1
00:00:00,000 --> 00:00:04,090
Então, me pediram para fazer
a prova da derivada da raiz

2
00:00:04,090 --> 00:00:06,300
quadrada de x, então
pensei em fazer um vídeo

3
00:00:06,300 --> 00:00:08,300
rápido para provar a derivada

4
00:00:08,300 --> 00:00:10,370
da raiz quadrada de x.

5
00:00:10,370 --> 00:00:13,680
Então, sabemos da definição
de uma derivada que a

6
00:00:13,680 --> 00:00:22,280
derivada da função
raiz quadrada de x,

7
00:00:22,280 --> 00:00:26,520
que é igual ao

8
00:00:26,520 --> 00:00:33,080
limite com delta
x tendendo a 0.

9
00:00:33,080 --> 00:00:35,335
Algumas pessoas
dizem h se aproxima de 0,

10
00:00:35,335 --> 00:00:36,670
ou d se aproxima de 0.

11
00:00:36,670 --> 00:00:37,860
Eu só uso o delta x.

12
00:00:37,860 --> 00:00:39,450
Assim, a variação em x sobre 0.

13
00:00:39,450 --> 00:00:41,830
E então dizemos f de x
mais delta x, portanto,

14
00:00:41,830 --> 00:00:43,450
neste caso é f de x.

15
00:00:43,450 --> 00:00:52,260
Portanto, é a raiz quadrada de x
mais delta x menos f de x,

16
00:00:52,260 --> 00:00:54,640
que neste caso é
raiz quadrada de x.

17
00:00:54,640 --> 00:00:57,140
Tudo isso sobre a variação
em x, sobre o delta x.

18
00:00:57,140 --> 00:01:00,040
Agora quando eu

19
00:01:00,040 --> 00:01:02,580
olho para isso,
não há muita simplificação que eu

20
00:01:02,580 --> 00:01:04,945
posso fazer para tornar 
isso algo significativo.

21
00:01:04,945 --> 00:01:09,940
Eu vou multiplicar o

22
00:01:09,940 --> 00:01:12,540
numerador e o denominador pelo
conjugado do

23
00:01:12,540 --> 00:01:14,550
numerador é o que quero
dizer com isso.

24
00:01:14,550 --> 00:01:16,050
Deixe-me reescrevê-lo.

25
00:01:16,050 --> 00:01:19,740
Limite é delta x tendendo a zero
Só estou reescrevendo

26
00:01:19,740 --> 00:01:21,280
o que eu tenho aqui.

27
00:01:21,280 --> 00:01:26,650
Então disse a raiz quadrada
de x mais delta x menos

28
00:01:26,650 --> 00:01:28,610
raiz quadrada de x.

29
00:01:28,610 --> 00:01:31,200
Tudo isso sobre delta x.

30
00:01:31,200 --> 00:01:34,490
E vou multiplicar

31
00:01:34,490 --> 00:01:41,840
pela raiz quadrada de x mais
delta x mais a raiz quadrada de

32
00:01:41,840 --> 00:01:48,260
x, sobre a raiz quadrada de x
mais delta x mais a

33
00:01:48,260 --> 00:01:49,250
raiz quadrada de x.

34
00:01:49,250 --> 00:01:53,420
Este é apenas um, e claro que posso
multiplicar outros fatores.

35
00:01:53,420 --> 00:01:57,110
Vamos supor que x e delta x
não são ambos 0, isto é um

36
00:01:57,110 --> 00:01:58,690
número definido e
este será 1.

37
00:01:58,700 --> 00:02:00,010
E podemos fazer isso.

38
00:02:00,010 --> 00:02:02,500
Este é 1/1, apenas
multiplicamos ele vezes esta

39
00:02:02,500 --> 00:02:10,900
equação, e temos limite
com delta x tendendo a 0.

40
00:02:10,900 --> 00:02:13,510
Este é um menos b
vezes a mais b.

41
00:02:13,510 --> 00:02:15,360
Deixe-me fazer pouco de lado aqui.

42
00:02:15,360 --> 00:02:20,880
a mais b vezes a menos b é igual a ao

43
00:02:20,880 --> 00:02:23,150
quadrado menos b ao quadrado.

44
00:02:23,150 --> 00:02:26,600
Portanto, isso é a mais b
vezes a menos b.

45
00:02:26,600 --> 00:02:28,550
Vai ser igual a ao quadrado.

46
00:02:28,550 --> 00:02:32,016
Então, qual é essa quantidade ao quadrado
ou essa quantidade ao quadrado,

47
00:02:32,016 --> 00:02:33,780
tanto faz, são meus a´s.

