Descartes og Kartesiske koordinater

Forbindelsen mellom algebra og geometri. Hva som gjør lineære likninger så lineære.

Dette er et bilde av René Descartes.

En av de store tenkerne,

i både matematikk og filosofi.

Jeg tror du kommer til å se en liten trend her

at de største filosofene også var
store matematikere

og motsatt.

Han var nesten samtidig med Galileo,

han var 32 år yngre,

men han døde kort etter at Galileo døde.

Han døde i en mye yngre alder,

Galileo var godt og vel 70,

Descartes døde da han bare var 54 år gammel.

Han er nok best allment kjent

for sitatet her oppe,

et veldig filosofisk ett.

"Jeg tenker derfor er jeg."

Men jeg vil også nevne,

og dette har ikke så mye
med algebra å gjøre,

men jeg synes det er et stilig sitat,

sikkert hans minst kjente.

Dette her.

Jeg liker det fordi det er veldig praktisk.

Det får deg til å innse at disse store tenkerne,

disse pilarene i filosofi og matematikk,

når alt kommer til alt

var de bare vanlige mennesker.

Han sa: Du bare fortstetter.

Du bare fortsetter.

Jeg gjorde hver feil som kunne gjøres.

Men jeg bare fortsatte."

Et veldig godt råd i livet, synes jeg.

Han gjorde mye

i filosofi og matematikk,

men årsaken til at jeg tar ham med her

når vi legger fundamentet i algebra,

er at han er den personen

som er mest ansvarlig for
et veldig sterkt forhold

mellom algebra og geometri.

Til venstre her,

har du algebraens verden.

Vi har diskutert den litt.

Vi har ligninger som har med
symboler å gjøre

og symbolene

kan påta seg verdier.

Så du har noe som dette

y = 2 ganger - 1

Dette gir oss et forhold

mellom det x måtte være

og det y måtte være.

Vi kan til og med lage en tabell her.

Og velge verdiene til x

og se hva y blir.

Jeg kan velge vilkårlige verdier for x

for så å finne ut hva y er.

Men jeg velger ganke enkle verdier

slik at matematikken ikke blir for komplisert.

Så for eksempel,

hvis x er -2

blir y 2 ganger -2 minus 1

2 ganger -2 minus 1

som er -4 minus 1

som er -5

hvis x er -1

da blir y 2 ganger -1 minus 1,

som er lik,

dette er -2 minus 1 som er -3.

Hvis x = 0

blir y 2 ganger 0 - 1.

2 ganger 0 er 0 - 1 blir bare -1.

Jeg tar et par til.

Hvis x er 1

Jeg kan velge enhver verdi her,

hva skjer

når x er minus kvadratroten av 2

eller hva skjer hvis x er -5 halve

eller pluss 6/7.

Men jeg bare velger disse tallene

fordi det gjør matten mye enklere

når jeg prøver å finne ut hva y blir.

Men når x er 1

blir y 2 ganger 1 minus 1

2 ganger 1 er 2 minus 1 er 1

og jeg tar en til.

I en farge jeg ikke har brukt enda,

la oss se denne lilla.

Hvis x er 2

da blir y

2 ganger 2 minus 1,

slik at det er 4 - 1, som er lik 3.

Så sant nok,

jeg valgte eksempler på dette forholdet.

Jeg sa, ok dette beskriver
et generelt forhold

mellom y-variabelen og x-variabelen

og så gjorde jeg det litt mer konkret.

Jeg sa ok,

hvis x er en av disse variablene,

for hver av disse x-verdiene,

hva blir den tilsvarende y-verdien?

Det Descartes forsto var

at du kunne visualisere dette.

Du kan visualisere individuelle punkter.

Men generelt kan det også hjelpe deg

å visualisere dette forholdet.

Det han i virkeligheten gjorde var å

bygge bro mellom den veldig abstrakte
og symbolske algebraen

og geometrien som tok for seg

former, størrelser og vinkler.

Her borte har du geometriens verden.

Det finnes sikkert mennesker
i løpet av historien,

kanskje mange som er blitt
glemt av historien,

som kanskje berørte dette.

Men før Descartes anses det generelt

at geometri betsto av euklidsk geometri.

Det er rett og slett den geometrien

du lærer i geometriklassen

i åttende, niende og tiendeklasse

i et tradisjonelt pensum for ungdomsskolen.

Det er geometrien som ser på

forholdene mellom trekanter
og vinklene deres

og forholdene mellom sirkler,

du har radius og du har trekanter

innskrevet i sirkler og så videre.

Vi går mer i dybden

av det i geometrispillelisten.

Men Descartes tenkte, jeg tror
jeg kan presentere dette visuelt,

på samme måten som Euclid studerte
trekantene og sirklene,

hvorfor ikke, tenkte han.

Hvis vi ser på et papirark,

og tenker på et todimensjonalt plan,

du kan se et papirark

som en del av et todimensjonalt plan.

Vi kaller det to dimensjoner

fordi du har to retninger å gå i.

Det er opp-ned retningen,

det er en retning.

La meg tegne den i blått,

fordi vi prøver å visualisere ting

så jeg tegner det i geometrifargen.

Så du har opp-ned-retningen

og så har du venstre-høyre-retningen.

Derfor heter det et to-dimensjonalt plan.

Hvis vi har tre dimensjoner,

har du en ut-inn-dimensjon.

Det er veldig enkelt å vise
to dimensjoner på skjermen

fordi den er to-dimensjonal.

Og han sa, vel, du vet

det er to variabler her og de står
i et forhold til hverandre,

så hvorfor ikke knytte hver variabel

til en av dimensjonene her borte?

