RKA2 - Vamos utilizar a série de MacLaurin
para colocar o arco tangente de 2x
na série polinomial que seja uma aproximação desta função.
A primeira coisa que nós podemos verificar
é que a derivada do arco tangente de 2x dx
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,
sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x².
Vamos chamar isto de f(x).
Vamos pegar uma função bem mais simples.
g(x) = 1 sobre 1 + x.
Com isso, nós podemos pegar os índices,
uma vez que g(x)
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.
Portanto, g'(x)
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,
g''(x) vai ser
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,
vezes (1 + x)⁻⁴.
Então, nós temos que a função g(x)
pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin,
como g(0), que vai dar 1,
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",
então, -x,
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x²,
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,
vezes x³.
Vamos ficar até este grau.
Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x².
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual
a 2 vezes 1, menos...
no lugar de "x", colocamos 4x²,
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,
então, nós ficamos com:
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,
vezes 4 = 64x⁶.
Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x²,
mais 32x⁴,
menos 128x⁶.
ora mas nós sabemos que há de levá lo à
tangente 2x é o que nós estamos chamando
de fx
portanto nós temos que a derivada do
arco tangente de 2 x de x é igual ao
nosso fdx potássio integrarmos de ambos
os lados nós vamos ter que o arco
tangente de 2 x 1 vai ser igual a
integral df the xx
portanto o atleta gente de 2 x vai ser a
integral desse por nome que vai ficar
como sendo 2 x 1 - 8 sobre 3x a terceira
mais 32 sobre 5x a quinta - 128 sobre 7x
a sétima mais uma constante se nós
sabemos que a série d maclaurin é
centrada no zero portanto essa constante
vai cair para zero e ficamos então com a
aproximação que o arco tangente de 2 x 1
vai ser igual a 2 x - 8 sobre 3 x a
terceira mais 32 sobre 5x a quinta - 128
sobre 7x a sétima aproximadamente
vamos verificar na simulação entre menos
30 graus e mais 30 graus
aqui nós temos em roxo o arco tangente
em vermelho nossa simulação aqui nós
temos nosso arco tangente em roxo e em
vermelho nós temos a nossa simulação
vemos que de menos 30 graus a mais 30
graus
ele é bem próximo na realidade a partir
de menos 35 radian anos até 35 radian
anos
ele fica muito próximo a uma curva fica
exatamente em cima da outra
portanto é uma boa aproximação