0:00:01.062,0:00:03.636
Dette er et bilde av René Descartes.

0:00:03.636,0:00:05.698
En av de store tenkerne,

0:00:05.698,0:00:07.554
i både matematikk og filosofi.

0:00:07.554,0:00:09.923
Jeg tror du kommer til å se en liten trend her

0:00:09.923,0:00:13.190
at de største filosofene også var [br]store matematikere

0:00:13.190,0:00:15.200
og motsatt.

0:00:15.200,0:00:17.021
Han var nesten samtidig med Galileo,

0:00:17.021,0:00:18.733
han var 32 år yngre,

0:00:18.733,0:00:21.706
men han døde kort etter at Galileo døde.

0:00:21.706,0:00:23.467
Han døde i en mye yngre alder,

0:00:23.467,0:00:25.400
Galileo var godt og vel 70,

0:00:25.400,0:00:28.067
Descartes døde da han bare var 54 år gammel.

0:00:28.067,0:00:30.867
Han er nok best allment kjent

0:00:30.867,0:00:32.733
for sitatet her oppe,

0:00:32.733,0:00:33.800
et veldig filosofisk ett.

0:00:33.800,0:00:35.867
"Jeg tenker derfor er jeg."

0:00:35.867,0:00:37.467
Men jeg vil også nevne,

0:00:37.467,0:00:38.867
og dette har ikke så mye [br]med algebra å gjøre,

0:00:38.867,0:00:40.733
men jeg synes det er et stilig sitat,

0:00:40.733,0:00:42.800
sikkert hans minst kjente.

0:00:42.800,0:00:44.467
Dette her.

0:00:44.467,0:00:46.800
Jeg liker det fordi det er veldig praktisk.

0:00:46.800,0:00:48.852
Det får deg til å innse at disse store tenkerne,

0:00:48.852,0:00:51.113
disse pilarene i filosofi og matematikk,

0:00:51.113,0:00:52.282
når alt kommer til alt

0:00:52.282,0:00:54.467
var de bare vanlige mennesker.

0:00:54.467,0:00:56.498
Han sa: Du bare fortstetter.

0:00:56.498,0:00:58.133
Du bare fortsetter.

0:00:58.133,0:01:00.015
Jeg gjorde hver feil som kunne gjøres.

0:01:00.015,0:01:02.031
Men jeg bare fortsatte."

0:01:02.031,0:01:05.267
Et veldig godt råd i livet, synes jeg.

0:01:05.267,0:01:07.733
Han gjorde mye

0:01:07.733,0:01:09.077
i filosofi og matematikk,

0:01:09.077,0:01:11.062
men årsaken til at jeg tar ham med her

0:01:11.062,0:01:12.933
når vi legger fundamentet i algebra,

0:01:12.933,0:01:15.600
er at han er den personen

0:01:15.600,0:01:18.800
som er mest ansvarlig for [br]et veldig sterkt forhold

0:01:18.800,0:01:21.425
mellom algebra og geometri.

0:01:21.425,0:01:22.898
Til venstre her,

0:01:22.898,0:01:24.752
har du algebraens verden.

0:01:24.752,0:01:26.415
Vi har diskutert den litt.

0:01:26.415,0:01:28.477
Vi har ligninger som har med [br]symboler å gjøre

0:01:28.477,0:01:30.236
og symbolene

0:01:30.236,0:01:31.933
kan påta seg verdier.

0:01:31.933,0:01:32.800
Så du har noe som dette

0:01:32.800,0:01:37.677
y = 2 ganger - 1

0:01:37.677,0:01:39.267
Dette gir oss et forhold

0:01:39.267,0:01:40.733
mellom det x måtte være

0:01:40.733,0:01:42.133
og det y måtte være.

0:01:42.133,0:01:44.333
Vi kan til og med lage en tabell her.

0:01:44.333,0:01:46.733
Og velge verdiene til x

0:01:46.733,0:01:48.292
og se hva y blir.

0:01:48.292,0:01:51.652
Jeg kan velge vilkårlige verdier for x

0:01:51.652,0:01:53.133
for så å finne ut hva y er.

0:01:53.133,0:01:55.000
Men jeg velger ganke enkle verdier

0:01:55.000,0:01:57.662
slik at matematikken ikke blir for komplisert.

