WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.991
RKA2 - Vamos utilizar a série de MacLaurin

00:00:02.991 --> 00:00:06.350
para colocar o arco tangente de 2x

00:00:06.350 --> 00:00:11.397
na série polinomial que seja uma aproximação desta função.

00:00:11.480 --> 00:00:13.940
A primeira coisa que nós podemos verificar

00:00:13.940 --> 00:00:20.460
é que a derivada do arco tangente de 2x dx

00:00:20.460 --> 00:00:24.599
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

00:00:24.599 --> 00:00:31.192
sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x².

00:00:31.192 --> 00:00:34.230
Vamos chamar isto de f(x).

00:00:34.230 --> 00:00:37.090
Vamos pegar uma função bem mais simples.

00:00:37.090 --> 00:00:42.455
g(x) = 1 sobre 1 + x.

00:00:42.595 --> 00:00:45.300
Com isso, nós podemos pegar os índices,

00:00:45.300 --> 00:00:48.230
uma vez que g(x)

00:00:48.230 --> 00:00:52.870
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

00:00:52.870 --> 00:00:56.260
Portanto, g'(x)

00:00:56.260 --> 00:01:02.450
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

00:01:02.520 --> 00:01:06.829
g''(x) vai ser

00:01:06.829 --> 00:01:15.580
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

00:01:15.654 --> 00:01:23.069
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

00:01:23.069 --> 00:01:28.100
vezes (1 + x)⁻⁴.

00:01:28.200 --> 00:01:32.139
Então, nós temos que a função g(x)

00:01:32.139 --> 00:01:38.155
pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin,

00:01:38.220 --> 00:01:41.210
como g(0), que vai dar 1,

00:01:41.210 --> 00:01:46.579
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

00:01:46.799 --> 00:01:49.372
então, -x,

00:01:49.552 --> 00:01:56.991
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x²,

00:01:56.991 --> 00:02:03.707
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

00:02:03.707 --> 00:02:06.060
vezes x³.

00:02:06.060 --> 00:02:07.849
Vamos ficar até este grau.

00:02:07.959 --> 00:02:16.925
Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x².

00:02:16.925 --> 00:02:23.940
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

00:02:23.940 --> 00:02:28.253
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

00:02:28.253 --> 00:02:31.700
a 2 vezes 1, menos...

00:02:31.700 --> 00:02:36.040
no lugar de "x", colocamos 4x²,

00:02:36.130 --> 00:02:39.545
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

00:02:39.632 --> 00:02:46.648
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

00:02:46.648 --> 00:02:50.640
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

00:02:50.700 --> 00:02:52.930
então, nós ficamos com:

00:02:52.930 --> 00:02:57.811
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

00:02:57.811 --> 00:03:02.730
vezes 4 = 64x⁶.

00:03:02.880 --> 00:03:08.729
Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x²,

00:03:08.729 --> 00:03:12.331
mais 32x⁴,

00:03:12.511 --> 00:03:17.940
menos 128x⁶.

00:03:17.940 --> 00:03:20.520
ora mas nós sabemos que há de levá lo à

00:03:20.520 --> 00:03:23.580
tangente 2x é o que nós estamos chamando

00:03:23.580 --> 00:03:25.260
de fx

00:03:25.260 --> 00:03:28.320
portanto nós temos que a derivada do

00:03:28.320 --> 00:03:33.510
arco tangente de 2 x de x é igual ao

00:03:33.510 --> 00:03:37.650
nosso fdx potássio integrarmos de ambos

00:03:37.650 --> 00:03:39.770
os lados nós vamos ter que o arco

00:03:39.770 --> 00:03:44.010
tangente de 2 x 1 vai ser igual a

00:03:44.010 --> 00:03:47.970
integral df the xx

00:03:47.970 --> 00:03:52.680
portanto o atleta gente de 2 x vai ser a

00:03:52.680 --> 00:03:55.620
integral desse por nome que vai ficar

00:03:55.620 --> 00:04:03.180
como sendo 2 x 1 - 8 sobre 3x a terceira

00:04:03.180 --> 00:04:12.660
mais 32 sobre 5x a quinta - 128 sobre 7x

00:04:12.660 --> 00:04:15.900
a sétima mais uma constante se nós

00:04:15.900 --> 00:04:17.940
sabemos que a série d maclaurin é

00:04:17.940 --> 00:04:21.450
centrada no zero portanto essa constante

00:04:21.450 --> 00:04:24.720
vai cair para zero e ficamos então com a

00:04:24.720 --> 00:04:30.030
aproximação que o arco tangente de 2 x 1

00:04:30.030 --> 00:04:35.250
vai ser igual a 2 x - 8 sobre 3 x a

00:04:35.250 --> 00:04:42.770
terceira mais 32 sobre 5x a quinta - 128

00:04:42.770 --> 00:04:48.570
sobre 7x a sétima aproximadamente

00:04:48.570 --> 00:04:51.630
vamos verificar na simulação entre menos

00:04:51.630 --> 00:04:54.180
30 graus e mais 30 graus

00:04:54.180 --> 00:04:58.830
aqui nós temos em roxo o arco tangente

00:04:58.830 --> 00:05:01.860
em vermelho nossa simulação aqui nós

00:05:01.860 --> 00:05:05.220
temos nosso arco tangente em roxo e em

00:05:05.220 --> 00:05:08.669
vermelho nós temos a nossa simulação

00:05:08.669 --> 00:05:11.460
vemos que de menos 30 graus a mais 30

00:05:11.460 --> 00:05:12.270
graus

00:05:12.270 --> 00:05:16.140
ele é bem próximo na realidade a partir

00:05:16.140 --> 00:05:22.650
de menos 35 radian anos até 35 radian

00:05:22.650 --> 00:05:23.220
anos

00:05:23.220 --> 00:05:26.700
ele fica muito próximo a uma curva fica

00:05:26.700 --> 00:05:28.410
exatamente em cima da outra

00:05:28.410 --> 00:05:32.030
portanto é uma boa aproximação