1 00:00:06,960 --> 00:00:09,600 你怎样玩魔方呢? 2 00:00:09,600 --> 00:00:13,226 我指的不是简单地摆弄它,而是像弹钢琴一样“演奏”它。 3 00:00:13,226 --> 00:00:15,911 这个问题起初看起来不符合常理, 4 00:00:15,911 --> 00:00:20,640 但在一个被称为“群论”的抽象数学领域中有这个问题的答案, 5 00:00:20,640 --> 00:00:22,609 容我好好解释—— 6 00:00:22,609 --> 00:00:26,719 在数学中,一个“群”指的是一些元素的特定集合。 7 00:00:26,719 --> 00:00:28,545 可能是一组整数, 8 00:00:28,545 --> 00:00:30,473 或是魔方的面, 9 00:00:30,473 --> 00:00:32,075 亦或是任何东西, 10 00:00:32,075 --> 00:00:36,571 只要他们符合特定的四条原则,或公理。 11 00:00:36,571 --> 00:00:38,059 公理一:封闭性。 12 00:00:38,059 --> 00:00:43,677 群的所有“动作”必须仅限于组内的元素。 13 00:00:43,677 --> 00:00:46,601 在图中的框里,你所做的任何操作, 14 00:00:46,601 --> 00:00:48,748 比如将其转向一个方向, 15 00:00:48,748 --> 00:00:52,031 得到的最终结果仍是组内的一个元素。 16 00:00:52,031 --> 00:00:53,196 公理二:结合律。 17 00:00:53,196 --> 00:00:57,996 当我们在对群做一个操作时,无论我们在哪里加括号, 18 00:00:57,996 --> 00:01:00,599 结果都不会变化。 19 00:01:00,599 --> 00:01:05,040 换种说法,如果我们把魔方的一个面向右转动两次,再向右转动一次, 20 00:01:05,040 --> 00:01:09,508 这和先向右转动一次再转动两次得到的结果是一样的。 21 00:01:09,508 --> 00:01:12,586 从数字上来说,就像一加二等于二加一。 22 00:01:12,586 --> 00:01:14,254 公理三:单位元。 23 00:01:14,254 --> 00:01:18,855 针对每一个操作,组中都有一个元素被称为“单位元”。 24 00:01:18,855 --> 00:01:21,290 当我们将其特征赋予组中任何一个元素, 25 00:01:21,290 --> 00:01:23,449 我们仍然得到原来的那个元素。 26 00:01:23,449 --> 00:01:26,857 针对于魔方的面和整数这两个组合, 27 00:01:26,857 --> 00:01:29,267 他们的单位元都是 0。 28 00:01:29,267 --> 00:01:31,777 听起来并不是挺令人激动。 29 00:01:31,777 --> 00:01:33,225 公理四:逆元。 30 00:01:33,225 --> 00:01:38,302 群组中的任何一个元素都能在同一群组中找到一个“逆元”。 31 00:01:38,302 --> 00:01:42,253 当这两个相反的元素相加后, 32 00:01:42,253 --> 00:01:45,111 得到的结果是单位元(零)。 33 00:01:45,111 --> 00:01:48,843 所以可以说他们抵消对方。 34 00:01:48,843 --> 00:01:52,439 这就是四条针对群组的公理,可是意义在哪里呢? 35 00:01:52,439 --> 00:01:55,303 当我们越过这些四条基本的规则, 36 00:01:55,303 --> 00:01:57,842 一些有趣的现象就涌现了出来。 37 00:01:57,842 --> 00:02:03,041 举个例子,我们把方块拓展至一个标准的魔方。 38 00:02:03,041 --> 00:02:06,643 这是一个符合我们所有公理的“群”―— 39 00:02:06,643 --> 00:02:09,821 尽管我们现在有了相当多的元素, 40 00:02:09,821 --> 00:02:12,073 以及更多的操作选择。 41 00:02:12,073 --> 00:02:16,664 我们可以转动每一面的各行各列。 42 00:02:16,664 --> 00:02:19,035 每一种不同的情况叫做一种排列, 43 00:02:19,035 --> 00:02:23,596 当群中的元素越多,可能的排列就越多。 44 00:02:23,596 --> 00:02:28,222 一个魔方拥有超过43×10的21次幂种排列可能。 45 00:02:28,222 --> 00:02:32,450 所以尝试胡乱地解开它可行不通。 46 00:02:32,450 --> 00:02:35,864 然而,我们可以利用群论来分析魔方, 47 00:02:35,864 --> 00:02:41,004 然后尝试找出一组特定的排列最终来解开魔方。 48 00:02:41,004 --> 00:02:44,474 事实上,这正是大多数复原魔方的人所干的事, 49 00:02:44,474 --> 00:02:49,012 他们甚至用一种群论标记来记录转动的次数。 50 00:02:49,012 --> 00:02:51,601 群论不仅仅局限于解开谜题。 51 00:02:51,601 --> 00:02:56,575 群论也被深深地嵌入音乐中。 52 00:02:56,575 --> 00:03:00,977 把一个和弦可视化的方法之一是写出全部十二个音符, 53 00:03:00,977 --> 00:03:03,642 并使他们围成一圈。 54 00:03:03,642 --> 00:03:08,364 我们可以从任何一个音符开始,比如从最上边的C开始。 55 00:03:08,364 --> 00:03:12,605 所得到的和弦叫做“减七和弦”。 56 00:03:12,605 --> 00:03:17,193 这个和弦是一个由这四个音符元素组成的群。 57 00:03:17,193 --> 00:03:21,881 我们所能对其进行的操作是将最底部的音符放置到最顶端。 58 00:03:21,881 --> 00:03:24,357 在音乐中,我们称之为“转位”。 59 00:03:24,357 --> 00:03:27,247 这与我们之前所做的加法是等价的。 60 00:03:27,247 --> 00:03:30,169 每一个转位都改变了和弦的声音, 61 00:03:30,169 --> 00:03:33,899 但它一直是减七和弦。 62 00:03:33,899 --> 00:03:37,661 换句话说,它符合公理一。 63 00:03:37,661 --> 00:03:41,582 作曲家们用和弦转位来操作一个和弦序列, 64 00:03:41,582 --> 00:03:51,327 用于避免不匀称或是不和谐的和声。 65 00:03:51,327 --> 00:03:54,768 在乐谱上,和弦转位看起来是这样, 66 00:03:54,768 --> 00:03:59,986 但我们还可以将其覆盖在这些方块上。 67 00:03:59,986 --> 00:04:04,484 如果你将整个魔方都赋予音符, 68 00:04:04,484 --> 00:04:09,538 每一面复原后的魔方都是和声的和弦, 69 00:04:09,538 --> 00:04:13,098 将解魔方的步骤以“和声的进行”的形式表现出来, 70 00:04:13,098 --> 00:04:16,949 音色会逐渐地由不和谐转为悦耳。 71 00:04:16,949 --> 00:04:20,581 “演奏”魔方吧!如果你喜欢。