0:01:57.662,0:01:59.252
Så for eksempel,

0:01:59.252,0:02:00.533
hvis x er -2

0:02:00.533,0:02:03.600
blir y 2 ganger -2 minus 1

0:02:03.600,0:02:06.513
2 ganger -2 minus 1

0:02:06.513,0:02:10.113
som er -4 minus 1

0:02:10.113,0:02:12.267
som er -5

0:02:12.267,0:02:14.785
hvis x er -1

0:02:14.785,0:02:20.452
da blir y 2 ganger -1 minus 1,

0:02:20.452,0:02:21.733
som er lik,

0:02:21.733,0:02:24.554
dette er -2 minus 1 som er -3.

0:02:24.554,0:02:28.725
Hvis x = 0

0:02:28.725,0:02:32.590
blir y 2 ganger 0 - 1.

0:02:32.600,0:02:35.667
2 ganger 0 er 0 - 1 blir bare -1.

0:02:35.667,0:02:37.333
Jeg tar et par til.

0:02:37.333,0:02:38.282
Hvis x er 1

0:02:38.282,0:02:39.421
Jeg kan velge enhver verdi her,

0:02:39.421,0:02:40.352
hva skjer

0:02:40.352,0:02:42.005
når x er minus kvadratroten av 2

0:02:42.005,0:02:45.067
eller hva skjer hvis x er -5 halve

0:02:45.067,0:02:47.867
eller pluss 6/7.

0:02:47.867,0:02:49.000
Men jeg bare velger disse tallene

0:02:49.000,0:02:50.600
fordi det gjør matten mye enklere

0:02:50.600,0:02:52.600
når jeg prøver å finne ut hva y blir.

0:02:52.600,0:02:54.133
Men når x er 1

0:02:54.133,0:02:57.338
blir y 2 ganger 1 minus 1

0:02:57.338,0:02:59.733
2 ganger 1 er 2 minus 1 er 1

0:02:59.733,0:03:03.052
og jeg tar en til.

0:03:03.052,0:03:05.133
I en farge jeg ikke har brukt enda,

0:03:05.133,0:03:06.667
la oss se denne lilla.

0:03:06.667,0:03:08.041
Hvis x er 2

0:03:08.041,0:03:09.333
da blir y

0:03:09.333,0:03:14.005
2 ganger 2 minus 1,

0:03:14.005,0:03:16.615
slik at det er 4 - 1, som er lik 3.

0:03:16.615,0:03:17.800
Så sant nok,

0:03:17.800,0:03:19.548
jeg valgte eksempler på dette forholdet.

0:03:19.548,0:03:22.533
Jeg sa, ok dette beskriver [br]et generelt forhold

0:03:22.533,0:03:25.200
mellom y-variabelen og x-variabelen

0:03:25.200,0:03:26.908
og så gjorde jeg det litt mer konkret.

0:03:26.908,0:03:28.000
Jeg sa ok,

0:03:28.000,0:03:29.882
hvis x er en av disse variablene,

0:03:29.882,0:03:31.200
for hver av disse x-verdiene,

0:03:31.200,0:03:33.800
hva blir den tilsvarende y-verdien?

0:03:33.800,0:03:35.698
Det Descartes forsto var

0:03:35.717,0:03:37.467
at du kunne visualisere dette.

0:03:37.467,0:03:40.405
Du kan visualisere individuelle punkter.

0:03:40.405,0:03:42.667
Men generelt kan det også hjelpe deg

0:03:42.667,0:03:45.800
å visualisere dette forholdet.

0:03:45.800,0:03:47.333
Det han i virkeligheten gjorde var å

0:03:47.333,0:03:52.329
bygge bro mellom den veldig abstrakte[br]og symbolske algebraen

0:03:52.329,0:03:55.200
og geometrien som tok for seg

0:03:55.200,0:03:57.600
former, størrelser og vinkler.

0:03:57.600,0:04:02.933
Her borte har du geometriens verden.

0:04:02.933,0:04:04.887
Det finnes sikkert mennesker [br]i løpet av historien,

0:04:04.887,0:04:07.067
kanskje mange som er blitt [br]glemt av historien,

0:04:07.067,0:04:09.067
som kanskje berørte dette.

0:04:09.067,0:04:12.467
Men før Descartes anses det generelt

0:04:12.467,0:04:14.800
at geometri betsto av euklidsk geometri.

0:04:14.800,0:04:16.133
Det er rett og slett den geometrien

0:04:16.133,0:04:17.533
du lærer i geometriklassen

0:04:17.533,0:04:20.333
i åttende, niende og tiendeklasse

0:04:20.333,0:04:22.533
i et tradisjonelt pensum for ungdomsskolen.