Siden det er vanlig,
la y-variablen,

som virkelig er den variablen
som avhenger,

slik vi gjorde det,

avhenger den av hva x er.

La oss plassere den
på den vertikale aksen,

og den uavhengige variabelen,

der jeg valgte verdier vilkårlig,

for å se hva y blir,

la oss plassere den
på den horisontale aksen.

Det var faktisk Descartes

som startet tradisjonen
med å bruke x-er, y-er

og som vi skal se z-er,
i utstrakt grad i algebra,

som ukjente variabler sammen med
variablene vi forandrer.

Men han sa, vel, hvis vi tenker på
det på denne måten,

hvis vi gir et tall til disse dimensjonene,

la oss si at x i denne retningen

la oss si at dette er -3,

la oss si at dette er -2,

dette er -1,

dette er 0.

Jeg gir bare tall til x retningen,

venstre-høyre-retningen.

Dette er pluss 1,

dette er pluss 2

og dette er pluss 3.

Vi kan gjøre det samme i y-retningen.

Så la oss se, dette blir

la oss si at dette er -5, -4, -3

forresten, la meg gjøre det
litt mer elegant,

la meg rydde opp litt.

La meg viske ut dette og utvide det litt

slik at jeg kan gå helt ned til -5

uten at det blir for rotete.

Så la oss gå helt ned hit.

Så vi kan nummerere det.

Dette er 1, dette er 2, dette er 3,

og dette blir -1,

-2 og disse er alle konvensjoner,

det kan gjøres på en annen måte.

Vi kunne bestemt oss for å
plassere x-en der

og y-en der.

og gjøre dette til den positive retningen,

og dette til den negative.

Men dette er bare en konvensjon som
folk begynte å bruke,

og det begynte med Descartes.

-2, -3, -4 og -5.

Han sa, jeg kan forbinde

hvert av disse verdiparene med

et to-dimensjonalt punkt.

Jeg kan ta x-koordinaten,
jeg kan ta x-verdien,

her borte og si, OK, det er -2,

det ville blitt rett der borte langs
venstre-høyre-retningen,

jeg går mot venstre fordi det er minus,

og den er forbundet med -5
i den vertikale retningen.

Så jeg sier at y verdien er -5.

Hvis jeg går to til venstre og 5 ned,

kommer jeg til dette punktet her borte.

Så han sa, disse to verdiene -2 og -5,

kan jeg forbinde med dette punktet

på dette planet her borte, i dette
to-dimensjonale planet.

Dette punktet har koordinatene,

og forteller meg hvor jeg finner
punktet (-2, -5).

Disse koordinatene heter
"kartesiske koordinater"

oppkalt etter René Descartes,

han var den som fant på dem.

Han knyttet plutselig disse forholdene

til punkter langs et koordinatplan.

Så sa han, "vel ok, la oss ta en til."

Det er dette andre forholdet,

der x er lik -1, y = -3,

slik at x er -1, y er -3.

Det er punktet her borte.

Konvensjonen er nok en gang,

når du fører koordinatene,

skriver du x-koordinaten,
deretter y-koordinaten.

Det var bare slik de
begynte å gjøre det.

-1, -3 blir det punktet her borte.

Så har du punktet der x er 0, y er -1,

når x er 0 er her,

jeg går ikke til høyre eller venstre,

y er -1, som betyr at jeg går 1 ned,

til punktet her 0, -1.

Akkurat der.

Jeg kan fortsette å gjøre dette.

Når x er 1, er y 1.

Når x er 2, er y 3.

La meg skrive det i lillafargen.

Når x er 2, er y 3.

2,3, og denne i orange er 1,1.

Dette er fint slik.

Jeg bare valgte mulige xer,

men det han forsto var

at ikke bare velger man mulige xer,

men fortsetter du å velge xer,

hvis du velger alle xene i mellom

har du faktisk tegnet en linje.

Slik at hvis du tar alle mulige xer

ender du opp med å tegne en linje

som ser omtrent slik ut...her borte.

I ethvert forhold, velger du enhver x

og finner enhver y, representerer de
egentlig et punkt på linjen.

En annen måte å forstå det på,

er at hvert punkt på linjen er

en løsning på likningen her.

Slik at hvis du har dette punktet her,

som ser ut som x er 1 og en halv,

er y 2. Så la meg skrive det.

1.5, 2

Det er løsningen på denne likningen.

Når x er 1.5. 2 ganger 1,5
er 3 - 1 er 2,

det står her borte.

Plutselig kunne han bygge bro mellom

avstanden eller forholdet mellom
algebra og geometri.

Vi kan nå visualisere alle
x- og y-parene,

som tilfredstiller likningen her.

Slik at han var ansvarlig for
å bygge denne broen

Derfor kalles koordinatene

vi bruker for å spesifisere disse
punktene "kartesiske koordinater."

Vi skal se at er den første typen likninger

vi studerer er likninger av denne
typen her borte.

I et tradisjonelt algebrapensum

kalles de lineære likninger.

Lineære likninger.

Du tenker kanskje at du ser
at det er en likning.

At du ser at det er lik det.

Men hva er så lineært ved dem?

Hva får dem til å se ut som en linje?

For å forstå hvorfor de er lineære,

må du ta steget
René Descartes tok.

Fordi hvis du tegner dette

ved å bruke kartesiske koordinater

på et euklidsk plan, får du en linje.

Og i fremtiden kommer du til å se at

det er andre typer likninger der du
ikke får en linje.

Du får en kurve, eller noe annet merkelig noe.