1
00:00:01,062 --> 00:00:03,636
Dette er et bilde av René Descartes.

2
00:00:03,636 --> 00:00:05,698
En av de store tenkerne,

3
00:00:05,698 --> 00:00:07,554
i både matematikk og filosofi.

4
00:00:07,554 --> 00:00:09,923
Jeg tror du kommer til å se en liten trend her

5
00:00:09,923 --> 00:00:13,190
at de største filosofene også var 
store matematikere

6
00:00:13,190 --> 00:00:15,200
og motsatt.

7
00:00:15,200 --> 00:00:17,021
Han var nesten samtidig med Galileo,

8
00:00:17,021 --> 00:00:18,733
han var 32 år yngre,

9
00:00:18,733 --> 00:00:21,706
men han døde kort etter at Galileo døde.

10
00:00:21,706 --> 00:00:23,467
Han døde i en mye yngre alder,

11
00:00:23,467 --> 00:00:25,400
Galileo var godt og vel 70,

12
00:00:25,400 --> 00:00:28,067
Descartes døde da han bare var 54 år gammel.

13
00:00:28,067 --> 00:00:30,867
Han er nok best allment kjent

14
00:00:30,867 --> 00:00:32,733
for sitatet her oppe,

15
00:00:32,733 --> 00:00:33,800
et veldig filosofisk ett.

16
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
"Jeg tenker derfor er jeg."

17
00:00:35,867 --> 00:00:37,467
Men jeg vil også nevne,

18
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
og dette har ikke så mye 
med algebra å gjøre,

19
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
men jeg synes det er et stilig sitat,

20
00:00:40,733 --> 00:00:42,800
sikkert hans minst kjente.

21
00:00:42,800 --> 00:00:44,467
Dette her.

22
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
Jeg liker det fordi det er veldig praktisk.

23
00:00:46,800 --> 00:00:48,852
Det får deg til å innse at disse store tenkerne,

24
00:00:48,852 --> 00:00:51,113
disse pilarene i filosofi og matematikk,

25
00:00:51,113 --> 00:00:52,282
når alt kommer til alt

26
00:00:52,282 --> 00:00:54,467
var de bare vanlige mennesker.

27
00:00:54,467 --> 00:00:56,498
Han sa: Du bare fortstetter.

28
00:00:56,498 --> 00:00:58,133
Du bare fortsetter.

29
00:00:58,133 --> 00:01:00,015
Jeg gjorde hver feil som kunne gjøres.

30
00:01:00,015 --> 00:01:02,031
Men jeg bare fortsatte."

31
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
Et veldig godt råd i livet, synes jeg.

32
00:01:05,267 --> 00:01:07,733
Han gjorde mye

33
00:01:07,733 --> 00:01:09,077
i filosofi og matematikk,

34
00:01:09,077 --> 00:01:11,062
men årsaken til at jeg tar ham med her

35
00:01:11,062 --> 00:01:12,933
når vi legger fundamentet i algebra,

36
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
er at han er den personen

37
00:01:15,600 --> 00:01:18,800
som er mest ansvarlig for 
et veldig sterkt forhold

38
00:01:18,800 --> 00:01:21,425
mellom algebra og geometri.

39
00:01:21,425 --> 00:01:22,898
Til venstre her,

40
00:01:22,898 --> 00:01:24,752
har du algebraens verden.

41
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
Vi har diskutert den litt.

42
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
Vi har ligninger som har med 
symboler å gjøre

43
00:01:28,477 --> 00:01:30,236
og symbolene

44
00:01:30,236 --> 00:01:31,933
kan påta seg verdier.

45
00:01:31,933 --> 00:01:32,800
Så du har noe som dette

46
00:01:32,800 --> 00:01:37,677
y = 2 ganger - 1

47
00:01:37,677 --> 00:01:39,267
Dette gir oss et forhold

48
00:01:39,267 --> 00:01:40,733
mellom det x måtte være

49
00:01:40,733 --> 00:01:42,133
og det y måtte være.

50
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
Vi kan til og med lage en tabell her.

51
00:01:44,333 --> 00:01:46,733
Og velge verdiene til x

52
00:01:46,733 --> 00:01:48,292
og se hva y blir.

53
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
Jeg kan velge vilkårlige verdier for x

54
00:01:51,652 --> 00:01:53,133
for så å finne ut hva y er.

55
00:01:53,133 --> 00:01:55,000
Men jeg velger ganke enkle verdier

56
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
slik at matematikken ikke blir for komplisert.