48
00:02:33,780 --> 00:02:35,380
Bom isso vai ser
x mais delta x.

49
00:02:35,380 --> 00:02:39,430
Então, nós temos x mais delta x.

50
00:02:39,430 --> 00:02:41,050
E então o que é b ao quadrado?

51
00:02:41,050 --> 00:02:46,380
Então raiz quadrada de menos
x é b nesta analogia.

52
00:02:46,380 --> 00:02:50,640
Então raiz quadrada de x
quadrado é apenas x.

53
00:02:50,640 --> 00:02:56,760
E todos sobre delta x
vezes raiz quadrada de x

54
00:02:56,760 --> 00:03:03,980
mais delta x mais 
raiz quadrada de x.

55
00:03:03,980 --> 00:03:05,900
Vejamos qual 
simplificação dá pra fazer.

56
00:03:05,900 --> 00:03:08,580
Bem, temos um x e
em seguida, a menos x, então aqueles

57
00:03:08,580 --> 00:03:10,130
se cancelam. x menos x.

58
00:03:10,130 --> 00:03:13,460
E então ficamos no
numerador e no denominador,

59
00:03:13,460 --> 00:03:16,510
tudo o que temos é um delta x aqui
e um delta x aqui, então vamos

60
00:03:16,510 --> 00:03:18,770
dividir o numerador e o
denominador por delta x.

61
00:03:18,770 --> 00:03:22,822
Portanto, esta vai para 1,
este vai para 1.

62
00:03:22,822 --> 00:03:26,350
E assim, isso é igual ao limite--
Eu vou escrever menor, porque estou

63
00:03:26,350 --> 00:03:34,920
ficando sem espaço-- como
delta x tende a 0 sobre 1.

64
00:03:34,920 --> 00:03:37,780
E, claro, só podemos 
assumir que delta--

65
00:03:37,780 --> 00:03:40,220
bem, estamos dividindo 
por delta x para começar,

66
00:03:40,220 --> 00:03:42,420
sabemos que não é 0, é só
tendendo a zero.

67
00:03:42,420 --> 00:03:49,870
Então, nós temos raiz quadrada
de x mais delta x mais

68
00:03:49,870 --> 00:03:51,080
a raiz quadrada de x.

69
00:03:51,080 --> 00:03:53,250
E agora podemos pegar
diretamente o limite

70
00:03:53,250 --> 00:03:54,410
conforme se aproxima 0.

71
00:03:54,410 --> 00:03:56,440
Podemos definir delta
x igual a 0.

72
00:03:56,440 --> 00:03:58,140
Isso é o que está se aproximando.

73
00:03:58,140 --> 00:04:04,260
Então igual a um
sobre a raiz quadrada de x.

74
00:04:04,260 --> 00:04:06,790
Certo, delta x é 0, portanto
podemos ignorar isso.

75
00:04:06,790 --> 00:04:09,120
Poderíamos pegar o limite
todo o caminho até 0.

76
00:04:09,120 --> 00:04:13,000
E então este é, claro, apenas
a raiz quadrada de x aqui mais

77
00:04:13,000 --> 00:04:17,160
a raiz quadrada de x,
e que é igual a 1 sobre

78
00:04:17,160 --> 00:04:19,350
2 raiz quadrada de x.

79
00:04:19,350 --> 00:04:24,890
E isso é igual a 1/2x
ao negativo 1/2.

80
00:04:24,890 --> 00:04:28,900
Então, apenas provamos que x
elevado a 1/2, a derivada dele

81
00:04:28,900 --> 00:04:35,220
é 1/2x elevado a menos 1/2,
e por isso é consistente com

82
00:04:35,220 --> 00:04:41,700
a propriedade geral de que a
derivada

83
00:04:41,700 --> 00:04:50,100
de x elevado a n é igual a nx elevado a

84
00:04:50,100 --> 00:04:54,220
n menos 1, mesmo neste caso
onde o n era 1/2.

85
00:04:54,220 --> 00:04:56,100
Bem espero que
isso seja gratificante.

86
00:04:56,100 --> 00:04:58,960
Eu não provei para todas
as frações, mas este é um começo.

87
00:04:58,960 --> 00:05:01,360
Esta é uma pergunta comum, 
a raiz quadrada de x, e

88
00:05:01,360 --> 00:05:03,770
não é complicado demais
para fazer a prova.

89
00:05:03,770 --> 00:05:05,503
Vejo você nos próximos vídeos.

90
00:05:05,503 --> 00:05:07,776
[Legendado por: Soraia Novaes]
[Revisado por: Tatiana F. D'Addio]