0:04:22.533,0:04:24.200
Det er geometrien som ser på

0:04:24.200,0:04:28.554
forholdene mellom trekanter [br]og vinklene deres

0:04:28.554,0:04:30.667
og forholdene mellom sirkler,

0:04:30.667,0:04:33.887
du har radius og du har trekanter

0:04:33.887,0:04:36.200
innskrevet i sirkler og så videre.

0:04:36.200,0:04:37.190
Vi går mer i dybden

0:04:37.190,0:04:39.667
av det i geometrispillelisten.

0:04:39.667,0:04:42.938
Men Descartes tenkte, jeg tror[br]jeg kan presentere dette visuelt,

0:04:42.938,0:04:46.581
på samme måten som Euclid studerte [br]trekantene og sirklene,

0:04:46.581,0:04:48.299
hvorfor ikke, tenkte han.

0:04:48.299,0:04:50.575
Hvis vi ser på et papirark,

0:04:50.575,0:04:52.339
og tenker på et todimensjonalt plan,

0:04:52.339,0:04:53.825
du kan se et papirark

0:04:53.825,0:04:55.915
som en del av et todimensjonalt plan.

0:04:55.915,0:04:57.819
Vi kaller det to dimensjoner

0:04:57.819,0:04:59.584
fordi du har to retninger å gå i.

0:04:59.584,0:05:01.256
Det er opp-ned retningen,

0:05:01.256,0:05:02.510
det er en retning.

0:05:02.510,0:05:04.825
La meg tegne den i blått,

0:05:04.841,0:05:06.666
fordi vi prøver å visualisere ting

0:05:06.666,0:05:08.384
så jeg tegner det i geometrifargen.

0:05:08.384,0:05:11.827
Så du har opp-ned-retningen

0:05:11.827,0:05:14.139
og så har du venstre-høyre-retningen.

0:05:14.139,0:05:16.720
Derfor heter det et to-dimensjonalt plan.

0:05:16.720,0:05:18.160
Hvis vi har tre dimensjoner,

0:05:18.160,0:05:21.339
har du en ut-inn-dimensjon.

0:05:21.339,0:05:23.200
Det er veldig enkelt å vise [br]to dimensjoner på skjermen

0:05:23.200,0:05:25.425
fordi den er to-dimensjonal.

0:05:25.425,0:05:27.071
Og han sa, vel, du vet

0:05:27.071,0:05:29.744
det er to variabler her og de står [br]i et forhold til hverandre,

0:05:29.744,0:05:32.548
så hvorfor ikke knytte hver variabel

0:05:32.548,0:05:34.600
til en av dimensjonene her borte?

0:05:34.600,0:05:38.010
Siden det er vanlig,[br]la y-variablen,

0:05:38.010,0:05:39.421
som virkelig er den variablen [br]som avhenger,

0:05:39.421,0:05:40.456
slik vi gjorde det,

0:05:40.456,0:05:41.815
avhenger den av hva x er.

0:05:41.815,0:05:43.605
La oss plassere den [br]på den vertikale aksen,

0:05:43.605,0:05:45.333
og den uavhengige variabelen,

0:05:45.333,0:05:46.800
der jeg valgte verdier vilkårlig,

0:05:46.800,0:05:48.348
for å se hva y blir,

0:05:48.348,0:05:50.867
la oss plassere den [br]på den horisontale aksen.

0:05:50.867,0:05:52.533
Det var faktisk Descartes

0:05:52.533,0:05:55.600
som startet tradisjonen[br]med å bruke x-er, y-er

0:05:55.600,0:05:58.600
og som vi skal se z-er,[br]i utstrakt grad i algebra,

0:05:58.600,0:06:02.098
som ukjente variabler sammen med [br]variablene vi forandrer.

0:06:02.098,0:06:03.867
Men han sa, vel, hvis vi tenker på [br]det på denne måten,

0:06:03.867,0:06:07.452
hvis vi gir et tall til disse dimensjonene,

0:06:07.452,0:06:09.723
la oss si at x i denne retningen

0:06:09.723,0:06:15.702
la oss si at dette er -3,

0:06:15.702,0:06:17.805
la oss si at dette er -2,

0:06:17.805,0:06:19.498
dette er -1,

0:06:19.498,0:06:21.067
dette er 0.

0:06:21.067,0:06:23.800
Jeg gir bare tall til x retningen,

0:06:23.800,0:06:25.333
venstre-høyre-retningen.

0:06:25.333,0:06:26.837
Dette er pluss 1,

0:06:26.837,0:06:28.338
dette er pluss 2

0:06:28.338,0:06:30.169
og dette er pluss 3.

