
Bu, 2-nin natural loqarifmasıdır.
Təkrardan qeyd edək, 2-nin natural loqarifması
e-ni yüksətdikdə bizə
2-ni verən ədəddir.
2-dir.
2-nin üstü x-in kubu nəyə bərabərdir?
Hər iki tərəfi x-in üstü 3-ə
yüksəldirik,
2 üstü x-in kubu,
əgər nəyinsə qüvvətini qüvvətə yüksəltsək,
onda bu, e üstü
x-in kubu vur
2-nin natural loqarifması olacaq.
Bu artıq maraqlı görünür.
Gəlin bunu yenidən yazaq və əslində gəlin
ilk öncə qeyri-müəyyən inteqrala fokuslanaq və
onu anlamağa çalışaq.
Bundan sonra
biz müəyyən inteqralı da hesablaya bilərik.
İndi
x-in kvadratı vur
2 üstü x-in kubu dx-in qeyri-müəyyən inteqralı haqda düşünək.
Bunun tərs törəməsini tapacağıq.
Burada
inteqral x-in kvadratı vur
ancaq 2 üstü x-in kubu yerinə
buradakıları ora yazırıq.
Gəlin kopyalayıb ora köçürüm.
Biz müəyyən etmişik ki, bu,
2-nin üstü x-in kubuna bərabərdir.
Buraya köçürək.
dx yazmağı unutmayaq.
Əsası e-yə çevirə bildik,
bu biraz rahat gələ bilər, ancaq
bu hələ də çətin görünür.
Deyə bilərsiniz ki,
"Bəlkə u əvəzetməsi burada rol oynaya bilər. "
Çünki burada x-in kubu vur 2-nin natural loqarifması kimi
uzun bir ifadə var, bunun törəməsi nədir?
Bu,
3 vur x-in kvadratı vur 2-nin natural loqarifması və ya
3 vur 2-nin natural loqarifması vur x-in kvadratı olacaq.
Bu, sadəcə sabit vur x-in kvadratıdır.
Burada x-in kvadratı var, yəni bəlkə biraz işləsək
burada sabit də əldə edə bilərik.
Gəlin bu haqda düşünək.
Əgər bunu u olaraq təyin etsək,
yəni u bərabərdir x-in kubu vur
2-nin natural loqarifması, du nəyə bərabər olacaq?
du bərabər olacaq
2-nin loqrifması sabit olduğundan
3x-in kvadratı vur 2-nin natural loqarifması.
Vuruqların yerlərini
dəyişə bilərik.
Deyə bilərik ki, bu,
x-in kvadratı vur 3 vur 2-nin natural loqarifmasına bərabərdir.
Bu da həmçinin loqarifmanın xassəsi səbəbilə
x-in kvadratı vur 2 üstü 3-ün natural loqarifmasına bərabər olur.
3 2-nin natural loqarifması
2 üstü 3-ün natural loqarifmasına bərabərdir.
Bu da x-in kvadratı vur 8-in natural loqarifmasına bərabərdir.
Baxaq, bu u-sa, du haradadır?
Burada dx-i unutmayaq.
dx yazmalıyıq, dx, dx, dx.
du haradadır? Burada dx-miz var. Gəlin haşiyələyək.
Burada dx-miz var və burada da var.
Burada x-in kvadratı var, burada da.
Bütün ehtiyacımız olan
8-in natural loqarifmasıdır.
Əslində, burada 8-in natural loqarifması da olmalıdır və
bunu edə bilmək üçün
biz 8-in natural loqarifmasına vurmaq üçün
onu həm də ona bölməliyik.
Bunu burada edə bilərik,
8-in natural loqarifmasına bölə bilərik.
Bildiyimiz kimi sabit vur
hər hansı funksiyanın tərs törəməsi ilə
o funksiyanın tərs törəməsinin sabitə vurulması eyni şeydir.
Bunu xaricə çıxara bilərik.
Yəni 1 böl 8-in natural loqarifması.
Gəlin indi bunu u və du-ya görə yazaq.
Bu, 1 böl
8-in natural loqarifması vur
e üstü u-nun tərs törəməsi, bu u-dur, du.
Bu vur bu vur isə du-dur.
Bunun nəyə bərabər olacağı
aydındır.
Bu,
1 böl 8-in natural
loqarifması vur e üstü u və
inteqral tapdığımızdan
burada bir sabit üzərinə gələcək.
İndi isə əvəzetmənin tərsini yerinə yetirəcəyik.
u-nun nə olduğunu artıq bilirik.
Bu ifadənin inteqralı
1 böl 8-in natural loqarifması
vur e üstü u yerinə, artıq u-nun nə olduğunu bilirik,
x üstü 3 vur 2-nin natural loqarifması.
Buraya üstəgəl c də yazırıq.
İndi orijinal misala qayıdaq.
Biz sadəcə
bu nöqtələrdə tərs törəməni hesablamalıyıq.
Gəlin yenidən yazaq.
Bunu köçürək.
Bu,
-1-də və
0-da hesablanan tərs törəmələrə bərabər olacaq.
Sabitlər haqqında narahatlığa
əsas yoxdur, onlar islah olunacaqlar.
Gəlin ilk öncə
1-də hesablayaq.
1 böl
8-in natural loqarifması vur e üstü 1 üstü 3,
hansı ki 1-ə bərabərdir, vur 2-nin
natural loqarifması, bu 1 ilə hesablandı.
Daha sonra biz 0-da hesablananı çıxacağıq.
Bu olacaq, 1 böl
8-in natural loqarifması vur e üstü x 0-dır,
bütün bunlar 0-a bərabər olacaq.
e üstü 0 1-dir və e-nin üstü
2-nin natural loqarifması, 2-yə bərabər olacaq,
bunu əvvəl müəyyən etmişdik,
2-yə bərabər olacaq.
İndi isə bizim 2 böl 8-in natural loqarifmamız
çıx 1 böl 8-in natural loqarifmamız var.
Bu isə 1 böl 8-in natural loqarifmasına bərabər olacaq.
Beləcə, misalı bitirdik.