1
00:00:06,960 --> 00:00:09,600
你怎样玩魔方呢？

2
00:00:09,600 --> 00:00:13,226
我指的不是简单地摆弄它，而是像弹钢琴一样“演奏”它。

3
00:00:13,226 --> 00:00:15,911
这个问题起初看起来不符合常理，

4
00:00:15,911 --> 00:00:20,640
但在一个被称为“群论”的抽象数学领域中有这个问题的答案，

5
00:00:20,640 --> 00:00:22,609
容我好好解释——

6
00:00:22,609 --> 00:00:26,719
在数学中，一个“群”指的是一些元素的特定集合。

7
00:00:26,719 --> 00:00:28,545
可能是一组整数，

8
00:00:28,545 --> 00:00:30,473
或是魔方的面，

9
00:00:30,473 --> 00:00:32,075
亦或是任何东西，

10
00:00:32,075 --> 00:00:36,571
只要他们符合特定的四条原则，或公理。

11
00:00:36,571 --> 00:00:38,059
公理一：封闭性。

12
00:00:38,059 --> 00:00:43,677
群的所有“动作”必须仅限于组内的元素。

13
00:00:43,677 --> 00:00:46,601
在图中的框里，你所做的任何操作，

14
00:00:46,601 --> 00:00:48,748
比如将其转向一个方向，

15
00:00:48,748 --> 00:00:52,031
得到的最终结果仍是组内的一个元素。

16
00:00:52,031 --> 00:00:53,196
公理二：结合律。

17
00:00:53,196 --> 00:00:57,996
当我们在对群做一个操作时，无论我们在哪里加括号，

18
00:00:57,996 --> 00:01:00,599
结果都不会变化。

19
00:01:00,599 --> 00:01:05,040
换种说法，如果我们把魔方的一个面向右转动两次，再向右转动一次，

20
00:01:05,040 --> 00:01:09,508
这和先向右转动一次再转动两次得到的结果是一样的。

21
00:01:09,508 --> 00:01:12,586
从数字上来说，就像一加二等于二加一。

22
00:01:12,586 --> 00:01:14,254
公理三：单位元。

23
00:01:14,254 --> 00:01:18,855
针对每一个操作，组中都有一个元素被称为“单位元”。

24
00:01:18,855 --> 00:01:21,290
当我们将其特征赋予组中任何一个元素，

25
00:01:21,290 --> 00:01:23,449
我们仍然得到原来的那个元素。

26
00:01:23,449 --> 00:01:26,857
针对于魔方的面和整数这两个组合，

27
00:01:26,857 --> 00:01:29,267
他们的单位元都是 0。

28
00:01:29,267 --> 00:01:31,777
听起来并不是挺令人激动。

29
00:01:31,777 --> 00:01:33,225
公理四：逆元。

30
00:01:33,225 --> 00:01:38,302
群组中的任何一个元素都能在同一群组中找到一个“逆元”。

31
00:01:38,302 --> 00:01:42,253
当这两个相反的元素相加后，

32
00:01:42,253 --> 00:01:45,111
得到的结果是单位元（零）。

33
00:01:45,111 --> 00:01:48,843
所以可以说他们抵消对方。

34
00:01:48,843 --> 00:01:52,439
这就是四条针对群组的公理，可是意义在哪里呢？

35
00:01:52,439 --> 00:01:55,303
当我们越过这些四条基本的规则，

36
00:01:55,303 --> 00:01:57,842
一些有趣的现象就涌现了出来。

37
00:01:57,842 --> 00:02:03,041
举个例子，我们把方块拓展至一个标准的魔方。

38
00:02:03,041 --> 00:02:06,643
这是一个符合我们所有公理的“群”―—

39
00:02:06,643 --> 00:02:09,821
尽管我们现在有了相当多的元素，

40
00:02:09,821 --> 00:02:12,073
以及更多的操作选择。

41
00:02:12,073 --> 00:02:16,664
我们可以转动每一面的各行各列。

42
00:02:16,664 --> 00:02:19,035
每一种不同的情况叫做一种排列，

43
00:02:19,035 --> 00:02:23,596
当群中的元素越多，可能的排列就越多。

44
00:02:23,596 --> 00:02:28,222
一个魔方拥有超过43×10的21次幂种排列可能。

45
00:02:28,222 --> 00:02:32,450
所以尝试胡乱地解开它可行不通。

46
00:02:32,450 --> 00:02:35,864
然而，我们可以利用群论来分析魔方，

47
00:02:35,864 --> 00:02:41,004
然后尝试找出一组特定的排列最终来解开魔方。

48
00:02:41,004 --> 00:02:44,474
事实上，这正是大多数复原魔方的人所干的事，

49
00:02:44,474 --> 00:02:49,012
他们甚至用一种群论标记来记录转动的次数。

50
00:02:49,012 --> 00:02:51,601
群论不仅仅局限于解开谜题。

51
00:02:51,601 --> 00:02:56,575
群论也被深深地嵌入音乐中。

52
00:02:56,575 --> 00:03:00,977
把一个和弦可视化的方法之一是写出全部十二个音符，

53
00:03:00,977 --> 00:03:03,642
并使他们围成一圈。

54
00:03:03,642 --> 00:03:08,364
我们可以从任何一个音符开始，比如从最上边的C开始。

55
00:03:08,364 --> 00:03:12,605
所得到的和弦叫做“减七和弦”。

56
00:03:12,605 --> 00:03:17,193
这个和弦是一个由这四个音符元素组成的群。

57
00:03:17,193 --> 00:03:21,881
我们所能对其进行的操作是将最底部的音符放置到最顶端。

58
00:03:21,881 --> 00:03:24,357
在音乐中，我们称之为“转位”。

59
00:03:24,357 --> 00:03:27,247
这与我们之前所做的加法是等价的。

60
00:03:27,247 --> 00:03:30,169
每一个转位都改变了和弦的声音，

61
00:03:30,169 --> 00:03:33,899
但它一直是减七和弦。

62
00:03:33,899 --> 00:03:37,661
换句话说，它符合公理一。

63
00:03:37,661 --> 00:03:41,582
作曲家们用和弦转位来操作一个和弦序列，

64
00:03:41,582 --> 00:03:51,327
用于避免不匀称或是不和谐的和声。

65
00:03:51,327 --> 00:03:54,768
在乐谱上，和弦转位看起来是这样，

66
00:03:54,768 --> 00:03:59,986
但我们还可以将其覆盖在这些方块上。

67
00:03:59,986 --> 00:04:04,484
如果你将整个魔方都赋予音符，

68
00:04:04,484 --> 00:04:09,538
每一面复原后的魔方都是和声的和弦，

69
00:04:09,538 --> 00:04:13,098
将解魔方的步骤以“和声的进行”的形式表现出来，

70
00:04:13,098 --> 00:04:16,949
音色会逐渐地由不和谐转为悦耳。

71
00:04:16,949 --> 00:04:20,581
“演奏”魔方吧！如果你喜欢。