Então, me pediram para fazer a prova da derivada da raiz quadrada de x, então pensei em fazer um vídeo rápido para provar a derivada da raiz quadrada de x. Então, sabemos da definição de uma derivada que a derivada da função raiz quadrada de x, que é igual ao limite com delta x tendendo a 0. Algumas pessoas dizem h se aproxima de 0, ou d se aproxima de 0. Eu só uso o delta x. Assim, a variação em x sobre 0. E então dizemos f de x mais delta x, portanto, neste caso é f de x. Portanto, é a raiz quadrada de x mais delta x menos f de x, que neste caso é raiz quadrada de x. Tudo isso sobre a variação em x, sobre o delta x. Agora quando eu olho para isso, não há muita simplificação que eu posso fazer para tornar isso algo significativo. Eu vou multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador é o que quero dizer com isso. Deixe-me reescrevê-lo. Limite é delta x tendendo a zero Só estou reescrevendo o que eu tenho aqui. Então disse a raiz quadrada de x mais delta x menos raiz quadrada de x. Tudo isso sobre delta x. E vou multiplicar pela raiz quadrada de x mais delta x mais a raiz quadrada de x, sobre a raiz quadrada de x mais delta x mais a raiz quadrada de x. Este é apenas um, e claro que posso multiplicar outros fatores. Vamos supor que x e delta x não são ambos 0, isto é um número definido e este será 1. E podemos fazer isso. Este é 1/1, apenas multiplicamos ele vezes esta equação, e temos limite com delta x tendendo a 0. Este é um menos b vezes a mais b. Deixe-me fazer pouco de lado aqui. a mais b vezes a menos b é igual a ao quadrado menos b ao quadrado. Portanto, isso é a mais b vezes a menos b. Vai ser igual a ao quadrado. Então, qual é essa quantidade ao quadrado ou essa quantidade ao quadrado, tanto faz, são meus a´s. Bom isso vai ser x mais delta x. Então, nós temos x mais delta x. E então o que é b ao quadrado? Então raiz quadrada de menos x é b nesta analogia. Então raiz quadrada de x quadrado é apenas x. E todos sobre delta x vezes raiz quadrada de x mais delta x mais raiz quadrada de x. Vejamos qual simplificação dá pra fazer. Bem, temos um x e em seguida, a menos x, então aqueles se cancelam. x menos x. E então ficamos no numerador e no denominador, tudo o que temos é um delta x aqui e um delta x aqui, então vamos dividir o numerador e o denominador por delta x. Portanto, esta vai para 1, este vai para 1. E assim, isso é igual ao limite-- Eu vou escrever menor, porque estou ficando sem espaço-- como delta x tende a 0 sobre 1. E, claro, só podemos assumir que delta-- bem, estamos dividindo por delta x para começar, sabemos que não é 0, é só tendendo a zero. Então, nós temos raiz quadrada de x mais delta x mais a raiz quadrada de x. E agora podemos pegar diretamente o limite conforme se aproxima 0. Podemos definir delta x igual a 0. Isso é o que está se aproximando. Então igual a um sobre a raiz quadrada de x. Certo, delta x é 0, portanto podemos ignorar isso. Poderíamos pegar o limite todo o caminho até 0. E então este é, claro, apenas a raiz quadrada de x aqui mais a raiz quadrada de x, e que é igual a 1 sobre 2 raiz quadrada de x. E isso é igual a 1/2x ao negativo 1/2. Então, apenas provamos que x elevado a 1/2, a derivada dele é 1/2x elevado a menos 1/2, e por isso é consistente com a propriedade geral de que a derivada de x elevado a n é igual a nx elevado a n menos 1, mesmo neste caso onde o n era 1/2. Bem espero que isso seja gratificante. Eu não provei para todas as frações, mas este é um começo. Esta é uma pergunta comum, a raiz quadrada de x, e não é complicado demais para fazer a prova. Vejo você nos próximos vídeos. [Legendado por: Soraia Novaes] [Revisado por: Tatiana F. D'Addio]