WEBVTT

00:00:06.960 --> 00:00:09.600
你怎样玩魔方呢？

00:00:09.600 --> 00:00:13.226
我指的不是简单地摆弄它，而是像弹钢琴一样“演奏”它。

00:00:13.226 --> 00:00:15.911
这个问题起初看起来不符合常理，

00:00:15.911 --> 00:00:20.640
但在一个被称为“群论”的抽象数学领域中有这个问题的答案，

00:00:20.640 --> 00:00:22.609
容我好好解释——

00:00:22.609 --> 00:00:26.719
在数学中，一个“群”指的是一些元素的特定集合。

00:00:26.719 --> 00:00:28.545
可能是一组整数，

00:00:28.545 --> 00:00:30.473
或是魔方的面，

00:00:30.473 --> 00:00:32.075
亦或是任何东西，

00:00:32.075 --> 00:00:36.571
只要他们符合特定的四条原则，或公理。

00:00:36.571 --> 00:00:38.059
公理一：封闭性。

00:00:38.059 --> 00:00:43.677
群的所有“动作”必须仅限于组内的元素。

00:00:43.677 --> 00:00:46.601
在图中的框里，你所做的任何操作，

00:00:46.601 --> 00:00:48.748
比如将其转向一个方向，

00:00:48.748 --> 00:00:52.031
得到的最终结果仍是组内的一个元素。

00:00:52.031 --> 00:00:53.196
公理二：结合律。

00:00:53.196 --> 00:00:57.996
当我们在对群做一个操作时，无论我们在哪里加括号，

00:00:57.996 --> 00:01:00.599
结果都不会变化。

00:01:00.599 --> 00:01:05.040
换种说法，如果我们把魔方的一个面向右转动两次，再向右转动一次，

00:01:05.040 --> 00:01:09.508
这和先向右转动一次再转动两次得到的结果是一样的。

00:01:09.508 --> 00:01:12.586
从数字上来说，就像一加二等于二加一。

00:01:12.586 --> 00:01:14.254
公理三：单位元。

00:01:14.254 --> 00:01:18.855
针对每一个操作，组中都有一个元素被称为“单位元”。

00:01:18.855 --> 00:01:21.290
当我们将其特征赋予组中任何一个元素，

00:01:21.290 --> 00:01:23.449
我们仍然得到原来的那个元素。

00:01:23.449 --> 00:01:26.857
针对于魔方的面和整数这两个组合，

00:01:26.857 --> 00:01:29.267
他们的单位元都是 0。

00:01:29.267 --> 00:01:31.777
听起来并不是挺令人激动。

00:01:31.777 --> 00:01:33.225
公理四：逆元。

00:01:33.225 --> 00:01:38.302
群组中的任何一个元素都能在同一群组中找到一个“逆元”。

00:01:38.302 --> 00:01:42.253
当这两个相反的元素相加后，

00:01:42.253 --> 00:01:45.111
得到的结果是单位元（零）。

00:01:45.111 --> 00:01:48.843
所以可以说他们抵消对方。

00:01:48.843 --> 00:01:52.439
这就是四条针对群组的公理，可是意义在哪里呢？

00:01:52.439 --> 00:01:55.303
当我们越过这些四条基本的规则，

00:01:55.303 --> 00:01:57.842
一些有趣的现象就涌现了出来。

00:01:57.842 --> 00:02:03.041
举个例子，我们把方块拓展至一个标准的魔方。

00:02:03.041 --> 00:02:06.643
这是一个符合我们所有公理的“群”―—

00:02:06.643 --> 00:02:09.821
尽管我们现在有了相当多的元素，

00:02:09.821 --> 00:02:12.073
以及更多的操作选择。

00:02:12.073 --> 00:02:16.664
我们可以转动每一面的各行各列。

00:02:16.664 --> 00:02:19.035
每一种不同的情况叫做一种排列，

00:02:19.035 --> 00:02:23.596
当群中的元素越多，可能的排列就越多。

00:02:23.596 --> 00:02:28.222
一个魔方拥有超过43×10的21次幂种排列可能。

00:02:28.222 --> 00:02:32.450
所以尝试胡乱地解开它可行不通。

00:02:32.450 --> 00:02:35.864
然而，我们可以利用群论来分析魔方，

00:02:35.864 --> 00:02:41.004
然后尝试找出一组特定的排列最终来解开魔方。

00:02:41.004 --> 00:02:44.474
事实上，这正是大多数复原魔方的人所干的事，

00:02:44.474 --> 00:02:49.012
他们甚至用一种群论标记来记录转动的次数。

00:02:49.012 --> 00:02:51.601
群论不仅仅局限于解开谜题。

00:02:51.601 --> 00:02:56.575
群论也被深深地嵌入音乐中。

00:02:56.575 --> 00:03:00.977
把一个和弦可视化的方法之一是写出全部十二个音符，

00:03:00.977 --> 00:03:03.642
并使他们围成一圈。

00:03:03.642 --> 00:03:08.364
我们可以从任何一个音符开始，比如从最上边的C开始。

00:03:08.364 --> 00:03:12.605
所得到的和弦叫做“减七和弦”。

00:03:12.605 --> 00:03:17.193
这个和弦是一个由这四个音符元素组成的群。

00:03:17.193 --> 00:03:21.881
我们所能对其进行的操作是将最底部的音符放置到最顶端。

00:03:21.881 --> 00:03:24.357
在音乐中，我们称之为“转位”。

00:03:24.357 --> 00:03:27.247
这与我们之前所做的加法是等价的。

00:03:27.247 --> 00:03:30.169
每一个转位都改变了和弦的声音，

00:03:30.169 --> 00:03:33.899
但它一直是减七和弦。

00:03:33.899 --> 00:03:37.661
换句话说，它符合公理一。

00:03:37.661 --> 00:03:41.582
作曲家们用和弦转位来操作一个和弦序列，

00:03:41.582 --> 00:03:51.327
用于避免不匀称或是不和谐的和声。

00:03:51.327 --> 00:03:54.768
在乐谱上，和弦转位看起来是这样，

00:03:54.768 --> 00:03:59.986
但我们还可以将其覆盖在这些方块上。

00:03:59.986 --> 00:04:04.484
如果你将整个魔方都赋予音符，

00:04:04.484 --> 00:04:09.538
每一面复原后的魔方都是和声的和弦，

00:04:09.538 --> 00:04:13.098
将解魔方的步骤以“和声的进行”的形式表现出来，

00:04:13.098 --> 00:04:16.949
音色会逐渐地由不和谐转为悦耳。

00:04:16.949 --> 00:04:20.581
“演奏”魔方吧！如果你喜欢。