0:00:06.960,0:00:09.600
你怎样玩魔方呢？

0:00:09.600,0:00:13.226
我指的不是简单地摆弄它，而是像弹钢琴一样“演奏”它。

0:00:13.226,0:00:15.911
这个问题起初看起来不符合常理，

0:00:15.911,0:00:20.640
但在一个被称为“群论”的抽象数学领域中有这个问题的答案，

0:00:20.640,0:00:22.609
容我好好解释——

0:00:22.609,0:00:26.719
在数学中，一个“群”指的是一些元素的特定集合。

0:00:26.719,0:00:28.545
可能是一组整数，

0:00:28.545,0:00:30.473
或是魔方的面，

0:00:30.473,0:00:32.075
亦或是任何东西，

0:00:32.075,0:00:36.571
只要他们符合特定的四条原则，或公理。

0:00:36.571,0:00:38.059
公理一：封闭性。

0:00:38.059,0:00:43.677
群的所有“动作”必须仅限于组内的元素。

0:00:43.677,0:00:46.601
在图中的框里，你所做的任何操作，

0:00:46.601,0:00:48.748
比如将其转向一个方向，

0:00:48.748,0:00:52.031
得到的最终结果仍是组内的一个元素。

0:00:52.031,0:00:53.196
公理二：结合律。

0:00:53.196,0:00:57.996
当我们在对群做一个操作时，无论我们在哪里加括号，

0:00:57.996,0:01:00.599
结果都不会变化。

0:01:00.599,0:01:05.040
换种说法，如果我们把魔方的一个面向右转动两次，再向右转动一次，

0:01:05.040,0:01:09.508
这和先向右转动一次再转动两次得到的结果是一样的。

0:01:09.508,0:01:12.586
从数字上来说，就像一加二等于二加一。

0:01:12.586,0:01:14.254
公理三：单位元。

0:01:14.254,0:01:18.855
针对每一个操作，组中都有一个元素被称为“单位元”。

0:01:18.855,0:01:21.290
当我们将其特征赋予组中任何一个元素，

0:01:21.290,0:01:23.449
我们仍然得到原来的那个元素。

0:01:23.449,0:01:26.857
针对于魔方的面和整数这两个组合，

0:01:26.857,0:01:29.267
他们的单位元都是 0。

0:01:29.267,0:01:31.777
听起来并不是挺令人激动。

0:01:31.777,0:01:33.225
公理四：逆元。

0:01:33.225,0:01:38.302
群组中的任何一个元素都能在同一群组中找到一个“逆元”。

0:01:38.302,0:01:42.253
当这两个相反的元素相加后，

0:01:42.253,0:01:45.111
得到的结果是单位元（零）。

0:01:45.111,0:01:48.843
所以可以说他们抵消对方。

0:01:48.843,0:01:52.439
这就是四条针对群组的公理，可是意义在哪里呢？

0:01:52.439,0:01:55.303
当我们越过这些四条基本的规则，

0:01:55.303,0:01:57.842
一些有趣的现象就涌现了出来。

0:01:57.842,0:02:03.041
举个例子，我们把方块拓展至一个标准的魔方。

0:02:03.041,0:02:06.643
这是一个符合我们所有公理的“群”―—

0:02:06.643,0:02:09.821
尽管我们现在有了相当多的元素，

0:02:09.821,0:02:12.073
以及更多的操作选择。

0:02:12.073,0:02:16.664
我们可以转动每一面的各行各列。

0:02:16.664,0:02:19.035
每一种不同的情况叫做一种排列，

0:02:19.035,0:02:23.596
当群中的元素越多，可能的排列就越多。

0:02:23.596,0:02:28.222
一个魔方拥有超过43×10的21次幂种排列可能。

0:02:28.222,0:02:32.450
所以尝试胡乱地解开它可行不通。

0:02:32.450,0:02:35.864
然而，我们可以利用群论来分析魔方，

0:02:35.864,0:02:41.004
然后尝试找出一组特定的排列最终来解开魔方。

0:02:41.004,0:02:44.474
事实上，这正是大多数复原魔方的人所干的事，

0:02:44.474,0:02:49.012
他们甚至用一种群论标记来记录转动的次数。

0:02:49.012,0:02:51.601
群论不仅仅局限于解开谜题。

0:02:51.601,0:02:56.575
群论也被深深地嵌入音乐中。

0:02:56.575,0:03:00.977
把一个和弦可视化的方法之一是写出全部十二个音符，

0:03:00.977,0:03:03.642
并使他们围成一圈。

0:03:03.642,0:03:08.364
我们可以从任何一个音符开始，比如从最上边的C开始。

0:03:08.364,0:03:12.605
所得到的和弦叫做“减七和弦”。

0:03:12.605,0:03:17.193
这个和弦是一个由这四个音符元素组成的群。

0:03:17.193,0:03:21.881
我们所能对其进行的操作是将最底部的音符放置到最顶端。

0:03:21.881,0:03:24.357
在音乐中，我们称之为“转位”。

0:03:24.357,0:03:27.247
这与我们之前所做的加法是等价的。

0:03:27.247,0:03:30.169
每一个转位都改变了和弦的声音，

0:03:30.169,0:03:33.899
但它一直是减七和弦。

0:03:33.899,0:03:37.661
换句话说，它符合公理一。

0:03:37.661,0:03:41.582
作曲家们用和弦转位来操作一个和弦序列，

0:03:41.582,0:03:51.327
用于避免不匀称或是不和谐的和声。

0:03:51.327,0:03:54.768
在乐谱上，和弦转位看起来是这样，

0:03:54.768,0:03:59.986
但我们还可以将其覆盖在这些方块上。

0:03:59.986,0:04:04.484
如果你将整个魔方都赋予音符，

0:04:04.484,0:04:09.538
每一面复原后的魔方都是和声的和弦，

0:04:09.538,0:04:13.098
将解魔方的步骤以“和声的进行”的形式表现出来，

0:04:13.098,0:04:16.949
音色会逐渐地由不和谐转为悦耳。

0:04:16.949,0:04:20.581
“演奏”魔方吧！如果你喜欢。