群论101:怎样像钢琴一样“演奏”魔方 - 迈克尔·斯塔夫
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0:07 - 0:10你怎样玩魔方呢?
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0:10 - 0:13我指的不是简单地摆弄它,而是像弹钢琴一样“演奏”它。
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0:13 - 0:16这个问题起初看起来不符合常理,
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0:16 - 0:21但在一个被称为“群论”的抽象数学领域中有这个问题的答案,
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0:21 - 0:23容我好好解释——
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0:23 - 0:27在数学中,一个“群”指的是一些元素的特定集合。
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0:27 - 0:29可能是一组整数,
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0:29 - 0:30或是魔方的面,
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0:30 - 0:32亦或是任何东西,
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0:32 - 0:37只要他们符合特定的四条原则,或公理。
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0:37 - 0:38公理一:封闭性。
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0:38 - 0:44群的所有“动作”必须仅限于组内的元素。
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0:44 - 0:47在图中的框里,你所做的任何操作,
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0:47 - 0:49比如将其转向一个方向,
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0:49 - 0:52得到的最终结果仍是组内的一个元素。
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0:52 - 0:53公理二:结合律。
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0:53 - 0:58当我们在对群做一个操作时,无论我们在哪里加括号,
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0:58 - 1:01结果都不会变化。
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1:01 - 1:05换种说法,如果我们把魔方的一个面向右转动两次,再向右转动一次,
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1:05 - 1:10这和先向右转动一次再转动两次得到的结果是一样的。
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1:10 - 1:13从数字上来说,就像一加二等于二加一。
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1:13 - 1:14公理三:单位元。
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1:14 - 1:19针对每一个操作,组中都有一个元素被称为“单位元”。
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1:19 - 1:21当我们将其特征赋予组中任何一个元素,
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1:21 - 1:23我们仍然得到原来的那个元素。
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1:23 - 1:27针对于魔方的面和整数这两个组合,
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1:27 - 1:29他们的单位元都是 0。
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1:29 - 1:32听起来并不是挺令人激动。
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1:32 - 1:33公理四:逆元。
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1:33 - 1:38群组中的任何一个元素都能在同一群组中找到一个“逆元”。
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1:38 - 1:42当这两个相反的元素相加后,
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1:42 - 1:45得到的结果是单位元(零)。
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1:45 - 1:49所以可以说他们抵消对方。
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1:49 - 1:52这就是四条针对群组的公理,可是意义在哪里呢?
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1:52 - 1:55当我们越过这些四条基本的规则,
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1:55 - 1:58一些有趣的现象就涌现了出来。
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1:58 - 2:03举个例子,我们把方块拓展至一个标准的魔方。
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2:03 - 2:07这是一个符合我们所有公理的“群”―—
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2:07 - 2:10尽管我们现在有了相当多的元素,
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2:10 - 2:12以及更多的操作选择。
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2:12 - 2:17我们可以转动每一面的各行各列。
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2:17 - 2:19每一种不同的情况叫做一种排列,
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2:19 - 2:24当群中的元素越多,可能的排列就越多。
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2:24 - 2:28一个魔方拥有超过43×10的21次幂种排列可能。
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2:28 - 2:32所以尝试胡乱地解开它可行不通。
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2:32 - 2:36然而,我们可以利用群论来分析魔方,
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2:36 - 2:41然后尝试找出一组特定的排列最终来解开魔方。
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2:41 - 2:44事实上,这正是大多数复原魔方的人所干的事,
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2:44 - 2:49他们甚至用一种群论标记来记录转动的次数。
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2:49 - 2:52群论不仅仅局限于解开谜题。
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2:52 - 2:57群论也被深深地嵌入音乐中。
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2:57 - 3:01把一个和弦可视化的方法之一是写出全部十二个音符,
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3:01 - 3:04并使他们围成一圈。
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3:04 - 3:08我们可以从任何一个音符开始,比如从最上边的C开始。
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3:08 - 3:13所得到的和弦叫做“减七和弦”。
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3:13 - 3:17这个和弦是一个由这四个音符元素组成的群。
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3:17 - 3:22我们所能对其进行的操作是将最底部的音符放置到最顶端。
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3:22 - 3:24在音乐中,我们称之为“转位”。
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3:24 - 3:27这与我们之前所做的加法是等价的。
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3:27 - 3:30每一个转位都改变了和弦的声音,
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3:30 - 3:34但它一直是减七和弦。
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3:34 - 3:38换句话说,它符合公理一。
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3:38 - 3:42作曲家们用和弦转位来操作一个和弦序列,
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3:42 - 3:51用于避免不匀称或是不和谐的和声。
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3:51 - 3:55在乐谱上,和弦转位看起来是这样,
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3:55 - 4:00但我们还可以将其覆盖在这些方块上。
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4:00 - 4:04如果你将整个魔方都赋予音符,
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4:04 - 4:10每一面复原后的魔方都是和声的和弦,
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4:10 - 4:13将解魔方的步骤以“和声的进行”的形式表现出来,
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4:13 - 4:17音色会逐渐地由不和谐转为悦耳。
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4:17 - 4:21“演奏”魔方吧!如果你喜欢。
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- 群论101:怎样像钢琴一样“演奏”魔方 - 迈克尔·斯塔夫
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完整课程:http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff
数学解释宇宙的运行——从粒子物理到工程和经济。数学甚至与音乐联系紧密,而这一切又与魔方有关联。迈克尔·斯塔夫教你怎样用群论“演奏”魔方——就像弹钢琴那样。
课程:迈克尔·斯塔夫,动画:Shixie。
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- English
- Team:
- closed TED
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- TED-Ed
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