RKA2G - Vamos utilizar a série de MacLaurin

para colocar o arco tangente de 2x

na série polinomial que seja
uma aproximação desta função.

A primeira coisa que nós podemos verificar

é que a derivada do arco tangente de 2x dx

vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

sobre 1 mais o quadrado de 2x,
que vai ficar 4x².

Vamos chamar isto de f(x).

Vamos pegar uma função bem mais simples.

g(x) = 1 sobre 1 + x.

Com isso, nós podemos pegar os índices,

uma vez que g(x)

vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

Portanto, g'(x)

vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

g''(x) vai ser

-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

vezes (1 + x)⁻⁴.

Então, nós temos que a função g(x)

pode ser escrita aproximadamente
como sendo, pela série de MacLaurin,

como g(0), que vai dar 1,

menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

então, -x,

mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial,
vezes x²,

mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

vezes x³.

Vamos ficar até este grau.

Nós sabemos que f(x) nós chamamos
de 2 sobre 1, mais 4x².

Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

a 2 vezes 1, menos...

no lugar de "x", colocamos 4x²,

mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

então, nós ficamos com:

(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

vezes 4 = 64x⁶.

Abrindo este parêntese,
nós vamos ter: 2 - 8x²,

mais 32x⁴,

menos 128x⁶.

Mas nós sabemos que a derivada
do arco tangente de 2x

é o que nós estamos chamando de f(x).

Portanto, nós temos que a derivada
do arco tangente de 2x dx

é igual ao nosso f(x).

Portanto, se integrarmos de ambos os lados,
nós vamos ter que o arco tangente de 2x

vai ser igual à integral de f(x) dx.

Portanto, o arco tangente de 2x vai ser
a integral deste polinômio,

que vai ficar como sendo 2x, menos (8/3)x³

mais (32/5)x⁵,

menos (128/7)x⁷,

mais uma constante "c".

Nós sabemos que a série de MacLaurin
é centrada no zero.

Portanto, esta constante vai cair para zero.

E ficamos, então, com a aproximação que

o arco tangente de 2x

vai ser igual a 2x - (8/3)x³,

mais (32/5)x⁵,

menos (128/7)x⁷, aproximadamente.

Vamos verificar na simulação entre
-30 graus e +30 graus.

Aqui nós temos, em roxo, o arco tangente

e, em vermelho, nossa simulação.

Aqui nós temos nosso arco tangente em roxo

e, em vermelho, nós temos a nossa simulação.

Vemos que, de -30 graus a +30 graus,
ele é bem próximo.

Na realidade, a partir de -35 radianos
até +35 radianos,

ele fica muito próximo, uma curva fica
exatamente em cima da outra.

Portanto, é uma boa aproximação.