1
00:00:00,000 --> 00:00:02,991
RKA2G - Vamos utilizar a série de MacLaurin

2
00:00:02,991 --> 00:00:06,350
para colocar o arco tangente de 2x

3
00:00:06,350 --> 00:00:11,480
na série polinomial que seja
uma aproximação desta função.

4
00:00:11,480 --> 00:00:13,940
A primeira coisa que nós podemos verificar

5
00:00:13,940 --> 00:00:20,460
é que a derivada do arco tangente de 2x dx

6
00:00:20,460 --> 00:00:24,599
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,

7
00:00:24,599 --> 00:00:31,192
sobre 1 mais o quadrado de 2x,
que vai ficar 4x².

8
00:00:31,192 --> 00:00:34,230
Vamos chamar isto de f(x).

9
00:00:34,230 --> 00:00:37,090
Vamos pegar uma função bem mais simples.

10
00:00:37,090 --> 00:00:42,595
g(x) = 1 sobre 1 + x.

11
00:00:42,595 --> 00:00:45,300
Com isso, nós podemos pegar os índices,

12
00:00:45,300 --> 00:00:48,230
uma vez que g(x)

13
00:00:48,230 --> 00:00:52,870
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.

14
00:00:52,870 --> 00:00:56,260
Portanto, g'(x)

15
00:00:56,260 --> 00:01:02,520
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,

16
00:01:02,520 --> 00:01:06,829
g''(x) vai ser

17
00:01:06,829 --> 00:01:15,654
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³

18
00:01:15,654 --> 00:01:23,069
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,

19
00:01:23,069 --> 00:01:28,200
vezes (1 + x)⁻⁴.

20
00:01:28,200 --> 00:01:32,139
Então, nós temos que a função g(x)

21
00:01:32,139 --> 00:01:38,220
pode ser escrita aproximadamente
como sendo, pela série de MacLaurin,

22
00:01:38,220 --> 00:01:41,210
como g(0), que vai dar 1,

23
00:01:41,210 --> 00:01:46,799
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",

24
00:01:46,799 --> 00:01:49,552
então, -x,

25
00:01:49,552 --> 00:01:56,991
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial,
vezes x²,

26
00:01:56,991 --> 00:02:03,707
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,

27
00:02:03,707 --> 00:02:06,060
vezes x³.

28
00:02:06,060 --> 00:02:07,959
Vamos ficar até este grau.

29
00:02:07,959 --> 00:02:16,925
Nós sabemos que f(x) nós chamamos
de 2 sobre 1, mais 4x².

30
00:02:16,925 --> 00:02:23,940
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).

31
00:02:23,940 --> 00:02:28,253
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual

32
00:02:28,253 --> 00:02:31,700
a 2 vezes 1, menos...

33
00:02:31,700 --> 00:02:36,130
no lugar de "x", colocamos 4x²,

34
00:02:36,130 --> 00:02:39,632
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,

35
00:02:39,632 --> 00:02:46,648
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,

36
00:02:46,648 --> 00:02:50,700
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,

37
00:02:50,700 --> 00:02:52,930
então, nós ficamos com:

38
00:02:52,930 --> 00:02:57,811
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,

39
00:02:57,811 --> 00:03:02,880
vezes 4 = 64x⁶.

40
00:03:02,880 --> 00:03:08,729
Abrindo este parêntese,
nós vamos ter: 2 - 8x²,

41
00:03:08,729 --> 00:03:12,511
mais 32x⁴,

42
00:03:12,511 --> 00:03:17,940
menos 128x⁶.

43
00:03:17,940 --> 00:03:22,385
Mas nós sabemos que a derivada
do arco tangente de 2x

44
00:03:22,385 --> 00:03:25,260
é o que nós estamos chamando de f(x).

45
00:03:25,260 --> 00:03:31,600
Portanto, nós temos que a derivada
do arco tangente de 2x dx

46
00:03:31,600 --> 00:03:35,810
é igual ao nosso f(x).

47
00:03:35,810 --> 00:03:43,060
Portanto, se integrarmos de ambos os lados,
nós vamos ter que o arco tangente de 2x

48
00:03:43,060 --> 00:03:47,970
vai ser igual à integral de f(x) dx.

49
00:03:47,970 --> 00:03:55,140
Portanto, o arco tangente de 2x vai ser
a integral deste polinômio,

50
00:03:55,140 --> 00:04:03,290
que vai ficar como sendo 2x, menos (8/3)x³

51
00:04:03,290 --> 00:04:08,521
mais (32/5)x⁵,

52
00:04:08,521 --> 00:04:14,023
menos (128/7)x⁷,

53
00:04:14,023 --> 00:04:15,709
mais uma constante "c".

54
00:04:15,709 --> 00:04:19,417
Nós sabemos que a série de MacLaurin
é centrada no zero.

55
00:04:19,417 --> 00:04:23,439
Portanto, esta constante vai cair para zero.

56
00:04:23,439 --> 00:04:26,129
E ficamos, então, com a aproximação que

57
00:04:26,129 --> 00:04:29,910
o arco tangente de 2x

58
00:04:29,910 --> 00:04:36,040
vai ser igual a 2x - (8/3)x³,

59
00:04:36,040 --> 00:04:40,750
mais (32/5)x⁵,

60
00:04:40,750 --> 00:04:48,570
menos (128/7)x⁷, aproximadamente.

61
00:04:48,570 --> 00:04:54,180
Vamos verificar na simulação entre
-30 graus e +30 graus.

62
00:04:54,180 --> 00:04:58,940
Aqui nós temos, em roxo, o arco tangente

63
00:04:58,940 --> 00:05:01,210
e, em vermelho, nossa simulação.

64
00:05:01,210 --> 00:05:04,824
Aqui nós temos nosso arco tangente em roxo

65
00:05:04,824 --> 00:05:08,669
e, em vermelho, nós temos a nossa simulação.

66
00:05:08,669 --> 00:05:14,827
Vemos que, de -30 graus a +30 graus,
ele é bem próximo.

67
00:05:14,827 --> 00:05:23,220
Na realidade, a partir de -35 radianos
até +35 radianos,

68
00:05:23,220 --> 00:05:28,410
ele fica muito próximo, uma curva fica
exatamente em cima da outra.

69
00:05:28,410 --> 00:05:30,771
Portanto, é uma boa aproximação.