1
00:00:00,000 --> 00:00:02,991
RKA2 - Vamos utilizar a série de MacLaurin

2
00:00:02,991 --> 00:00:06,350
para colocar o arco tangente de 2x

3
00:00:06,350 --> 00:00:11,397
na série polinomial que seja uma aproximação desta função.

4
00:00:11,480 --> 00:00:13,940
A primeira coisa que nós podemos verificar

5
00:00:13,940 --> 00:00:20,460
é que a derivada do arco tangente de 2x dx

6
00:00:20,460 --> 00:00:24,599
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

7
00:00:24,599 --> 00:00:31,192
sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x².

8
00:00:31,192 --> 00:00:34,230
Vamos chamar isto de f(x).

9
00:00:34,230 --> 00:00:37,090
Vamos pegar uma função bem mais simples.

10
00:00:37,090 --> 00:00:42,455
g(x) = 1 sobre 1 + x.

11
00:00:42,595 --> 00:00:45,300
Com isso, nós podemos pegar os índices,

12
00:00:45,300 --> 00:00:48,230
uma vez que g(x)

13
00:00:48,230 --> 00:00:52,870
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

14
00:00:52,870 --> 00:00:56,260
Portanto, g'(x)

15
00:00:56,260 --> 00:01:02,450
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

16
00:01:02,520 --> 00:01:06,829
g''(x) vai ser

17
00:01:06,829 --> 00:01:15,580
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

18
00:01:15,654 --> 00:01:23,069
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

19
00:01:23,069 --> 00:01:28,100
vezes (1 + x)⁻⁴.

20
00:01:28,200 --> 00:01:32,139
Então, nós temos que a função g(x)

21
00:01:32,139 --> 00:01:38,155
pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin,

22
00:01:38,220 --> 00:01:41,210
como g(0), que vai dar 1,

23
00:01:41,210 --> 00:01:46,579
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

24
00:01:46,799 --> 00:01:49,372
então, -x,

25
00:01:49,552 --> 00:01:56,991
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x²,

26
00:01:56,991 --> 00:02:03,707
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

27
00:02:03,707 --> 00:02:06,060
vezes x³.

28
00:02:06,060 --> 00:02:07,849
Vamos ficar até este grau.

29
00:02:07,959 --> 00:02:16,925
Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x².

30
00:02:16,925 --> 00:02:23,940
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

31
00:02:23,940 --> 00:02:28,253
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

32
00:02:28,253 --> 00:02:31,700
a 2 vezes 1, menos...

33
00:02:31,700 --> 00:02:36,040
no lugar de "x", colocamos 4x²,

34
00:02:36,130 --> 00:02:39,545
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

35
00:02:39,632 --> 00:02:46,648
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

36
00:02:46,648 --> 00:02:50,640
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

37
00:02:50,700 --> 00:02:52,930
então, nós ficamos com:

38
00:02:52,930 --> 00:02:57,811
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

39
00:02:57,811 --> 00:03:02,730
vezes 4 = 64x⁶.

40
00:03:02,880 --> 00:03:08,729
Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x²,

41
00:03:08,729 --> 00:03:12,331
mais 32x⁴,

42
00:03:12,511 --> 00:03:17,940
menos 128x⁶.

43
00:03:17,940 --> 00:03:20,520
ora mas nós sabemos que há de levá lo à

44
00:03:20,520 --> 00:03:23,580
tangente 2x é o que nós estamos chamando

45
00:03:23,580 --> 00:03:25,260
de fx

46
00:03:25,260 --> 00:03:28,320
portanto nós temos que a derivada do

47
00:03:28,320 --> 00:03:33,510
arco tangente de 2 x de x é igual ao

48
00:03:33,510 --> 00:03:37,650
nosso fdx potássio integrarmos de ambos

49
00:03:37,650 --> 00:03:39,770
os lados nós vamos ter que o arco

50
00:03:39,770 --> 00:03:44,010
tangente de 2 x 1 vai ser igual a

51
00:03:44,010 --> 00:03:47,970
integral df the xx

52
00:03:47,970 --> 00:03:52,680
portanto o atleta gente de 2 x vai ser a

53
00:03:52,680 --> 00:03:55,620
integral desse por nome que vai ficar

54
00:03:55,620 --> 00:04:03,180
como sendo 2 x 1 - 8 sobre 3x a terceira

55
00:04:03,180 --> 00:04:12,660
mais 32 sobre 5x a quinta - 128 sobre 7x

56
00:04:12,660 --> 00:04:15,900
a sétima mais uma constante se nós

57
00:04:15,900 --> 00:04:17,940
sabemos que a série d maclaurin é

58
00:04:17,940 --> 00:04:21,450
centrada no zero portanto essa constante

59
00:04:21,450 --> 00:04:24,720
vai cair para zero e ficamos então com a

60
00:04:24,720 --> 00:04:30,030
aproximação que o arco tangente de 2 x 1

61
00:04:30,030 --> 00:04:35,250
vai ser igual a 2 x - 8 sobre 3 x a

62
00:04:35,250 --> 00:04:42,770
terceira mais 32 sobre 5x a quinta - 128

63
00:04:42,770 --> 00:04:48,570
sobre 7x a sétima aproximadamente

64
00:04:48,570 --> 00:04:51,630
vamos verificar na simulação entre menos

65
00:04:51,630 --> 00:04:54,180
30 graus e mais 30 graus

66
00:04:54,180 --> 00:04:58,830
aqui nós temos em roxo o arco tangente

67
00:04:58,830 --> 00:05:01,860
em vermelho nossa simulação aqui nós

68
00:05:01,860 --> 00:05:05,220
temos nosso arco tangente em roxo e em

69
00:05:05,220 --> 00:05:08,669
vermelho nós temos a nossa simulação

70
00:05:08,669 --> 00:05:11,460
vemos que de menos 30 graus a mais 30

71
00:05:11,460 --> 00:05:12,270
graus

72
00:05:12,270 --> 00:05:16,140
ele é bem próximo na realidade a partir

73
00:05:16,140 --> 00:05:22,650
de menos 35 radian anos até 35 radian

74
00:05:22,650 --> 00:05:23,220
anos

75
00:05:23,220 --> 00:05:26,700
ele fica muito próximo a uma curva fica

76
00:05:26,700 --> 00:05:28,410
exatamente em cima da outra

77
00:05:28,410 --> 00:05:32,030
portanto é uma boa aproximação