57
00:01:57,662 --> 00:01:59,252
Så for eksempel,

58
00:01:59,252 --> 00:02:00,533
hvis x er -2

59
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
blir y 2 ganger -2 minus 1

60
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
2 ganger -2 minus 1

61
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
som er -4 minus 1

62
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
som er -5

63
00:02:12,267 --> 00:02:14,785
hvis x er -1

64
00:02:14,785 --> 00:02:20,452
da blir y 2 ganger -1 minus 1,

65
00:02:20,452 --> 00:02:21,733
som er lik,

66
00:02:21,733 --> 00:02:24,554
dette er -2 minus 1 som er -3.

67
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
Hvis x = 0

68
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
blir y 2 ganger 0 - 1.

69
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 ganger 0 er 0 - 1 blir bare -1.

70
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
Jeg tar et par til.

71
00:02:37,333 --> 00:02:38,282
Hvis x er 1

72
00:02:38,282 --> 00:02:39,421
Jeg kan velge enhver verdi her,

73
00:02:39,421 --> 00:02:40,352
hva skjer

74
00:02:40,352 --> 00:02:42,005
når x er minus kvadratroten av 2

75
00:02:42,005 --> 00:02:45,067
eller hva skjer hvis x er -5 halve

76
00:02:45,067 --> 00:02:47,867
eller pluss 6/7.

77
00:02:47,867 --> 00:02:49,000
Men jeg bare velger disse tallene

78
00:02:49,000 --> 00:02:50,600
fordi det gjør matten mye enklere

79
00:02:50,600 --> 00:02:52,600
når jeg prøver å finne ut hva y blir.

80
00:02:52,600 --> 00:02:54,133
Men når x er 1

81
00:02:54,133 --> 00:02:57,338
blir y 2 ganger 1 minus 1

82
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2 ganger 1 er 2 minus 1 er 1

83
00:02:59,733 --> 00:03:03,052
og jeg tar en til.

84
00:03:03,052 --> 00:03:05,133
I en farge jeg ikke har brukt enda,

85
00:03:05,133 --> 00:03:06,667
la oss se denne lilla.

86
00:03:06,667 --> 00:03:08,041
Hvis x er 2

87
00:03:08,041 --> 00:03:09,333
da blir y

88
00:03:09,333 --> 00:03:14,005
2 ganger 2 minus 1,

89
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
slik at det er 4 - 1, som er lik 3.

90
00:03:16,615 --> 00:03:17,800
Så sant nok,

91
00:03:17,800 --> 00:03:19,548
jeg valgte eksempler på dette forholdet.

92
00:03:19,548 --> 00:03:22,533
Jeg sa, ok dette beskriver 
et generelt forhold

93
00:03:22,533 --> 00:03:25,200
mellom y-variabelen og x-variabelen

94
00:03:25,200 --> 00:03:26,908
og så gjorde jeg det litt mer konkret.

95
00:03:26,908 --> 00:03:28,000
Jeg sa ok,

96
00:03:28,000 --> 00:03:29,882
hvis x er en av disse variablene,

97
00:03:29,882 --> 00:03:31,200
for hver av disse x-verdiene,

98
00:03:31,200 --> 00:03:33,800
hva blir den tilsvarende y-verdien?

99
00:03:33,800 --> 00:03:35,698
Det Descartes forsto var

100
00:03:35,717 --> 00:03:37,467
at du kunne visualisere dette.

101
00:03:37,467 --> 00:03:40,405
Du kan visualisere individuelle punkter.

102
00:03:40,405 --> 00:03:42,667
Men generelt kan det også hjelpe deg

103
00:03:42,667 --> 00:03:45,800
å visualisere dette forholdet.

104
00:03:45,800 --> 00:03:47,333
Det han i virkeligheten gjorde var å

105
00:03:47,333 --> 00:03:52,329
bygge bro mellom den veldig abstrakte
og symbolske algebraen

106
00:03:52,329 --> 00:03:55,200
og geometrien som tok for seg

107
00:03:55,200 --> 00:03:57,600
former, størrelser og vinkler.

108
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
Her borte har du geometriens verden.

109
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
Det finnes sikkert mennesker 
i løpet av historien,

110
00:04:04,887 --> 00:04:07,067
kanskje mange som er blitt 
glemt av historien,

111
00:04:07,067 --> 00:04:09,067
som kanskje berørte dette.

112
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
Men før Descartes anses det generelt

113
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
at geometri betsto av euklidsk geometri.

