RKA2 - Vamos utilizar a série de MacLaurin

para colocar o arco tangente de 2x

na série polinomial que seja uma aproximação desta função.

A primeira coisa que nós podemos verificar

é que a derivada do arco tangente de 2x dx

vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x².

Vamos chamar isto de f(x).

Vamos pegar uma função bem mais simples.

g(x) = 1 sobre 1 + x.

Com isso, nós podemos pegar os índices,

uma vez que g(x)

vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

Portanto, g'(x)

vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

g''(x) vai ser

-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

vezes (1 + x)⁻⁴.

Então, nós temos que a função g(x)

pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin,

como g(0), que vai dar 1,

menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

então, -x,

mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x²,

mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

vezes x³.

Vamos ficar até este grau.

Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x².

Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

a 2 vezes 1, menos...

no lugar de "x", colocamos 4x²,

mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

então, nós ficamos com:

(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

vezes 4 = 64x⁶.

Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x²,

mais 32x⁴,

menos 128x⁶.

ora mas nós sabemos que há de levá lo à

tangente 2x é o que nós estamos chamando

de fx

portanto nós temos que a derivada do

arco tangente de 2 x de x é igual ao

nosso fdx potássio integrarmos de ambos

os lados nós vamos ter que o arco

tangente de 2 x 1 vai ser igual a

integral df the xx

portanto o atleta gente de 2 x vai ser a

integral desse por nome que vai ficar

como sendo 2 x 1 - 8 sobre 3x a terceira

mais 32 sobre 5x a quinta - 128 sobre 7x

a sétima mais uma constante se nós

sabemos que a série d maclaurin é

centrada no zero portanto essa constante

vai cair para zero e ficamos então com a

aproximação que o arco tangente de 2 x 1

vai ser igual a 2 x - 8 sobre 3 x a

terceira mais 32 sobre 5x a quinta - 128

sobre 7x a sétima aproximadamente

vamos verificar na simulação entre menos

30 graus e mais 30 graus

aqui nós temos em roxo o arco tangente

em vermelho nossa simulação aqui nós

temos nosso arco tangente em roxo e em

vermelho nós temos a nossa simulação

vemos que de menos 30 graus a mais 30

graus

ele é bem próximo na realidade a partir

de menos 35 radian anos até 35 radian

anos

ele fica muito próximo a uma curva fica

exatamente em cima da outra

portanto é uma boa aproximação