WEBVTT

00:00:01.062 --> 00:00:03.636
Dette er et bilde av René Descartes.

00:00:03.636 --> 00:00:05.698
En av de store tenkerne,

00:00:05.698 --> 00:00:07.554
i både matematikk og filosofi.

00:00:07.554 --> 00:00:09.923
Jeg tror du kommer til å se en liten trend her

00:00:09.923 --> 00:00:13.190
at de største filosofene også var 
store matematikere

00:00:13.190 --> 00:00:15.200
og motsatt.

00:00:15.200 --> 00:00:17.021
Han var nesten samtidig med Galileo,

00:00:17.021 --> 00:00:18.733
han var 32 år yngre,

00:00:18.733 --> 00:00:21.706
men han døde kort etter at Galileo døde.

00:00:21.706 --> 00:00:23.467
Han døde i en mye yngre alder,

00:00:23.467 --> 00:00:25.400
Galileo var godt og vel 70,

00:00:25.400 --> 00:00:28.067
Descartes døde da han bare var 54 år gammel.

00:00:28.067 --> 00:00:30.867
Han er nok best allment kjent

00:00:30.867 --> 00:00:32.733
for sitatet her oppe,

00:00:32.733 --> 00:00:33.800
et veldig filosofisk ett.

00:00:33.800 --> 00:00:35.867
"Jeg tenker derfor er jeg."

00:00:35.867 --> 00:00:37.467
Men jeg vil også nevne,

00:00:37.467 --> 00:00:38.867
og dette har ikke så mye 
med algebra å gjøre,

00:00:38.867 --> 00:00:40.733
men jeg synes det er et stilig sitat,

00:00:40.733 --> 00:00:42.800
sikkert hans minst kjente.

00:00:42.800 --> 00:00:44.467
Dette her.

00:00:44.467 --> 00:00:46.800
Jeg liker det fordi det er veldig praktisk.

00:00:46.800 --> 00:00:48.852
Det får deg til å innse at disse store tenkerne,

NOTE Paragraph

00:00:48.852 --> 00:00:51.113
disse pilarene i filosofi og matematikk,

00:00:51.113 --> 00:00:52.282
når alt kommer til alt

00:00:52.282 --> 00:00:54.467
var de bare vanlige mennesker.

00:00:54.467 --> 00:00:56.498
Han sa: Du bare fortstetter.

00:00:56.498 --> 00:00:58.133
Du bare fortsetter.

00:00:58.133 --> 00:01:00.015
Jeg gjorde hver feil som kunne gjøres.

00:01:00.015 --> 00:01:02.031
Men jeg bare fortsatte."

00:01:02.031 --> 00:01:05.267
Et veldig godt råd i livet, synes jeg.

00:01:05.267 --> 00:01:07.733
Han gjorde mye

00:01:07.733 --> 00:01:09.077
i filosofi og matematikk,

00:01:09.077 --> 00:01:11.062
men årsaken til at jeg tar ham med her

00:01:11.062 --> 00:01:12.933
når vi legger fundamentet i algebra,

00:01:12.933 --> 00:01:15.600
er at han er den personen

00:01:15.600 --> 00:01:18.800
som er mest ansvarlig for 
et veldig sterkt forhold

00:01:18.800 --> 00:01:21.425
mellom algebra og geometri.

00:01:21.425 --> 00:01:22.898
Til venstre her,

00:01:22.898 --> 00:01:24.752
har du algebraens verden.

00:01:24.752 --> 00:01:26.415
Vi har diskutert den litt.

00:01:26.415 --> 00:01:28.477
Vi har ligninger som har med 
symboler å gjøre

00:01:28.477 --> 00:01:30.236
og symbolene

00:01:30.236 --> 00:01:31.933
kan påta seg verdier.

00:01:31.933 --> 00:01:32.800
Så du har noe som dette

00:01:32.800 --> 00:01:37.677
y = 2 ganger - 1

00:01:37.677 --> 00:01:39.267
Dette gir oss et forhold

00:01:39.267 --> 00:01:40.733
mellom det x måtte være

00:01:40.733 --> 00:01:42.133
og det y måtte være.

