WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.090
Então, me pediram para fazer
a prova da derivada da raiz

00:00:04.090 --> 00:00:06.300
quadrada de x, então
pensei em fazer um vídeo

00:00:06.300 --> 00:00:08.300
rápido para provar a derivada

00:00:08.300 --> 00:00:10.370
da raiz quadrada de x.

00:00:10.370 --> 00:00:13.680
Então, sabemos da definição
de uma derivada que a

00:00:13.680 --> 00:00:22.280
derivada da função
raiz quadrada de x,

00:00:22.280 --> 00:00:26.520
que é igual ao

00:00:26.520 --> 00:00:33.080
limite com delta
x tendendo a 0.

00:00:33.080 --> 00:00:35.335
Algumas pessoas
dizem h se aproxima de 0,

00:00:35.335 --> 00:00:36.670
ou d se aproxima de 0.

00:00:36.670 --> 00:00:37.860
Eu só uso o delta x.

00:00:37.860 --> 00:00:39.450
Assim, a variação em x sobre 0.

00:00:39.450 --> 00:00:41.830
E então dizemos f de x
mais delta x, portanto,

00:00:41.830 --> 00:00:43.450
neste caso é f de x.

00:00:43.450 --> 00:00:52.260
Portanto, é a raiz quadrada de x
mais delta x menos f de x,

00:00:52.260 --> 00:00:54.640
que neste caso é
raiz quadrada de x.

00:00:54.640 --> 00:00:57.140
Tudo isso sobre a variação
em x, sobre o delta x.

00:00:57.140 --> 00:01:00.040
Agora quando eu

00:01:00.040 --> 00:01:02.580
olho para isso,
não há muita simplificação que eu

00:01:02.580 --> 00:01:04.945
posso fazer para tornar 
isso algo significativo.

00:01:04.945 --> 00:01:09.940
Eu vou multiplicar o

00:01:09.940 --> 00:01:12.540
numerador e o denominador pelo
conjugado do

00:01:12.540 --> 00:01:14.550
numerador é o que quero
dizer com isso.

00:01:14.550 --> 00:01:16.050
Deixe-me reescrevê-lo.

00:01:16.050 --> 00:01:19.740
Limite é delta x tendendo a zero
Só estou reescrevendo

00:01:19.740 --> 00:01:21.280
o que eu tenho aqui.

00:01:21.280 --> 00:01:26.650
Então disse a raiz quadrada
de x mais delta x menos

00:01:26.650 --> 00:01:28.610
raiz quadrada de x.

00:01:28.610 --> 00:01:31.200
Tudo isso sobre delta x.

00:01:31.200 --> 00:01:34.490
E vou multiplicar

00:01:34.490 --> 00:01:41.840
pela raiz quadrada de x mais
delta x mais a raiz quadrada de

00:01:41.840 --> 00:01:48.260
x, sobre a raiz quadrada de x
mais delta x mais a

00:01:48.260 --> 00:01:49.250
raiz quadrada de x.

00:01:49.250 --> 00:01:53.420
Este é apenas um, e claro que posso
multiplicar outros fatores.

00:01:53.420 --> 00:01:57.110
Vamos supor que x e delta x
não são ambos 0, isto é um

00:01:57.110 --> 00:01:58.690
número definido e
este será 1.

00:01:58.700 --> 00:02:00.010
E podemos fazer isso.

00:02:00.010 --> 00:02:02.500
Este é 1/1, apenas
multiplicamos ele vezes esta

00:02:02.500 --> 00:02:10.900
equação, e temos limite
com delta x tendendo a 0.

00:02:10.900 --> 00:02:13.510
Este é um menos b
vezes a mais b.

00:02:13.510 --> 00:02:15.360
Deixe-me fazer pouco de lado aqui.

00:02:15.360 --> 00:02:20.880
a mais b vezes a menos b é igual a ao

00:02:20.880 --> 00:02:23.150
quadrado menos b ao quadrado.

00:02:23.150 --> 00:02:26.600
Portanto, isso é a mais b
vezes a menos b.

00:02:26.600 --> 00:02:28.550
Vai ser igual a ao quadrado.

00:02:28.550 --> 00:02:32.016
Então, qual é essa quantidade ao quadrado
ou essa quantidade ao quadrado,

00:02:32.016 --> 00:02:33.780
tanto faz, são meus a´s.

