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RKA2G - Vamos utilizar a série de MacLaurin
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para colocar o arco tangente de 2x
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na série polinomial que seja
uma aproximação desta função.
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A primeira coisa que nós podemos verificar
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é que a derivada do arco tangente de 2x dx
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vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,
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sobre 1 mais o quadrado de 2x,
que vai ficar 4x².
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Vamos chamar isto de f(x).
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Vamos pegar uma função bem mais simples.
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g(x) = 1 sobre 1 + x.
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Com isso, nós podemos pegar os índices,
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uma vez que g(x)
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vai ser igual a (1 + x)⁻¹.
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Portanto, g'(x)
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vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,
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g''(x) vai ser
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-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³
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e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,
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vezes (1 + x)⁻⁴.
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Então, nós temos que a função g(x)
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pode ser escrita aproximadamente
como sendo, pela série de MacLaurin,
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como g(0), que vai dar 1,
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menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",
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então, -x,
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mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial,
vezes x²,
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mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,
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vezes x³.
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Vamos ficar até este grau.
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Nós sabemos que f(x) nós chamamos
de 2 sobre 1, mais 4x².
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Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).
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Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual
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a 2 vezes 1, menos...
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no lugar de "x", colocamos 4x²,
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mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,
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então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,
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menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,
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então, nós ficamos com:
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(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,
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vezes 4 = 64x⁶.
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Abrindo este parêntese,
nós vamos ter: 2 - 8x²,
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mais 32x⁴,
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menos 128x⁶.
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Mas nós sabemos que a derivada
do arco tangente de 2x
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é o que nós estamos chamando de f(x).
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Portanto, nós temos que a derivada
do arco tangente de 2x dx
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é igual ao nosso f(x).
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Portanto, se integrarmos de ambos os lados,
nós vamos ter que o arco tangente de 2x
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vai ser igual à integral de f(x) dx.
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Portanto, o arco tangente de 2x vai ser
a integral deste polinômio,
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que vai ficar como sendo 2x, menos (8/3)x³
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mais (32/5)x⁵,
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menos (128/7)x⁷,
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mais uma constante "c".
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Nós sabemos que a série de MacLaurin
é centrada no zero.
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Portanto, esta constante vai cair para zero.
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E ficamos, então, com a aproximação que
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o arco tangente de 2x
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vai ser igual a 2x - (8/3)x³,
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mais (32/5)x⁵,
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menos (128/7)x⁷, aproximadamente.
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Vamos verificar na simulação entre
-30 graus e +30 graus.
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Aqui nós temos, em roxo, o arco tangente
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e, em vermelho, nossa simulação.
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Aqui nós temos nosso arco tangente em roxo
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e, em vermelho, nós temos a nossa simulação.
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Vemos que, de -30 graus a +30 graus,
ele é bem próximo.
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Na realidade, a partir de -35 radianos
até +35 radianos,
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ele fica muito próximo, uma curva fica
exatamente em cima da outra.
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Portanto, é uma boa aproximação.
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