00:01:42.133 --> 00:01:44.333
Vi kan til og med lage en tabell her.

00:01:44.333 --> 00:01:46.733
Og velge verdiene til x

00:01:46.733 --> 00:01:48.292
og se hva y blir.

00:01:48.292 --> 00:01:51.652
Jeg kan velge vilkårlige verdier for x

00:01:51.652 --> 00:01:53.133
for så å finne ut hva y er.

00:01:53.133 --> 00:01:55.000
Men jeg velger ganke enkle verdier

00:01:55.000 --> 00:01:57.662
slik at matematikken ikke blir for komplisert.

00:01:57.662 --> 00:01:59.252
Så for eksempel,

00:01:59.252 --> 00:02:00.533
hvis x er -2

00:02:00.533 --> 00:02:03.600
blir y 2 ganger -2 minus 1

00:02:03.600 --> 00:02:06.513
2 ganger -2 minus 1

00:02:06.513 --> 00:02:10.113
som er -4 minus 1

00:02:10.113 --> 00:02:12.267
som er -5

00:02:12.267 --> 00:02:14.785
hvis x er -1

00:02:14.785 --> 00:02:20.452
da blir y 2 ganger -1 minus 1,

00:02:20.452 --> 00:02:21.733
som er lik,

00:02:21.733 --> 00:02:24.554
dette er -2 minus 1 som er -3.

00:02:24.554 --> 00:02:28.725
Hvis x = 0

00:02:28.725 --> 00:02:32.590
blir y 2 ganger 0 - 1.

00:02:32.600 --> 00:02:35.667
2 ganger 0 er 0 - 1 blir bare -1.

00:02:35.667 --> 00:02:37.333
Jeg tar et par til.

00:02:37.333 --> 00:02:38.282
Hvis x er 1

00:02:38.282 --> 00:02:39.421
Jeg kan velge enhver verdi her,

00:02:39.421 --> 00:02:40.352
hva skjer

00:02:40.352 --> 00:02:42.005
når x er minus kvadratroten av 2

00:02:42.005 --> 00:02:45.067
eller hva skjer hvis x er -5 halve

00:02:45.067 --> 00:02:47.867
eller pluss 6/7.

00:02:47.867 --> 00:02:49.000
Men jeg bare velger disse tallene

00:02:49.000 --> 00:02:50.600
fordi det gjør matten mye enklere

00:02:50.600 --> 00:02:52.600
når jeg prøver å finne ut hva y blir.

00:02:52.600 --> 00:02:54.133
Men når x er 1

00:02:54.133 --> 00:02:57.338
blir y 2 ganger 1 minus 1

00:02:57.338 --> 00:02:59.733
2 ganger 1 er 2 minus 1 er 1

00:02:59.733 --> 00:03:03.052
og jeg tar en til.

00:03:03.052 --> 00:03:05.133
I en farge jeg ikke har brukt enda,

00:03:05.133 --> 00:03:06.667
la oss se denne lilla.

00:03:06.667 --> 00:03:08.041
Hvis x er 2

00:03:08.041 --> 00:03:09.333
da blir y

00:03:09.333 --> 00:03:14.005
2 ganger 2 minus 1,

00:03:14.005 --> 00:03:16.615
slik at det er 4 - 1, som er lik 3.

00:03:16.615 --> 00:03:17.800
Så sant nok,

00:03:17.800 --> 00:03:19.548
jeg valgte eksempler på dette forholdet.

00:03:19.548 --> 00:03:22.533
Jeg sa, ok dette beskriver 
et generelt forhold

00:03:22.533 --> 00:03:25.200
mellom y-variabelen og x-variabelen

00:03:25.200 --> 00:03:26.908
og så gjorde jeg det litt mer konkret.

00:03:26.908 --> 00:03:28.000
Jeg sa ok,

00:03:28.000 --> 00:03:29.882
hvis x er en av disse variablene,

00:03:29.882 --> 00:03:31.200
for hver av disse x-verdiene,

00:03:31.200 --> 00:03:33.800
hva blir den tilsvarende y-verdien?

