WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.991
RKA2G - Vamos utilizar a série de MacLaurin

00:00:02.991 --> 00:00:06.350
para colocar o arco tangente de 2x

00:00:06.350 --> 00:00:11.480
na série polinomial que seja
uma aproximação desta função.

00:00:11.480 --> 00:00:13.940
A primeira coisa que nós podemos verificar

00:00:13.940 --> 00:00:20.460
é que a derivada do arco tangente de 2x dx

00:00:20.460 --> 00:00:24.599
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

00:00:24.599 --> 00:00:31.192
sobre 1 mais o quadrado de 2x,
que vai ficar 4x².

00:00:31.192 --> 00:00:34.230
Vamos chamar isto de f(x).

00:00:34.230 --> 00:00:37.090
Vamos pegar uma função bem mais simples.

00:00:37.090 --> 00:00:42.595
g(x) = 1 sobre 1 + x.

00:00:42.595 --> 00:00:45.300
Com isso, nós podemos pegar os índices,

00:00:45.300 --> 00:00:48.230
uma vez que g(x)

00:00:48.230 --> 00:00:52.870
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

00:00:52.870 --> 00:00:56.260
Portanto, g'(x)

00:00:56.260 --> 00:01:02.520
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

00:01:02.520 --> 00:01:06.829
g''(x) vai ser

00:01:06.829 --> 00:01:15.654
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

00:01:15.654 --> 00:01:23.069
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

00:01:23.069 --> 00:01:28.200
vezes (1 + x)⁻⁴.

00:01:28.200 --> 00:01:32.139
Então, nós temos que a função g(x)

00:01:32.139 --> 00:01:38.220
pode ser escrita aproximadamente
como sendo, pela série de MacLaurin,

00:01:38.220 --> 00:01:41.210
como g(0), que vai dar 1,

00:01:41.210 --> 00:01:46.799
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

00:01:46.799 --> 00:01:49.552
então, -x,

00:01:49.552 --> 00:01:56.991
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial,
vezes x²,

00:01:56.991 --> 00:02:03.707
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

00:02:03.707 --> 00:02:06.060
vezes x³.

00:02:06.060 --> 00:02:07.959
Vamos ficar até este grau.

00:02:07.959 --> 00:02:16.925
Nós sabemos que f(x) nós chamamos
de 2 sobre 1, mais 4x².

00:02:16.925 --> 00:02:23.940
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

00:02:23.940 --> 00:02:28.253
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

00:02:28.253 --> 00:02:31.700
a 2 vezes 1, menos...

00:02:31.700 --> 00:02:36.130
no lugar de "x", colocamos 4x²,

00:02:36.130 --> 00:02:39.632
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

00:02:39.632 --> 00:02:46.648
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

00:02:46.648 --> 00:02:50.700
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

00:02:50.700 --> 00:02:52.930
então, nós ficamos com:

00:02:52.930 --> 00:02:57.811
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

00:02:57.811 --> 00:03:02.880
vezes 4 = 64x⁶.

00:03:02.880 --> 00:03:08.729
Abrindo este parêntese,
nós vamos ter: 2 - 8x²,

00:03:08.729 --> 00:03:12.511
mais 32x⁴,

00:03:12.511 --> 00:03:17.940
menos 128x⁶.

00:03:17.940 --> 00:03:22.385
Mas nós sabemos que a derivada
do arco tangente de 2x

00:03:22.385 --> 00:03:25.260
é o que nós estamos chamando de f(x).

00:03:25.260 --> 00:03:31.600
Portanto, nós temos que a derivada
do arco tangente de 2x dx

00:03:31.600 --> 00:03:35.810
é igual ao nosso f(x).

00:03:35.810 --> 00:03:43.060
Portanto, se integrarmos de ambos os lados,
nós vamos ter que o arco tangente de 2x

00:03:43.060 --> 00:03:47.970
vai ser igual à integral de f(x) dx.

00:03:47.970 --> 00:03:55.140
Portanto, o arco tangente de 2x vai ser
a integral deste polinômio,

00:03:55.140 --> 00:04:03.290
que vai ficar como sendo 2x, menos (8/3)x³

00:04:03.290 --> 00:04:08.521
mais (32/5)x⁵,

00:04:08.521 --> 00:04:14.023
menos (128/7)x⁷,

00:04:14.023 --> 00:04:15.709
mais uma constante "c".

00:04:15.709 --> 00:04:19.417
Nós sabemos que a série de MacLaurin
é centrada no zero.

00:04:19.417 --> 00:04:23.439
Portanto, esta constante vai cair para zero.

00:04:23.439 --> 00:04:26.129
E ficamos, então, com a aproximação que

00:04:26.129 --> 00:04:29.910
o arco tangente de 2x

00:04:29.910 --> 00:04:36.040
vai ser igual a 2x - (8/3)x³,

00:04:36.040 --> 00:04:40.750
mais (32/5)x⁵,

00:04:40.750 --> 00:04:48.570
menos (128/7)x⁷, aproximadamente.

00:04:48.570 --> 00:04:54.180
Vamos verificar na simulação entre
-30 graus e +30 graus.

00:04:54.180 --> 00:04:58.940
Aqui nós temos, em roxo, o arco tangente

00:04:58.940 --> 00:05:01.210
e, em vermelho, nossa simulação.

00:05:01.210 --> 00:05:04.824
Aqui nós temos nosso arco tangente em roxo

00:05:04.824 --> 00:05:08.669
e, em vermelho, nós temos a nossa simulação.

00:05:08.669 --> 00:05:14.827
Vemos que, de -30 graus a +30 graus,
ele é bem próximo.

00:05:14.827 --> 00:05:23.220
Na realidade, a partir de -35 radianos
até +35 radianos,

00:05:23.220 --> 00:05:28.410
ele fica muito próximo, uma curva fica
exatamente em cima da outra.

00:05:28.410 --> 00:05:30.771
Portanto, é uma boa aproximação.