0:00:00.000,0:00:04.090
Então, me pediram para fazer[br]a prova da derivada da raiz

0:00:04.090,0:00:06.300
quadrada de x, então[br]pensei em fazer um vídeo

0:00:06.300,0:00:08.300
rápido para provar a derivada

0:00:08.300,0:00:10.370
da raiz quadrada de x.

0:00:10.370,0:00:13.680
Então, sabemos da definição[br]de uma derivada que a

0:00:13.680,0:00:22.280
derivada da função[br]raiz quadrada de x,

0:00:22.280,0:00:26.520
que é igual ao

0:00:26.520,0:00:33.080
limite com delta[br]x tendendo a 0.

0:00:33.080,0:00:35.335
Algumas pessoas[br]dizem h se aproxima de 0,

0:00:35.335,0:00:36.670
ou d se aproxima de 0.

0:00:36.670,0:00:37.860
Eu só uso o delta x.

0:00:37.860,0:00:39.450
Assim, a variação em x sobre 0.

0:00:39.450,0:00:41.830
E então dizemos f de x[br]mais delta x, portanto,

0:00:41.830,0:00:43.450
neste caso é f de x.

0:00:43.450,0:00:52.260
Portanto, é a raiz quadrada de x[br]mais delta x menos f de x,

0:00:52.260,0:00:54.640
que neste caso é[br]raiz quadrada de x.

0:00:54.640,0:00:57.140
Tudo isso sobre a variação[br]em x, sobre o delta x.

0:00:57.140,0:01:00.040
Agora quando eu

0:01:00.040,0:01:02.580
olho para isso,[br]não há muita simplificação que eu

0:01:02.580,0:01:04.945
posso fazer para tornar [br]isso algo significativo.

0:01:04.945,0:01:09.940
Eu vou multiplicar o

0:01:09.940,0:01:12.540
numerador e o denominador pelo[br]conjugado do

0:01:12.540,0:01:14.550
numerador é o que quero[br]dizer com isso.

0:01:14.550,0:01:16.050
Deixe-me reescrevê-lo.

0:01:16.050,0:01:19.740
Limite é delta x tendendo a zero[br]Só estou reescrevendo

0:01:19.740,0:01:21.280
o que eu tenho aqui.

0:01:21.280,0:01:26.650
Então disse a raiz quadrada[br]de x mais delta x menos

0:01:26.650,0:01:28.610
raiz quadrada de x.

0:01:28.610,0:01:31.200
Tudo isso sobre delta x.

0:01:31.200,0:01:34.490
E vou multiplicar

0:01:34.490,0:01:41.840
pela raiz quadrada de x mais[br]delta x mais a raiz quadrada de

0:01:41.840,0:01:48.260
x, sobre a raiz quadrada de x[br]mais delta x mais a

0:01:48.260,0:01:49.250
raiz quadrada de x.

0:01:49.250,0:01:53.420
Este é apenas um, e claro que posso[br]multiplicar outros fatores.

0:01:53.420,0:01:57.110
Vamos supor que x e delta x[br]não são ambos 0, isto é um

0:01:57.110,0:01:58.690
número definido e[br]este será 1.

0:01:58.700,0:02:00.010
E podemos fazer isso.

0:02:00.010,0:02:02.500
Este é 1/1, apenas[br]multiplicamos ele vezes esta

0:02:02.500,0:02:10.900
equação, e temos limite[br]com delta x tendendo a 0.

0:02:10.900,0:02:13.510
Este é um menos b[br]vezes a mais b.

0:02:13.510,0:02:15.360
Deixe-me fazer pouco de lado aqui.

0:02:15.360,0:02:20.880
a mais b vezes a menos b é igual a ao

0:02:20.880,0:02:23.150
quadrado menos b ao quadrado.

0:02:23.150,0:02:26.600
Portanto, isso é a mais b[br]vezes a menos b.

0:02:26.600,0:02:28.550
Vai ser igual a ao quadrado.

0:02:28.550,0:02:32.016
Então, qual é essa quantidade ao quadrado[br]ou essa quantidade ao quadrado,

0:02:32.016,0:02:33.780
tanto faz, são meus a´s.