00:03:33.800 --> 00:03:35.698
Det Descartes forsto var

00:03:35.717 --> 00:03:37.467
at du kunne visualisere dette.

00:03:37.467 --> 00:03:40.405
Du kan visualisere individuelle punkter.

00:03:40.405 --> 00:03:42.667
Men generelt kan det også hjelpe deg

00:03:42.667 --> 00:03:45.800
å visualisere dette forholdet.

00:03:45.800 --> 00:03:47.333
Det han i virkeligheten gjorde var å

00:03:47.333 --> 00:03:52.329
bygge bro mellom den veldig abstrakte
og symbolske algebraen

00:03:52.329 --> 00:03:55.200
og geometrien som tok for seg

00:03:55.200 --> 00:03:57.600
former, størrelser og vinkler.

00:03:57.600 --> 00:04:02.933
Her borte har du geometriens verden.

00:04:02.933 --> 00:04:04.887
Det finnes sikkert mennesker 
i løpet av historien,

00:04:04.887 --> 00:04:07.067
kanskje mange som er blitt 
glemt av historien,

00:04:07.067 --> 00:04:09.067
som kanskje berørte dette.

00:04:09.067 --> 00:04:12.467
Men før Descartes anses det generelt

00:04:12.467 --> 00:04:14.800
at geometri betsto av euklidsk geometri.

00:04:14.800 --> 00:04:16.133
Det er rett og slett den geometrien

00:04:16.133 --> 00:04:17.533
du lærer i geometriklassen

00:04:17.533 --> 00:04:20.333
i åttende, niende og tiendeklasse

00:04:20.333 --> 00:04:22.533
i et tradisjonelt pensum for ungdomsskolen.

00:04:22.533 --> 00:04:24.200
Det er geometrien som ser på

00:04:24.200 --> 00:04:28.554
forholdene mellom trekanter 
og vinklene deres

00:04:28.554 --> 00:04:30.667
og forholdene mellom sirkler,

00:04:30.667 --> 00:04:33.887
du har radius og du har trekanter

00:04:33.887 --> 00:04:36.200
innskrevet i sirkler og så videre.

00:04:36.200 --> 00:04:37.190
Vi går mer i dybden

00:04:37.190 --> 00:04:39.667
av det i geometrispillelisten.

00:04:39.667 --> 00:04:42.938
Men Descartes tenkte, jeg tror
jeg kan presentere dette visuelt,

00:04:42.938 --> 00:04:46.581
på samme måten som Euclid studerte 
trekantene og sirklene,

00:04:46.581 --> 00:04:48.299
hvorfor ikke, tenkte han.

00:04:48.299 --> 00:04:50.575
Hvis vi ser på et papirark,

00:04:50.575 --> 00:04:52.339
og tenker på et todimensjonalt plan,

00:04:52.339 --> 00:04:53.825
du kan se et papirark

00:04:53.825 --> 00:04:55.915
som en del av et todimensjonalt plan.

00:04:55.915 --> 00:04:57.819
Vi kaller det to dimensjoner

00:04:57.819 --> 00:04:59.584
fordi du har to retninger å gå i.

00:04:59.584 --> 00:05:01.256
Det er opp-ned retningen,

00:05:01.256 --> 00:05:02.510
det er en retning.

00:05:02.510 --> 00:05:04.825
La meg tegne den i blått,

00:05:04.841 --> 00:05:06.666
fordi vi prøver å visualisere ting

00:05:06.666 --> 00:05:08.384
så jeg tegner det i geometrifargen.

00:05:08.384 --> 00:05:11.827
Så du har opp-ned-retningen

00:05:11.827 --> 00:05:14.139
og så har du venstre-høyre-retningen.

00:05:14.139 --> 00:05:16.720
Derfor heter det et to-dimensjonalt plan.

00:05:16.720 --> 00:05:18.160
Hvis vi har tre dimensjoner,

00:05:18.160 --> 00:05:21.339
har du en ut-inn-dimensjon.

00:05:21.339 --> 00:05:23.200
Det er veldig enkelt å vise 
to dimensjoner på skjermen

00:05:23.200 --> 00:05:25.425
fordi den er to-dimensjonal.