00:02:33.780 --> 00:02:35.380
Bom isso vai ser
x mais delta x.

00:02:35.380 --> 00:02:39.430
Então, nós temos x mais delta x.

00:02:39.430 --> 00:02:41.050
E então o que é b ao quadrado?

00:02:41.050 --> 00:02:46.380
Então raiz quadrada de menos
x é b nesta analogia.

00:02:46.380 --> 00:02:50.640
Então raiz quadrada de x
quadrado é apenas x.

00:02:50.640 --> 00:02:56.760
E todos sobre delta x
vezes raiz quadrada de x

00:02:56.760 --> 00:03:03.980
mais delta x mais 
raiz quadrada de x.

00:03:03.980 --> 00:03:05.900
Vejamos qual 
simplificação dá pra fazer.

00:03:05.900 --> 00:03:08.580
Bem, temos um x e
em seguida, a menos x, então aqueles

00:03:08.580 --> 00:03:10.130
se cancelam. x menos x.

00:03:10.130 --> 00:03:13.460
E então ficamos no
numerador e no denominador,

00:03:13.460 --> 00:03:16.510
tudo o que temos é um delta x aqui
e um delta x aqui, então vamos

00:03:16.510 --> 00:03:18.770
dividir o numerador e o
denominador por delta x.

00:03:18.770 --> 00:03:22.822
Portanto, esta vai para 1,
este vai para 1.

00:03:22.822 --> 00:03:26.350
E assim, isso é igual ao limite--
Eu vou escrever menor, porque estou

00:03:26.350 --> 00:03:34.920
ficando sem espaço-- como
delta x tende a 0 sobre 1.

00:03:34.920 --> 00:03:37.780
E, claro, só podemos 
assumir que delta--

00:03:37.780 --> 00:03:40.220
bem, estamos dividindo 
por delta x para começar,

00:03:40.220 --> 00:03:42.420
sabemos que não é 0, é só
tendendo a zero.

00:03:42.420 --> 00:03:49.870
Então, nós temos raiz quadrada
de x mais delta x mais

00:03:49.870 --> 00:03:51.080
a raiz quadrada de x.

00:03:51.080 --> 00:03:53.250
E agora podemos pegar
diretamente o limite

00:03:53.250 --> 00:03:54.410
conforme se aproxima 0.

00:03:54.410 --> 00:03:56.440
Podemos definir delta
x igual a 0.

00:03:56.440 --> 00:03:58.140
Isso é o que está se aproximando.

00:03:58.140 --> 00:04:04.260
Então igual a um
sobre a raiz quadrada de x.

00:04:04.260 --> 00:04:06.790
Certo, delta x é 0, portanto
podemos ignorar isso.

00:04:06.790 --> 00:04:09.120
Poderíamos pegar o limite
todo o caminho até 0.

00:04:09.120 --> 00:04:13.000
E então este é, claro, apenas
a raiz quadrada de x aqui mais

00:04:13.000 --> 00:04:17.160
a raiz quadrada de x,
e que é igual a 1 sobre

00:04:17.160 --> 00:04:19.350
2 raiz quadrada de x.

00:04:19.350 --> 00:04:24.890
E isso é igual a 1/2x
ao negativo 1/2.

00:04:24.890 --> 00:04:28.900
Então, apenas provamos que x
elevado a 1/2, a derivada dele

00:04:28.900 --> 00:04:35.220
é 1/2x elevado a menos 1/2,
e por isso é consistente com

00:04:35.220 --> 00:04:41.700
a propriedade geral de que a
derivada

00:04:41.700 --> 00:04:50.100
de x elevado a n é igual a nx elevado a

00:04:50.100 --> 00:04:54.220
n menos 1, mesmo neste caso
onde o n era 1/2.

00:04:54.220 --> 00:04:56.100
Bem espero que
isso seja gratificante.

00:04:56.100 --> 00:04:58.960
Eu não provei para todas
as frações, mas este é um começo.

00:04:58.960 --> 00:05:01.360
Esta é uma pergunta comum, 
a raiz quadrada de x, e

00:05:01.360 --> 00:05:03.770
não é complicado demais
para fazer a prova.

00:05:03.770 --> 00:05:05.503
Vejo você nos próximos vídeos.

00:05:05.503 --> 00:05:07.776
[Legendado por: Soraia Novaes]
[Revisado por: Tatiana F. D'Addio]