0:02:33.780,0:02:35.380
Bom isso vai ser[br]x mais delta x.

0:02:35.380,0:02:39.430
Então, nós temos x mais delta x.

0:02:39.430,0:02:41.050
E então o que é b ao quadrado?

0:02:41.050,0:02:46.380
Então raiz quadrada de menos[br]x é b nesta analogia.

0:02:46.380,0:02:50.640
Então raiz quadrada de x[br]quadrado é apenas x.

0:02:50.640,0:02:56.760
E todos sobre delta x[br]vezes raiz quadrada de x

0:02:56.760,0:03:03.980
mais delta x mais [br]raiz quadrada de x.

0:03:03.980,0:03:05.900
Vejamos qual [br]simplificação dá pra fazer.

0:03:05.900,0:03:08.580
Bem, temos um x e[br]em seguida, a menos x, então aqueles

0:03:08.580,0:03:10.130
se cancelam. x menos x.

0:03:10.130,0:03:13.460
E então ficamos no[br]numerador e no denominador,

0:03:13.460,0:03:16.510
tudo o que temos é um delta x aqui[br]e um delta x aqui, então vamos

0:03:16.510,0:03:18.770
dividir o numerador e o[br]denominador por delta x.

0:03:18.770,0:03:22.822
Portanto, esta vai para 1,[br]este vai para 1.

0:03:22.822,0:03:26.350
E assim, isso é igual ao limite--[br]Eu vou escrever menor, porque estou

0:03:26.350,0:03:34.920
ficando sem espaço-- como[br]delta x tende a 0 sobre 1.

0:03:34.920,0:03:37.780
E, claro, só podemos [br]assumir que delta--

0:03:37.780,0:03:40.220
bem, estamos dividindo [br]por delta x para começar,

0:03:40.220,0:03:42.420
sabemos que não é 0, é só[br]tendendo a zero.

0:03:42.420,0:03:49.870
Então, nós temos raiz quadrada[br]de x mais delta x mais

0:03:49.870,0:03:51.080
a raiz quadrada de x.

0:03:51.080,0:03:53.250
E agora podemos pegar[br]diretamente o limite

0:03:53.250,0:03:54.410
conforme se aproxima 0.

0:03:54.410,0:03:56.440
Podemos definir delta[br]x igual a 0.

0:03:56.440,0:03:58.140
Isso é o que está se aproximando.

0:03:58.140,0:04:04.260
Então igual a um[br]sobre a raiz quadrada de x.

0:04:04.260,0:04:06.790
Certo, delta x é 0, portanto[br]podemos ignorar isso.

0:04:06.790,0:04:09.120
Poderíamos pegar o limite[br]todo o caminho até 0.

0:04:09.120,0:04:13.000
E então este é, claro, apenas[br]a raiz quadrada de x aqui mais

0:04:13.000,0:04:17.160
a raiz quadrada de x,[br]e que é igual a 1 sobre

0:04:17.160,0:04:19.350
2 raiz quadrada de x.

0:04:19.350,0:04:24.890
E isso é igual a 1/2x[br]ao negativo 1/2.

0:04:24.890,0:04:28.900
Então, apenas provamos que x[br]elevado a 1/2, a derivada dele

0:04:28.900,0:04:35.220
é 1/2x elevado a menos 1/2,[br]e por isso é consistente com

0:04:35.220,0:04:41.700
a propriedade geral de que a[br]derivada

0:04:41.700,0:04:50.100
de x elevado a n é igual a nx elevado a

0:04:50.100,0:04:54.220
n menos 1, mesmo neste caso[br]onde o n era 1/2.

0:04:54.220,0:04:56.100
Bem espero que[br]isso seja gratificante.

0:04:56.100,0:04:58.960
Eu não provei para todas[br]as frações, mas este é um começo.

0:04:58.960,0:05:01.360
Esta é uma pergunta comum, [br]a raiz quadrada de x, e

0:05:01.360,0:05:03.770
não é complicado demais[br]para fazer a prova.

0:05:03.770,0:05:05.503
Vejo você nos próximos vídeos.

0:05:05.503,0:05:07.776
[Legendado por: Soraia Novaes][br][Revisado por: Tatiana F. D'Addio]