00:05:25.425 --> 00:05:27.071
Og han sa, vel, du vet

00:05:27.071 --> 00:05:29.744
det er to variabler her og de står 
i et forhold til hverandre,

00:05:29.744 --> 00:05:32.548
så hvorfor ikke knytte hver variabel

00:05:32.548 --> 00:05:34.600
til en av dimensjonene her borte?

00:05:34.600 --> 00:05:38.010
Siden det er vanlig,
la y-variablen,

00:05:38.010 --> 00:05:39.421
som virkelig er den variablen 
som avhenger,

00:05:39.421 --> 00:05:40.456
slik vi gjorde det,

00:05:40.456 --> 00:05:41.815
avhenger den av hva x er.

00:05:41.815 --> 00:05:43.605
La oss plassere den 
på den vertikale aksen,

00:05:43.605 --> 00:05:45.333
og den uavhengige variabelen,

00:05:45.333 --> 00:05:46.800
der jeg valgte verdier vilkårlig,

00:05:46.800 --> 00:05:48.348
for å se hva y blir,

00:05:48.348 --> 00:05:50.867
la oss plassere den 
på den horisontale aksen.

00:05:50.867 --> 00:05:52.533
Det var faktisk Descartes

00:05:52.533 --> 00:05:55.600
som startet tradisjonen
med å bruke x-er, y-er

00:05:55.600 --> 00:05:58.600
og som vi skal se z-er,
i utstrakt grad i algebra,

00:05:58.600 --> 00:06:02.098
som ukjente variabler sammen med 
variablene vi forandrer.

00:06:02.098 --> 00:06:03.867
Men han sa, vel, hvis vi tenker på 
det på denne måten,

00:06:03.867 --> 00:06:07.452
hvis vi gir et tall til disse dimensjonene,

00:06:07.452 --> 00:06:09.723
la oss si at x i denne retningen

00:06:09.723 --> 00:06:15.702
la oss si at dette er -3,

00:06:15.702 --> 00:06:17.805
la oss si at dette er -2,

00:06:17.805 --> 00:06:19.498
dette er -1,

00:06:19.498 --> 00:06:21.067
dette er 0.

00:06:21.067 --> 00:06:23.800
Jeg gir bare tall til x retningen,

00:06:23.800 --> 00:06:25.333
venstre-høyre-retningen.

00:06:25.333 --> 00:06:26.837
Dette er pluss 1,

00:06:26.837 --> 00:06:28.338
dette er pluss 2

00:06:28.338 --> 00:06:30.169
og dette er pluss 3.

00:06:30.169 --> 00:06:32.333
Vi kan gjøre det samme i y-retningen.

00:06:32.333 --> 00:06:34.400
Så la oss se, dette blir

00:06:34.400 --> 00:06:40.400
la oss si at dette er -5, -4, -3

00:06:40.400 --> 00:06:42.333
forresten, la meg gjøre det 
litt mer elegant,

00:06:42.333 --> 00:06:45.067
la meg rydde opp litt.

00:06:45.067 --> 00:06:47.800
La meg viske ut dette og utvide det litt

00:06:47.800 --> 00:06:49.533
slik at jeg kan gå helt ned til -5

00:06:49.533 --> 00:06:51.867
uten at det blir for rotete.

00:06:51.867 --> 00:06:53.410
Så la oss gå helt ned hit.

00:06:53.410 --> 00:06:54.867
Så vi kan nummerere det.

00:06:54.867 --> 00:06:58.144
Dette er 1, dette er 2, dette er 3,

00:06:58.144 --> 00:07:00.867
og dette blir -1,

00:07:00.867 --> 00:07:02.733
-2 og disse er alle konvensjoner,

00:07:02.733 --> 00:07:04.067
det kan gjøres på en annen måte.

00:07:04.067 --> 00:07:05.692
Vi kunne bestemt oss for å 
plassere x-en der

00:07:05.692 --> 00:07:06.733
og y-en der.

00:07:06.733 --> 00:07:07.969
og gjøre dette til den positive retningen,

00:07:07.969 --> 00:07:09.277
og dette til den negative.