0:06:30.169,0:06:32.333
Vi kan gjøre det samme i y-retningen.

0:06:32.333,0:06:34.400
Så la oss se, dette blir

0:06:34.400,0:06:40.400
la oss si at dette er -5, -4, -3

0:06:40.400,0:06:42.333
forresten, la meg gjøre det [br]litt mer elegant,

0:06:42.333,0:06:45.067
la meg rydde opp litt.

0:06:45.067,0:06:47.800
La meg viske ut dette og utvide det litt

0:06:47.800,0:06:49.533
slik at jeg kan gå helt ned til -5

0:06:49.533,0:06:51.867
uten at det blir for rotete.

0:06:51.867,0:06:53.410
Så la oss gå helt ned hit.

0:06:53.410,0:06:54.867
Så vi kan nummerere det.

0:06:54.867,0:06:58.144
Dette er 1, dette er 2, dette er 3,

0:06:58.144,0:07:00.867
og dette blir -1,

0:07:00.867,0:07:02.733
-2 og disse er alle konvensjoner,

0:07:02.733,0:07:04.067
det kan gjøres på en annen måte.

0:07:04.067,0:07:05.692
Vi kunne bestemt oss for å [br]plassere x-en der

0:07:05.692,0:07:06.733
og y-en der.

0:07:06.733,0:07:07.969
og gjøre dette til den positive retningen,

0:07:07.969,0:07:09.277
og dette til den negative.

0:07:09.277,0:07:11.333
Men dette er bare en konvensjon som [br]folk begynte å bruke,

0:07:11.333,0:07:12.733
og det begynte med Descartes.

0:07:12.733,0:07:18.062
-2, -3, -4 og -5.

0:07:18.062,0:07:20.200
Han sa, jeg kan forbinde

0:07:20.200,0:07:22.667
hvert av disse verdiparene med

0:07:22.667,0:07:25.333
et to-dimensjonalt punkt.

0:07:25.333,0:07:28.467
Jeg kan ta x-koordinaten, [br]jeg kan ta x-verdien,

0:07:28.467,0:07:30.333
her borte og si, OK, det er -2,

0:07:30.333,0:07:34.195
det ville blitt rett der borte langs[br]venstre-høyre-retningen,

0:07:34.195,0:07:35.831
jeg går mot venstre fordi det er minus,

0:07:35.831,0:07:39.395
og den er forbundet med -5 [br]i den vertikale retningen.

0:07:39.395,0:07:41.667
Så jeg sier at y verdien er -5.

0:07:41.667,0:07:46.400
Hvis jeg går to til venstre og 5 ned,

0:07:46.400,0:07:49.267
kommer jeg til dette punktet her borte.

0:07:49.267,0:07:53.518
Så han sa, disse to verdiene -2 og -5,

0:07:53.518,0:07:55.733
kan jeg forbinde med dette punktet

0:07:55.733,0:07:59.133
på dette planet her borte, i dette [br]to-dimensjonale planet.

0:07:59.133,0:08:02.933
Dette punktet har koordinatene,

0:08:02.933,0:08:06.400
og forteller meg hvor jeg finner[br]punktet (-2, -5).

0:08:06.400,0:08:08.959
Disse koordinatene heter[br]"kartesiske koordinater"

0:08:08.959,0:08:12.077
oppkalt etter René Descartes,

0:08:12.077,0:08:13.800
han var den som fant på dem.

0:08:13.800,0:08:15.067
Han knyttet plutselig disse forholdene

0:08:15.067,0:08:17.667
til punkter langs et koordinatplan.

0:08:17.667,0:08:19.800
Så sa han, "vel ok, la oss ta en til."

0:08:19.800,0:08:21.600
Det er dette andre forholdet,

0:08:21.600,0:08:27.452
der x er lik -1, y = -3,

0:08:27.452,0:08:30.031
slik at x er -1, y er -3.

0:08:30.031,0:08:31.544
Det er punktet her borte.

0:08:31.544,0:08:33.333
Konvensjonen er nok en gang,

0:08:33.333,0:08:34.375
når du fører koordinatene,

0:08:34.375,0:08:36.600
skriver du x-koordinaten, [br]deretter y-koordinaten.

0:08:36.600,0:08:38.400
Det var bare slik de [br]begynte å gjøre det.

0:08:38.400,0:08:42.067
-1, -3 blir det punktet her borte.

0:08:42.067,0:08:45.933
Så har du punktet der x er 0, y er -1,

0:08:45.933,0:08:48.067
når x er 0 er her,

0:08:48.067,0:08:50.267
jeg går ikke til høyre eller venstre,

0:08:50.267,0:08:52.667
y er -1, som betyr at jeg går 1 ned,

0:08:52.667,0:08:56.390
til punktet her 0, -1.