114
00:04:14,800 --> 00:04:16,133
Det er rett og slett den geometrien

115
00:04:16,133 --> 00:04:17,533
du lærer i geometriklassen

116
00:04:17,533 --> 00:04:20,333
i åttende, niende og tiendeklasse

117
00:04:20,333 --> 00:04:22,533
i et tradisjonelt pensum for ungdomsskolen.

118
00:04:22,533 --> 00:04:24,200
Det er geometrien som ser på

119
00:04:24,200 --> 00:04:28,554
forholdene mellom trekanter 
og vinklene deres

120
00:04:28,554 --> 00:04:30,667
og forholdene mellom sirkler,

121
00:04:30,667 --> 00:04:33,887
du har radius og du har trekanter

122
00:04:33,887 --> 00:04:36,200
innskrevet i sirkler og så videre.

123
00:04:36,200 --> 00:04:37,190
Vi går mer i dybden

124
00:04:37,190 --> 00:04:39,667
av det i geometrispillelisten.

125
00:04:39,667 --> 00:04:42,938
Men Descartes tenkte, jeg tror
jeg kan presentere dette visuelt,

126
00:04:42,938 --> 00:04:46,581
på samme måten som Euclid studerte 
trekantene og sirklene,

127
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
hvorfor ikke, tenkte han.

128
00:04:48,299 --> 00:04:50,575
Hvis vi ser på et papirark,

129
00:04:50,575 --> 00:04:52,339
og tenker på et todimensjonalt plan,

130
00:04:52,339 --> 00:04:53,825
du kan se et papirark

131
00:04:53,825 --> 00:04:55,915
som en del av et todimensjonalt plan.

132
00:04:55,915 --> 00:04:57,819
Vi kaller det to dimensjoner

133
00:04:57,819 --> 00:04:59,584
fordi du har to retninger å gå i.

134
00:04:59,584 --> 00:05:01,256
Det er opp-ned retningen,

135
00:05:01,256 --> 00:05:02,510
det er en retning.

136
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
La meg tegne den i blått,

137
00:05:04,841 --> 00:05:06,666
fordi vi prøver å visualisere ting

138
00:05:06,666 --> 00:05:08,384
så jeg tegner det i geometrifargen.

139
00:05:08,384 --> 00:05:11,827
Så du har opp-ned-retningen

140
00:05:11,827 --> 00:05:14,139
og så har du venstre-høyre-retningen.

141
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
Derfor heter det et to-dimensjonalt plan.

142
00:05:16,720 --> 00:05:18,160
Hvis vi har tre dimensjoner,

143
00:05:18,160 --> 00:05:21,339
har du en ut-inn-dimensjon.

144
00:05:21,339 --> 00:05:23,200
Det er veldig enkelt å vise 
to dimensjoner på skjermen

145
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
fordi den er to-dimensjonal.

146
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
Og han sa, vel, du vet

147
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
det er to variabler her og de står 
i et forhold til hverandre,

148
00:05:29,744 --> 00:05:32,548
så hvorfor ikke knytte hver variabel

149
00:05:32,548 --> 00:05:34,600
til en av dimensjonene her borte?

150
00:05:34,600 --> 00:05:38,010
Siden det er vanlig,
la y-variablen,

151
00:05:38,010 --> 00:05:39,421
som virkelig er den variablen 
som avhenger,

152
00:05:39,421 --> 00:05:40,456
slik vi gjorde det,

153
00:05:40,456 --> 00:05:41,815
avhenger den av hva x er.

154
00:05:41,815 --> 00:05:43,605
La oss plassere den 
på den vertikale aksen,

155
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
og den uavhengige variabelen,

156
00:05:45,333 --> 00:05:46,800
der jeg valgte verdier vilkårlig,

157
00:05:46,800 --> 00:05:48,348
for å se hva y blir,

158
00:05:48,348 --> 00:05:50,867
la oss plassere den 
på den horisontale aksen.

159
00:05:50,867 --> 00:05:52,533
Det var faktisk Descartes

160
00:05:52,533 --> 00:05:55,600
som startet tradisjonen
med å bruke x-er, y-er

161
00:05:55,600 --> 00:05:58,600
og som vi skal se z-er,
i utstrakt grad i algebra,

162
00:05:58,600 --> 00:06:02,098
som ukjente variabler sammen med 
variablene vi forandrer.