00:07:09.277 --> 00:07:11.333
Men dette er bare en konvensjon som 
folk begynte å bruke,

00:07:11.333 --> 00:07:12.733
og det begynte med Descartes.

00:07:12.733 --> 00:07:18.062
-2, -3, -4 og -5.

00:07:18.062 --> 00:07:20.200
Han sa, jeg kan forbinde

00:07:20.200 --> 00:07:22.667
hvert av disse verdiparene med

00:07:22.667 --> 00:07:25.333
et to-dimensjonalt punkt.

00:07:25.333 --> 00:07:28.467
Jeg kan ta x-koordinaten, 
jeg kan ta x-verdien,

00:07:28.467 --> 00:07:30.333
her borte og si, OK, det er -2,

00:07:30.333 --> 00:07:34.195
det ville blitt rett der borte langs
venstre-høyre-retningen,

00:07:34.195 --> 00:07:35.831
jeg går mot venstre fordi det er minus,

00:07:35.831 --> 00:07:39.395
og den er forbundet med -5 
i den vertikale retningen.

00:07:39.395 --> 00:07:41.667
Så jeg sier at y verdien er -5.

00:07:41.667 --> 00:07:46.400
Hvis jeg går to til venstre og 5 ned,

00:07:46.400 --> 00:07:49.267
kommer jeg til dette punktet her borte.

00:07:49.267 --> 00:07:53.518
Så han sa, disse to verdiene -2 og -5,

00:07:53.518 --> 00:07:55.733
kan jeg forbinde med dette punktet

00:07:55.733 --> 00:07:59.133
på dette planet her borte, i dette 
to-dimensjonale planet.

00:07:59.133 --> 00:08:02.933
Dette punktet har koordinatene,

00:08:02.933 --> 00:08:06.400
og forteller meg hvor jeg finner
punktet (-2, -5).

00:08:06.400 --> 00:08:08.959
Disse koordinatene heter
"kartesiske koordinater"

00:08:08.959 --> 00:08:12.077
oppkalt etter René Descartes,

00:08:12.077 --> 00:08:13.800
han var den som fant på dem.

00:08:13.800 --> 00:08:15.067
Han knyttet plutselig disse forholdene

00:08:15.067 --> 00:08:17.667
til punkter langs et koordinatplan.

00:08:17.667 --> 00:08:19.800
Så sa han, "vel ok, la oss ta en til."

00:08:19.800 --> 00:08:21.600
Det er dette andre forholdet,

00:08:21.600 --> 00:08:27.452
der x er lik -1, y = -3,

00:08:27.452 --> 00:08:30.031
slik at x er -1, y er -3.

00:08:30.031 --> 00:08:31.544
Det er punktet her borte.

00:08:31.544 --> 00:08:33.333
Konvensjonen er nok en gang,

00:08:33.333 --> 00:08:34.375
når du fører koordinatene,

00:08:34.375 --> 00:08:36.600
skriver du x-koordinaten, 
deretter y-koordinaten.

00:08:36.600 --> 00:08:38.400
Det var bare slik de 
begynte å gjøre det.

00:08:38.400 --> 00:08:42.067
-1, -3 blir det punktet her borte.

00:08:42.067 --> 00:08:45.933
Så har du punktet der x er 0, y er -1,

00:08:45.933 --> 00:08:48.067
når x er 0 er her,

00:08:48.067 --> 00:08:50.267
jeg går ikke til høyre eller venstre,

00:08:50.267 --> 00:08:52.667
y er -1, som betyr at jeg går 1 ned,

00:08:52.667 --> 00:08:56.390
til punktet her 0, -1.

00:08:56.390 --> 00:08:57.359
Akkurat der.

00:08:57.359 --> 00:08:58.852
Jeg kan fortsette å gjøre dette.

00:08:58.852 --> 00:09:03.810
Når x er 1, er y 1.

00:09:03.810 --> 00:09:09.575
Når x er 2, er y 3.

00:09:09.575 --> 00:09:11.733
La meg skrive det i lillafargen.

00:09:11.733 --> 00:09:15.400
Når x er 2, er y 3.

00:09:15.400 --> 00:09:20.652
2,3, og denne i orange er 1,1.

