0:00:00.000,0:00:02.991
RKA2G - Vamos utilizar a série de MacLaurin

0:00:02.991,0:00:06.350
para colocar o arco tangente de 2x

0:00:06.350,0:00:11.480
na série polinomial que seja[br]uma aproximação desta função.

0:00:11.480,0:00:13.940
A primeira coisa que nós podemos verificar

0:00:13.940,0:00:20.460
é que a derivada do arco tangente de 2x dx

0:00:20.460,0:00:24.599
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

0:00:24.599,0:00:31.192
sobre 1 mais o quadrado de 2x,[br]que vai ficar 4x².

0:00:31.192,0:00:34.230
Vamos chamar isto de f(x).

0:00:34.230,0:00:37.090
Vamos pegar uma função bem mais simples.

0:00:37.090,0:00:42.595
g(x) = 1 sobre 1 + x.

0:00:42.595,0:00:45.300
Com isso, nós podemos pegar os índices,

0:00:45.300,0:00:48.230
uma vez que g(x)

0:00:48.230,0:00:52.870
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

0:00:52.870,0:00:56.260
Portanto, g'(x)

0:00:56.260,0:01:02.520
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

0:01:02.520,0:01:06.829
g''(x) vai ser

0:01:06.829,0:01:15.654
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

0:01:15.654,0:01:23.069
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

0:01:23.069,0:01:28.200
vezes (1 + x)⁻⁴.

0:01:28.200,0:01:32.139
Então, nós temos que a função g(x)

0:01:32.139,0:01:38.220
pode ser escrita aproximadamente[br]como sendo, pela série de MacLaurin,

0:01:38.220,0:01:41.210
como g(0), que vai dar 1,

0:01:41.210,0:01:46.799
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

0:01:46.799,0:01:49.552
então, -x,

0:01:49.552,0:01:56.991
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial,[br]vezes x²,

0:01:56.991,0:02:03.707
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

0:02:03.707,0:02:06.060
vezes x³.

0:02:06.060,0:02:07.959
Vamos ficar até este grau.

0:02:07.959,0:02:16.925
Nós sabemos que f(x) nós chamamos[br]de 2 sobre 1, mais 4x².

0:02:16.925,0:02:23.940
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

0:02:23.940,0:02:28.253
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

0:02:28.253,0:02:31.700
a 2 vezes 1, menos...

0:02:31.700,0:02:36.130
no lugar de "x", colocamos 4x²,

0:02:36.130,0:02:39.632
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

0:02:39.632,0:02:46.648
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

0:02:46.648,0:02:50.700
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

0:02:50.700,0:02:52.930
então, nós ficamos com:

0:02:52.930,0:02:57.811
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

0:02:57.811,0:03:02.880
vezes 4 = 64x⁶.

0:03:02.880,0:03:08.729
Abrindo este parêntese,[br]nós vamos ter: 2 - 8x²,

0:03:08.729,0:03:12.511
mais 32x⁴,

0:03:12.511,0:03:17.940
menos 128x⁶.

0:03:17.940,0:03:22.385
Mas nós sabemos que a derivada[br]do arco tangente de 2x

0:03:22.385,0:03:25.260
é o que nós estamos chamando de f(x).

0:03:25.260,0:03:31.600
Portanto, nós temos que a derivada[br]do arco tangente de 2x dx

0:03:31.600,0:03:35.810
é igual ao nosso f(x).

0:03:35.810,0:03:43.060
Portanto, se integrarmos de ambos os lados,[br]nós vamos ter que o arco tangente de 2x

0:03:43.060,0:03:47.970
vai ser igual à integral de f(x) dx.

0:03:47.970,0:03:55.140
Portanto, o arco tangente de 2x vai ser[br]a integral deste polinômio,

0:03:55.140,0:04:03.290
que vai ficar como sendo 2x, menos (8/3)x³

0:04:03.290,0:04:08.521
mais (32/5)x⁵,

0:04:08.521,0:04:14.023
menos (128/7)x⁷,

0:04:14.023,0:04:15.709
mais uma constante "c".

0:04:15.709,0:04:19.417
Nós sabemos que a série de MacLaurin[br]é centrada no zero.

0:04:19.417,0:04:23.439
Portanto, esta constante vai cair para zero.

0:04:23.439,0:04:26.129
E ficamos, então, com a aproximação que

0:04:26.129,0:04:29.910
o arco tangente de 2x

0:04:29.910,0:04:36.040
vai ser igual a 2x - (8/3)x³,

0:04:36.040,0:04:40.750
mais (32/5)x⁵,

0:04:40.750,0:04:48.570
menos (128/7)x⁷, aproximadamente.

0:04:48.570,0:04:54.180
Vamos verificar na simulação entre[br]-30 graus e +30 graus.

0:04:54.180,0:04:58.940
Aqui nós temos, em roxo, o arco tangente

0:04:58.940,0:05:01.210
e, em vermelho, nossa simulação.

0:05:01.210,0:05:04.824
Aqui nós temos nosso arco tangente em roxo

0:05:04.824,0:05:08.669
e, em vermelho, nós temos a nossa simulação.

0:05:08.669,0:05:14.827
Vemos que, de -30 graus a +30 graus,[br]ele é bem próximo.

0:05:14.827,0:05:23.220
Na realidade, a partir de -35 radianos[br]até +35 radianos,

0:05:23.220,0:05:28.410
ele fica muito próximo, uma curva fica[br]exatamente em cima da outra.

0:05:28.410,0:05:30.771
Portanto, é uma boa aproximação.