163
00:06:02,098 --> 00:06:03,867
Men han sa, vel, hvis vi tenker på 
det på denne måten,

164
00:06:03,867 --> 00:06:07,452
hvis vi gir et tall til disse dimensjonene,

165
00:06:07,452 --> 00:06:09,723
la oss si at x i denne retningen

166
00:06:09,723 --> 00:06:15,702
la oss si at dette er -3,

167
00:06:15,702 --> 00:06:17,805
la oss si at dette er -2,

168
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
dette er -1,

169
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
dette er 0.

170
00:06:21,067 --> 00:06:23,800
Jeg gir bare tall til x retningen,

171
00:06:23,800 --> 00:06:25,333
venstre-høyre-retningen.

172
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
Dette er pluss 1,

173
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
dette er pluss 2

174
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
og dette er pluss 3.

175
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
Vi kan gjøre det samme i y-retningen.

176
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
Så la oss se, dette blir

177
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
la oss si at dette er -5, -4, -3

178
00:06:40,400 --> 00:06:42,333
forresten, la meg gjøre det 
litt mer elegant,

179
00:06:42,333 --> 00:06:45,067
la meg rydde opp litt.

180
00:06:45,067 --> 00:06:47,800
La meg viske ut dette og utvide det litt

181
00:06:47,800 --> 00:06:49,533
slik at jeg kan gå helt ned til -5

182
00:06:49,533 --> 00:06:51,867
uten at det blir for rotete.

183
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
Så la oss gå helt ned hit.

184
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
Så vi kan nummerere det.

185
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
Dette er 1, dette er 2, dette er 3,

186
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
og dette blir -1,

187
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
-2 og disse er alle konvensjoner,

188
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
det kan gjøres på en annen måte.

189
00:07:04,067 --> 00:07:05,692
Vi kunne bestemt oss for å 
plassere x-en der

190
00:07:05,692 --> 00:07:06,733
og y-en der.

191
00:07:06,733 --> 00:07:07,969
og gjøre dette til den positive retningen,

192
00:07:07,969 --> 00:07:09,277
og dette til den negative.

193
00:07:09,277 --> 00:07:11,333
Men dette er bare en konvensjon som 
folk begynte å bruke,

194
00:07:11,333 --> 00:07:12,733
og det begynte med Descartes.

195
00:07:12,733 --> 00:07:18,062
-2, -3, -4 og -5.

196
00:07:18,062 --> 00:07:20,200
Han sa, jeg kan forbinde

197
00:07:20,200 --> 00:07:22,667
hvert av disse verdiparene med

198
00:07:22,667 --> 00:07:25,333
et to-dimensjonalt punkt.

199
00:07:25,333 --> 00:07:28,467
Jeg kan ta x-koordinaten, 
jeg kan ta x-verdien,

200
00:07:28,467 --> 00:07:30,333
her borte og si, OK, det er -2,

201
00:07:30,333 --> 00:07:34,195
det ville blitt rett der borte langs
venstre-høyre-retningen,

202
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
jeg går mot venstre fordi det er minus,

203
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
og den er forbundet med -5 
i den vertikale retningen.

204
00:07:39,395 --> 00:07:41,667
Så jeg sier at y verdien er -5.

205
00:07:41,667 --> 00:07:46,400
Hvis jeg går to til venstre og 5 ned,

206
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
kommer jeg til dette punktet her borte.

207
00:07:49,267 --> 00:07:53,518
Så han sa, disse to verdiene -2 og -5,

208
00:07:53,518 --> 00:07:55,733
kan jeg forbinde med dette punktet

209
00:07:55,733 --> 00:07:59,133
på dette planet her borte, i dette 
to-dimensjonale planet.

210
00:07:59,133 --> 00:08:02,933
Dette punktet har koordinatene,

211
00:08:02,933 --> 00:08:06,400
og forteller meg hvor jeg finner
punktet (-2, -5).

212
00:08:06,400 --> 00:08:08,959
Disse koordinatene heter
"kartesiske koordinater"

213
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
oppkalt etter René Descartes,

214
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
han var den som fant på dem.

215
00:08:13,800 --> 00:08:15,067
Han knyttet plutselig disse forholdene

216
00:08:15,067 --> 00:08:17,667
til punkter langs et koordinatplan.

217
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
Så sa han, "vel ok, la oss ta en til."

218
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
Det er dette andre forholdet,

219
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
der x er lik -1, y = -3,

220
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
slik at x er -1, y er -3.

221
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
Det er punktet her borte.

222
00:08:31,544 --> 00:08:33,333
Konvensjonen er nok en gang,

223
00:08:33,333 --> 00:08:34,375
når du fører koordinatene,

224
00:08:34,375 --> 00:08:36,600
skriver du x-koordinaten, 
deretter y-koordinaten.