0:08:56.390,0:08:57.359
Akkurat der.

0:08:57.359,0:08:58.852
Jeg kan fortsette å gjøre dette.

0:08:58.852,0:09:03.810
Når x er 1, er y 1.

0:09:03.810,0:09:09.575
Når x er 2, er y 3.

0:09:09.575,0:09:11.733
La meg skrive det i lillafargen.

0:09:11.733,0:09:15.400
Når x er 2, er y 3.

0:09:15.400,0:09:20.652
2,3, og denne i orange er 1,1.

0:09:20.652,0:09:22.195
Dette er fint slik.

0:09:22.195,0:09:24.615
Jeg bare valgte mulige xer,

0:09:24.615,0:09:25.867
men det han forsto var

0:09:25.867,0:09:27.775
at ikke bare velger man mulige xer,

0:09:27.775,0:09:29.677
men fortsetter du å velge xer,

0:09:29.677,0:09:31.318
hvis du velger alle xene i mellom

0:09:31.318,0:09:34.000
har du faktisk tegnet en linje.

0:09:34.000,0:09:36.067
Slik at hvis du tar alle mulige xer

0:09:36.067,0:09:38.067
ender du opp med å tegne en linje

0:09:38.067,0:09:44.492
som ser omtrent slik ut...her borte.

0:09:44.492,0:09:47.533
I ethvert forhold, velger du enhver x

0:09:47.533,0:09:50.867
og finner enhver y, representerer de [br]egentlig et punkt på linjen.

0:09:50.867,0:09:52.400
En annen måte å forstå det på,

0:09:52.400,0:09:54.171
er at hvert punkt på linjen er

0:09:54.171,0:09:57.051
en løsning på likningen her.

0:09:57.051,0:09:58.902
Slik at hvis du har dette punktet her,

0:09:58.902,0:10:01.600
som ser ut som x er 1 og en halv,

0:10:01.600,0:10:03.467
er y 2. Så la meg skrive det.

0:10:03.467,0:10:07.133
1.5, 2

0:10:07.133,0:10:09.133
Det er løsningen på denne likningen.

0:10:09.133,0:10:13.652
Når x er 1.5. 2 ganger 1,5 [br]er 3 - 1 er 2,

0:10:13.652,0:10:15.600
det står her borte.

0:10:15.600,0:10:17.400
Plutselig kunne han bygge bro mellom

0:10:17.400,0:10:22.400
avstanden eller forholdet mellom[br]algebra og geometri.

0:10:22.400,0:10:27.133
Vi kan nå visualisere alle[br]x- og y-parene,

0:10:27.133,0:10:31.498
som tilfredstiller likningen her.

0:10:31.498,0:10:36.092
Slik at han var ansvarlig for [br]å bygge denne broen

0:10:36.092,0:10:38.067
Derfor kalles koordinatene

0:10:38.067,0:10:42.677
vi bruker for å spesifisere disse [br]punktene "kartesiske koordinater."

0:10:42.677,0:10:45.467
Vi skal se at er den første typen likninger

0:10:45.467,0:10:48.600
vi studerer er likninger av denne [br]typen her borte.

0:10:48.600,0:10:50.446
I et tradisjonelt algebrapensum

0:10:50.446,0:10:52.733
kalles de lineære likninger.

0:10:52.733,0:10:55.733
Lineære likninger.

0:10:55.733,0:10:57.738
Du tenker kanskje at du ser[br]at det er en likning.

0:10:57.738,0:10:59.533
At du ser at det er lik det.

0:10:59.533,0:11:00.744
Men hva er så lineært ved dem?

0:11:00.744,0:11:02.333
Hva får dem til å se ut som en linje?

0:11:02.333,0:11:04.379
For å forstå hvorfor de er lineære,

0:11:04.379,0:11:07.467
må du ta steget [br]René Descartes tok.

0:11:07.467,0:11:09.133
Fordi hvis du tegner dette

0:11:09.133,0:11:10.759
ved å bruke kartesiske koordinater

0:11:10.759,0:11:14.492
på et euklidsk plan, får du en linje.

0:11:14.492,0:11:15.846
Og i fremtiden kommer du til å se at

0:11:15.846,0:11:17.723
det er andre typer likninger der du [br]ikke får en linje.

0:11:17.723,0:11:21.656
Du får en kurve, eller noe annet merkelig noe.