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RKA2 - Vamos utilizar a série de MacLaurin
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para colocar o arco tangente de 2x
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na série polinomial que seja uma aproximação desta função.
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A primeira coisa que nós podemos verificar
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é que a derivada do arco tangente de 2x dx
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vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,
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sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x².
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Vamos chamar isto de f(x).
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Vamos pegar uma função bem mais simples.
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g(x) = 1 sobre 1 + x.
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Com isso, nós podemos pegar os índices,
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uma vez que g(x)
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vai ser igual a (1 + x)⁻¹.
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Portanto, g'(x)
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vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,
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g''(x) vai ser
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-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³
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e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,
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vezes (1 + x)⁻⁴.
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Então, nós temos que a função g(x)
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pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin,
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como g(0), que vai dar 1,
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menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",
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então, -x,
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mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x²,
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mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,
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vezes x³.
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Vamos ficar até este grau.
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Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x².
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Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).
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Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual
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a 2 vezes 1, menos...
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no lugar de "x", colocamos 4x²,
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mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,
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então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,
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menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,
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então, nós ficamos com:
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(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,
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vezes 4 = 64x⁶.
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Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x²,
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mais 32x⁴,
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menos 128x⁶.
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ora mas nós sabemos que há de levá lo à
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tangente 2x é o que nós estamos chamando
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de fx
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portanto nós temos que a derivada do
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arco tangente de 2 x de x é igual ao
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nosso fdx potássio integrarmos de ambos
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os lados nós vamos ter que o arco
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tangente de 2 x 1 vai ser igual a
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integral df the xx
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portanto o atleta gente de 2 x vai ser a
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integral desse por nome que vai ficar
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como sendo 2 x 1 - 8 sobre 3x a terceira
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mais 32 sobre 5x a quinta - 128 sobre 7x
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a sétima mais uma constante se nós
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sabemos que a série d maclaurin é
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centrada no zero portanto essa constante
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vai cair para zero e ficamos então com a
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aproximação que o arco tangente de 2 x 1
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vai ser igual a 2 x - 8 sobre 3 x a
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terceira mais 32 sobre 5x a quinta - 128
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sobre 7x a sétima aproximadamente
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vamos verificar na simulação entre menos
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30 graus e mais 30 graus
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aqui nós temos em roxo o arco tangente
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em vermelho nossa simulação aqui nós
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temos nosso arco tangente em roxo e em
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vermelho nós temos a nossa simulação
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vemos que de menos 30 graus a mais 30
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graus
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ele é bem próximo na realidade a partir
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de menos 35 radian anos até 35 radian
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anos
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ele fica muito próximo a uma curva fica
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exatamente em cima da outra
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portanto é uma boa aproximação
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