你怎样玩魔方呢? 我指的不是简单地摆弄它,而是像弹钢琴一样“演奏”它。 这个问题起初看起来不符合常理, 但在一个被称为“群论”的抽象数学领域中有这个问题的答案, 容我好好解释—— 在数学中,一个“群”指的是一些元素的特定集合。 可能是一组整数, 或是魔方的面, 亦或是任何东西, 只要他们符合特定的四条原则,或公理。 公理一:封闭性。 群的所有“动作”必须仅限于组内的元素。 在图中的框里,你所做的任何操作, 比如将其转向一个方向, 得到的最终结果仍是组内的一个元素。 公理二:结合律。 当我们在对群做一个操作时,无论我们在哪里加括号, 结果都不会变化。 换种说法,如果我们把魔方的一个面向右转动两次,再向右转动一次, 这和先向右转动一次再转动两次得到的结果是一样的。 从数字上来说,就像一加二等于二加一。 公理三:单位元。 针对每一个操作,组中都有一个元素被称为“单位元”。 当我们将其特征赋予组中任何一个元素, 我们仍然得到原来的那个元素。 针对于魔方的面和整数这两个组合, 他们的单位元都是 0。 听起来并不是挺令人激动。 公理四:逆元。 群组中的任何一个元素都能在同一群组中找到一个“逆元”。 当这两个相反的元素相加后, 得到的结果是单位元(零)。 所以可以说他们抵消对方。 这就是四条针对群组的公理,可是意义在哪里呢? 当我们越过这些四条基本的规则, 一些有趣的现象就涌现了出来。 举个例子,我们把方块拓展至一个标准的魔方。 这是一个符合我们所有公理的“群”―— 尽管我们现在有了相当多的元素, 以及更多的操作选择。 我们可以转动每一面的各行各列。 每一种不同的情况叫做一种排列, 当群中的元素越多,可能的排列就越多。 一个魔方拥有超过43×10的21次幂种排列可能。 所以尝试胡乱地解开它可行不通。 然而,我们可以利用群论来分析魔方, 然后尝试找出一组特定的排列最终来解开魔方。 事实上,这正是大多数复原魔方的人所干的事, 他们甚至用一种群论标记来记录转动的次数。 群论不仅仅局限于解开谜题。 群论也被深深地嵌入音乐中。 把一个和弦可视化的方法之一是写出全部十二个音符, 并使他们围成一圈。 我们可以从任何一个音符开始,比如从最上边的C开始。 所得到的和弦叫做“减七和弦”。 这个和弦是一个由这四个音符元素组成的群。 我们所能对其进行的操作是将最底部的音符放置到最顶端。 在音乐中,我们称之为“转位”。 这与我们之前所做的加法是等价的。 每一个转位都改变了和弦的声音, 但它一直是减七和弦。 换句话说,它符合公理一。 作曲家们用和弦转位来操作一个和弦序列, 用于避免不匀称或是不和谐的和声。 在乐谱上,和弦转位看起来是这样, 但我们还可以将其覆盖在这些方块上。 如果你将整个魔方都赋予音符, 每一面复原后的魔方都是和声的和弦, 将解魔方的步骤以“和声的进行”的形式表现出来, 音色会逐渐地由不和谐转为悦耳。 “演奏”魔方吧!如果你喜欢。