00:09:20.652 --> 00:09:22.195
Dette er fint slik.

00:09:22.195 --> 00:09:24.615
Jeg bare valgte mulige xer,

00:09:24.615 --> 00:09:25.867
men det han forsto var

00:09:25.867 --> 00:09:27.775
at ikke bare velger man mulige xer,

00:09:27.775 --> 00:09:29.677
men fortsetter du å velge xer,

00:09:29.677 --> 00:09:31.318
hvis du velger alle xene i mellom

00:09:31.318 --> 00:09:34.000
har du faktisk tegnet en linje.

00:09:34.000 --> 00:09:36.067
Slik at hvis du tar alle mulige xer

00:09:36.067 --> 00:09:38.067
ender du opp med å tegne en linje

00:09:38.067 --> 00:09:44.492
som ser omtrent slik ut...her borte.

00:09:44.492 --> 00:09:47.533
I ethvert forhold, velger du enhver x

00:09:47.533 --> 00:09:50.867
og finner enhver y, representerer de 
egentlig et punkt på linjen.

00:09:50.867 --> 00:09:52.400
En annen måte å forstå det på,

00:09:52.400 --> 00:09:54.171
er at hvert punkt på linjen er

00:09:54.171 --> 00:09:57.051
en løsning på likningen her.

00:09:57.051 --> 00:09:58.902
Slik at hvis du har dette punktet her,

00:09:58.902 --> 00:10:01.600
som ser ut som x er 1 og en halv,

00:10:01.600 --> 00:10:03.467
er y 2. Så la meg skrive det.

00:10:03.467 --> 00:10:07.133
1.5, 2

00:10:07.133 --> 00:10:09.133
Det er løsningen på denne likningen.

00:10:09.133 --> 00:10:13.652
Når x er 1.5. 2 ganger 1,5 
er 3 - 1 er 2,

00:10:13.652 --> 00:10:15.600
det står her borte.

00:10:15.600 --> 00:10:17.400
Plutselig kunne han bygge bro mellom

00:10:17.400 --> 00:10:22.400
avstanden eller forholdet mellom
algebra og geometri.

00:10:22.400 --> 00:10:27.133
Vi kan nå visualisere alle
x- og y-parene,

00:10:27.133 --> 00:10:31.498
som tilfredstiller likningen her.

00:10:31.498 --> 00:10:36.092
Slik at han var ansvarlig for 
å bygge denne broen

00:10:36.092 --> 00:10:38.067
Derfor kalles koordinatene

00:10:38.067 --> 00:10:42.677
vi bruker for å spesifisere disse 
punktene "kartesiske koordinater."

00:10:42.677 --> 00:10:45.467
Vi skal se at er den første typen likninger

00:10:45.467 --> 00:10:48.600
vi studerer er likninger av denne 
typen her borte.

00:10:48.600 --> 00:10:50.446
I et tradisjonelt algebrapensum

00:10:50.446 --> 00:10:52.733
kalles de lineære likninger.

00:10:52.733 --> 00:10:55.733
Lineære likninger.

00:10:55.733 --> 00:10:57.738
Du tenker kanskje at du ser
at det er en likning.

00:10:57.738 --> 00:10:59.533
At du ser at det er lik det.

00:10:59.533 --> 00:11:00.744
Men hva er så lineært ved dem?

00:11:00.744 --> 00:11:02.333
Hva får dem til å se ut som en linje?

00:11:02.333 --> 00:11:04.379
For å forstå hvorfor de er lineære,

00:11:04.379 --> 00:11:07.467
må du ta steget 
René Descartes tok.

00:11:07.467 --> 00:11:09.133
Fordi hvis du tegner dette

00:11:09.133 --> 00:11:10.759
ved å bruke kartesiske koordinater

00:11:10.759 --> 00:11:14.492
på et euklidsk plan, får du en linje.

00:11:14.492 --> 00:11:15.846
Og i fremtiden kommer du til å se at

00:11:15.846 --> 00:11:17.723
det er andre typer likninger der du 
ikke får en linje.

00:11:17.723 --> 00:11:21.656
Du får en kurve, eller noe annet merkelig noe.