225
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
Det var bare slik de 
begynte å gjøre det.

226
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
-1, -3 blir det punktet her borte.

227
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
Så har du punktet der x er 0, y er -1,

228
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
når x er 0 er her,

229
00:08:48,067 --> 00:08:50,267
jeg går ikke til høyre eller venstre,

230
00:08:50,267 --> 00:08:52,667
y er -1, som betyr at jeg går 1 ned,

231
00:08:52,667 --> 00:08:56,390
til punktet her 0, -1.

232
00:08:56,390 --> 00:08:57,359
Akkurat der.

233
00:08:57,359 --> 00:08:58,852
Jeg kan fortsette å gjøre dette.

234
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
Når x er 1, er y 1.

235
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
Når x er 2, er y 3.

236
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
La meg skrive det i lillafargen.

237
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
Når x er 2, er y 3.

238
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
2,3, og denne i orange er 1,1.

239
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
Dette er fint slik.

240
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
Jeg bare valgte mulige xer,

241
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
men det han forsto var

242
00:09:25,867 --> 00:09:27,775
at ikke bare velger man mulige xer,

243
00:09:27,775 --> 00:09:29,677
men fortsetter du å velge xer,

244
00:09:29,677 --> 00:09:31,318
hvis du velger alle xene i mellom

245
00:09:31,318 --> 00:09:34,000
har du faktisk tegnet en linje.

246
00:09:34,000 --> 00:09:36,067
Slik at hvis du tar alle mulige xer

247
00:09:36,067 --> 00:09:38,067
ender du opp med å tegne en linje

248
00:09:38,067 --> 00:09:44,492
som ser omtrent slik ut...her borte.

249
00:09:44,492 --> 00:09:47,533
I ethvert forhold, velger du enhver x

250
00:09:47,533 --> 00:09:50,867
og finner enhver y, representerer de 
egentlig et punkt på linjen.

251
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
En annen måte å forstå det på,

252
00:09:52,400 --> 00:09:54,171
er at hvert punkt på linjen er

253
00:09:54,171 --> 00:09:57,051
en løsning på likningen her.

254
00:09:57,051 --> 00:09:58,902
Slik at hvis du har dette punktet her,

255
00:09:58,902 --> 00:10:01,600
som ser ut som x er 1 og en halv,

256
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
er y 2. Så la meg skrive det.

257
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
1.5, 2

258
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
Det er løsningen på denne likningen.

259
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
Når x er 1.5. 2 ganger 1,5 
er 3 - 1 er 2,

260
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
det står her borte.

261
00:10:15,600 --> 00:10:17,400
Plutselig kunne han bygge bro mellom

262
00:10:17,400 --> 00:10:22,400
avstanden eller forholdet mellom
algebra og geometri.

263
00:10:22,400 --> 00:10:27,133
Vi kan nå visualisere alle
x- og y-parene,

264
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
som tilfredstiller likningen her.

265
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
Slik at han var ansvarlig for 
å bygge denne broen

266
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
Derfor kalles koordinatene

267
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
vi bruker for å spesifisere disse 
punktene "kartesiske koordinater."

268
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
Vi skal se at er den første typen likninger

269
00:10:45,467 --> 00:10:48,600
vi studerer er likninger av denne 
typen her borte.

270
00:10:48,600 --> 00:10:50,446
I et tradisjonelt algebrapensum

271
00:10:50,446 --> 00:10:52,733
kalles de lineære likninger.

272
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
Lineære likninger.

273
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
Du tenker kanskje at du ser
at det er en likning.

274
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
At du ser at det er lik det.

275
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
Men hva er så lineært ved dem?

276
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
Hva får dem til å se ut som en linje?

277
00:11:02,333 --> 00:11:04,379
For å forstå hvorfor de er lineære,

278
00:11:04,379 --> 00:11:07,467
må du ta steget 
René Descartes tok.

279
00:11:07,467 --> 00:11:09,133
Fordi hvis du tegner dette

280
00:11:09,133 --> 00:11:10,759
ved å bruke kartesiske koordinater

281
00:11:10,759 --> 00:11:14,492
på et euklidsk plan, får du en linje.

282
00:11:14,492 --> 00:11:15,846
Og i fremtiden kommer du til å se at

283
00:11:15,846 --> 00:11:17,723
det er andre typer likninger der du 
ikke får en linje.

284
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
Du får en kurve, eller noe annet merkelig noe.