0:00:00.000,0:00:02.991
RKA2 - Vamos utilizar a série de MacLaurin

0:00:02.991,0:00:06.350
para colocar o arco tangente de 2x

0:00:06.350,0:00:11.397
na série polinomial que seja uma aproximação desta função.

0:00:11.480,0:00:13.940
A primeira coisa que nós podemos verificar

0:00:13.940,0:00:20.460
é que a derivada do arco tangente de 2x dx

0:00:20.460,0:00:24.599
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

0:00:24.599,0:00:31.192
sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x².

0:00:31.192,0:00:34.230
Vamos chamar isto de f(x).

0:00:34.230,0:00:37.090
Vamos pegar uma função bem mais simples.

0:00:37.090,0:00:42.455
g(x) = 1 sobre 1 + x.

0:00:42.595,0:00:45.300
Com isso, nós podemos pegar os índices,

0:00:45.300,0:00:48.230
uma vez que g(x)

0:00:48.230,0:00:52.870
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

0:00:52.870,0:00:56.260
Portanto, g'(x)

0:00:56.260,0:01:02.450
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

0:01:02.520,0:01:06.829
g''(x) vai ser

0:01:06.829,0:01:15.580
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

0:01:15.654,0:01:23.069
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

0:01:23.069,0:01:28.100
vezes (1 + x)⁻⁴.

0:01:28.200,0:01:32.139
Então, nós temos que a função g(x)

0:01:32.139,0:01:38.155
pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin,

0:01:38.220,0:01:41.210
como g(0), que vai dar 1,

0:01:41.210,0:01:46.579
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

0:01:46.799,0:01:49.372
então, -x,

0:01:49.552,0:01:56.991
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x²,

0:01:56.991,0:02:03.707
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

0:02:03.707,0:02:06.060
vezes x³.

0:02:06.060,0:02:07.849
Vamos ficar até este grau.

0:02:07.959,0:02:16.925
Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x².

0:02:16.925,0:02:23.940
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

0:02:23.940,0:02:28.253
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

0:02:28.253,0:02:31.700
a 2 vezes 1, menos...

0:02:31.700,0:02:36.040
no lugar de "x", colocamos 4x²,

0:02:36.130,0:02:39.545
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

0:02:39.632,0:02:46.648
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

0:02:46.648,0:02:50.640
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

0:02:50.700,0:02:52.930
então, nós ficamos com:

0:02:52.930,0:02:57.811
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

0:02:57.811,0:03:02.730
vezes 4 = 64x⁶.

0:03:02.880,0:03:08.729
Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x²,

0:03:08.729,0:03:12.331
mais 32x⁴,

0:03:12.511,0:03:17.940
menos 128x⁶.

0:03:17.940,0:03:20.520
ora mas nós sabemos que há de levá lo à

0:03:20.520,0:03:23.580
tangente 2x é o que nós estamos chamando

0:03:23.580,0:03:25.260
de fx

0:03:25.260,0:03:28.320
portanto nós temos que a derivada do

0:03:28.320,0:03:33.510
arco tangente de 2 x de x é igual ao

0:03:33.510,0:03:37.650
nosso fdx potássio integrarmos de ambos

0:03:37.650,0:03:39.770
os lados nós vamos ter que o arco

0:03:39.770,0:03:44.010
tangente de 2 x 1 vai ser igual a

0:03:44.010,0:03:47.970
integral df the xx

0:03:47.970,0:03:52.680
portanto o atleta gente de 2 x vai ser a

0:03:52.680,0:03:55.620
integral desse por nome que vai ficar

0:03:55.620,0:04:03.180
como sendo 2 x 1 - 8 sobre 3x a terceira

0:04:03.180,0:04:12.660
mais 32 sobre 5x a quinta - 128 sobre 7x

0:04:12.660,0:04:15.900
a sétima mais uma constante se nós

0:04:15.900,0:04:17.940
sabemos que a série d maclaurin é

0:04:17.940,0:04:21.450
centrada no zero portanto essa constante

0:04:21.450,0:04:24.720
vai cair para zero e ficamos então com a

0:04:24.720,0:04:30.030
aproximação que o arco tangente de 2 x 1

0:04:30.030,0:04:35.250
vai ser igual a 2 x - 8 sobre 3 x a

0:04:35.250,0:04:42.770
terceira mais 32 sobre 5x a quinta - 128

0:04:42.770,0:04:48.570
sobre 7x a sétima aproximadamente

0:04:48.570,0:04:51.630
vamos verificar na simulação entre menos

0:04:51.630,0:04:54.180
30 graus e mais 30 graus

0:04:54.180,0:04:58.830
aqui nós temos em roxo o arco tangente

0:04:58.830,0:05:01.860
em vermelho nossa simulação aqui nós

0:05:01.860,0:05:05.220
temos nosso arco tangente em roxo e em

0:05:05.220,0:05:08.669
vermelho nós temos a nossa simulação

0:05:08.669,0:05:11.460
vemos que de menos 30 graus a mais 30

0:05:11.460,0:05:12.270
graus

0:05:12.270,0:05:16.140
ele é bem próximo na realidade a partir

0:05:16.140,0:05:22.650
de menos 35 radian anos até 35 radian

0:05:22.650,0:05:23.220
anos

0:05:23.220,0:05:26.700
ele fica muito próximo a uma curva fica

0:05:26.700,0:05:28.410
exatamente em cima da outra

0:05:28.410,0:05:32.030
portanto é uma boa aproximação