Então, me pediram para fazer a prova da derivada da raiz
quadrada de x, então pensei em fazer um vídeo
rápido para provar a derivada
da raiz quadrada de x.
Então, sabemos da definição de uma derivada que a
derivada da função raiz quadrada de x,
que é igual ao
limite com delta x tendendo a 0.
Algumas pessoas dizem h se aproxima de 0,
ou d se aproxima de 0.
Eu só uso o delta x.
Assim, a variação em x sobre 0.
E então dizemos f de x mais delta x, portanto,
neste caso é f de x.
Portanto, é a raiz quadrada de x mais delta x menos f de x,
que neste caso é raiz quadrada de x.
Tudo isso sobre a variação em x, sobre o delta x.
Agora quando eu
olho para isso, não há muita simplificação que eu
posso fazer para tornar isso algo significativo.
Eu vou multiplicar o
numerador e o denominador pelo conjugado do
numerador é o que quero dizer com isso.
Deixe-me reescrevê-lo.
Limite é delta x tendendo a zero Só estou reescrevendo
o que eu tenho aqui.
Então disse a raiz quadrada de x mais delta x menos
raiz quadrada de x.
Tudo isso sobre delta x.
E vou multiplicar
pela raiz quadrada de x mais delta x mais a raiz quadrada de
x, sobre a raiz quadrada de x mais delta x mais a
raiz quadrada de x.
Este é apenas um, e claro que posso multiplicar outros fatores.
Vamos supor que x e delta x não são ambos 0, isto é um
número definido e este será 1.
E podemos fazer isso.
Este é 1/1, apenas multiplicamos ele vezes esta
equação, e temos limite com delta x tendendo a 0.
Este é um menos b vezes a mais b.
Deixe-me fazer pouco de lado aqui.
a mais b vezes a menos b é igual a ao
quadrado menos b ao quadrado.
Portanto, isso é a mais b vezes a menos b.
Vai ser igual a ao quadrado.
Então, qual é essa quantidade ao quadrado ou essa quantidade ao quadrado,
tanto faz, são meus a´s.
Bom isso vai ser x mais delta x.
Então, nós temos x mais delta x.
E então o que é b ao quadrado?
Então raiz quadrada de menos x é b nesta analogia.
Então raiz quadrada de x quadrado é apenas x.
E todos sobre delta x vezes raiz quadrada de x
mais delta x mais raiz quadrada de x.
Vejamos qual simplificação dá pra fazer.
Bem, temos um x e em seguida, a menos x, então aqueles
se cancelam. x menos x.
E então ficamos no numerador e no denominador,
tudo o que temos é um delta x aqui e um delta x aqui, então vamos
dividir o numerador e o denominador por delta x.
Portanto, esta vai para 1, este vai para 1.
E assim, isso é igual ao limite-- Eu vou escrever menor, porque estou
ficando sem espaço-- como delta x tende a 0 sobre 1.
E, claro, só podemos assumir que delta--
bem, estamos dividindo por delta x para começar,
sabemos que não é 0, é só tendendo a zero.
Então, nós temos raiz quadrada de x mais delta x mais
a raiz quadrada de x.
E agora podemos pegar diretamente o limite
conforme se aproxima 0.
Podemos definir delta x igual a 0.
Isso é o que está se aproximando.
Então igual a um sobre a raiz quadrada de x.
Certo, delta x é 0, portanto podemos ignorar isso.
Poderíamos pegar o limite todo o caminho até 0.
E então este é, claro, apenas a raiz quadrada de x aqui mais
a raiz quadrada de x, e que é igual a 1 sobre
2 raiz quadrada de x.
E isso é igual a 1/2x ao negativo 1/2.
Então, apenas provamos que x elevado a 1/2, a derivada dele
é 1/2x elevado a menos 1/2, e por isso é consistente com
a propriedade geral de que a derivada
de x elevado a n é igual a nx elevado a
n menos 1, mesmo neste caso onde o n era 1/2.
Bem espero que isso seja gratificante.
Eu não provei para todas as frações, mas este é um começo.
Esta é uma pergunta comum, a raiz quadrada de x, e
não é complicado demais para fazer a prova.
Vejo você nos próximos vídeos.
[Legendado por: Soraia Novaes] [Revisado por: Tatiana F. D'Addio]