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Então, me pediram para fazer
a prova da derivada da raiz
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quadrada de x, então
pensei em fazer um vídeo
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rápido para provar a derivada
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da raiz quadrada de x.
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Então, sabemos da definição
de uma derivada que a
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derivada da função
raiz quadrada de x,
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que é igual ao
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limite com delta
x tendendo a 0.
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Algumas pessoas
dizem h se aproxima de 0,
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ou d se aproxima de 0.
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Eu só uso o delta x.
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Assim, a variação em x sobre 0.
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E então dizemos f de x
mais delta x, portanto,
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neste caso é f de x.
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Portanto, é a raiz quadrada de x
mais delta x menos f de x,
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que neste caso é
raiz quadrada de x.
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Tudo isso sobre a variação
em x, sobre o delta x.
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Agora quando eu
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olho para isso,
não há muita simplificação que eu
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posso fazer para tornar
isso algo significativo.
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Eu vou multiplicar o
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numerador e o denominador pelo
conjugado do
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numerador é o que quero
dizer com isso.
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Deixe-me reescrevê-lo.
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Limite é delta x tendendo a zero
Só estou reescrevendo
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o que eu tenho aqui.
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Então disse a raiz quadrada
de x mais delta x menos
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raiz quadrada de x.
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Tudo isso sobre delta x.
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E vou multiplicar
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pela raiz quadrada de x mais
delta x mais a raiz quadrada de
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x, sobre a raiz quadrada de x
mais delta x mais a
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raiz quadrada de x.
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Este é apenas um, e claro que posso
multiplicar outros fatores.
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Vamos supor que x e delta x
não são ambos 0, isto é um
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número definido e
este será 1.
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E podemos fazer isso.
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Este é 1/1, apenas
multiplicamos ele vezes esta
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equação, e temos limite
com delta x tendendo a 0.
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Este é um menos b
vezes a mais b.
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Deixe-me fazer pouco de lado aqui.
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a mais b vezes a menos b é igual a ao
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quadrado menos b ao quadrado.
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Portanto, isso é a mais b
vezes a menos b.
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Vai ser igual a ao quadrado.
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Então, qual é essa quantidade ao quadrado
ou essa quantidade ao quadrado,
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tanto faz, são meus a´s.
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Bom isso vai ser
x mais delta x.
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Então, nós temos x mais delta x.
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E então o que é b ao quadrado?
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Então raiz quadrada de menos
x é b nesta analogia.
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Então raiz quadrada de x
quadrado é apenas x.
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E todos sobre delta x
vezes raiz quadrada de x
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mais delta x mais
raiz quadrada de x.
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Vejamos qual
simplificação dá pra fazer.
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Bem, temos um x e
em seguida, a menos x, então aqueles
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se cancelam. x menos x.
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E então ficamos no
numerador e no denominador,
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tudo o que temos é um delta x aqui
e um delta x aqui, então vamos
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dividir o numerador e o
denominador por delta x.
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Portanto, esta vai para 1,
este vai para 1.
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E assim, isso é igual ao limite--
Eu vou escrever menor, porque estou
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ficando sem espaço-- como
delta x tende a 0 sobre 1.
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E, claro, só podemos
assumir que delta--
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bem, estamos dividindo
por delta x para começar,
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sabemos que não é 0, é só
tendendo a zero.
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Então, nós temos raiz quadrada
de x mais delta x mais
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a raiz quadrada de x.
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E agora podemos pegar
diretamente o limite
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conforme se aproxima 0.
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Podemos definir delta
x igual a 0.
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Isso é o que está se aproximando.
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Então igual a um
sobre a raiz quadrada de x.
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Certo, delta x é 0, portanto
podemos ignorar isso.
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Poderíamos pegar o limite
todo o caminho até 0.
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E então este é, claro, apenas
a raiz quadrada de x aqui mais
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a raiz quadrada de x,
e que é igual a 1 sobre
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2 raiz quadrada de x.
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E isso é igual a 1/2x
ao negativo 1/2.
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Então, apenas provamos que x
elevado a 1/2, a derivada dele
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é 1/2x elevado a menos 1/2,
e por isso é consistente com
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a propriedade geral de que a
derivada
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de x elevado a n é igual a nx elevado a
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n menos 1, mesmo neste caso
onde o n era 1/2.
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Bem espero que
isso seja gratificante.
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Eu não provei para todas
as frações, mas este é um começo.
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Esta é uma pergunta comum,
a raiz quadrada de x, e
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não é complicado demais
para fazer a prova.
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Vejo você nos próximos vídeos.
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[Legendado por: Soraia Novaes]
[Revisado por: Tatiana F. D'Addio]
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