Tích vô hướng và độ dài của vectơ | Vectơ và Không gian | Đại số tuyến tính | Khan Academy

Định nghĩa của tích vô hướng và độ dài vectơ.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/proving-vector-dot-product-properties?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/subspace_basis/v/linear-algebra-basis-of-a-subspace?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Đại số tuyến tính trên Khan Academy: Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Đại số tuyến tính của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UCGYSKl6e3HM0PP7QR35Crug?sub_confirmation=1

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Mình đã có một vài định nghĩa về phép toán

liên quan tới vectơ.

Mình đã định nghĩa phép cộng vectơ,

bạn cũng đã thấy.

Nếu bạn có hai vectơ, a1, a2

đến a_n.

Mình tìm vectơ này cộng với

vectơ khác b1, b2

đến b_n, là vectơ thứ ba.

Nếu bạn cộng hai cái này lại, mình sẽ có

phép cộng sẽ cho ra vectơ thứ ba

mà mỗi vectơ thành phần là tổng của các

vectơ thành phần tương ứng.

Vậy nó sẽ là a1 cộng b1, a2 cộng b2,

đến a_n cộng b_n.

Mình đã làm cái này trong nhiều video khác

mà bạn có thể sử dụng định nghĩa phép cộng vectơ.

Và ta cũng biết về tích của một số thực
với vectơ

Tích của một số thực nhân với vectơ (scalar multiplication)

Đó là khi, nếu mình có số thực c,

và mình nhân nó với vectơ a1, a2

đến a_n, mình định nghĩa phép nhân này

là tích của đại lượng vô hướng nhân vectơ

tức là mỗi vectơ thành phần sẽ được

nhân bởi một đại lượng vô hướng,

ca1, ca2, đến ca_n.

Sau khi xem hai phép toán này

bạn nghĩ liệu có cách nào

để nhân hai vectơ với nhau không?

Đây chỉ là đại lượng vô hướng nhân vectơ,
mình chỉ lấy tỉ lệ thôi.

Đó là bản chất của cái này.

Nếu bạn hình dung nó trong không gian ba chiều.

Nó chỉ đang chỉnh tỉ lệ của vectơ.

Ta còn chưa xác định chính xác kích thước,

nhưng ít nhất bạn hiểu phép tính này.

Vậy để nhân vectơ hay lấy tích các vectơ,

có hai cách để làm.

Mình sẽ chỉ làm một cách ở video này.

Và nó gọi là tích vô hướng (dot product)

Mình sẽ kí hiệu tích vô hướng bằng cách
ghi là a chấm b.

Nó dùng một cách ghi phép nhân ở đây,

nhưng mình không thể dùng dấu gạch chéo x.

Sẽ bị hiểu nhầm qua

một phép nhân vectơ khác.

Vậy tích vô hướng,

nó khá là rõ ràng

không như tích có hướng.

Nó khá hay bởi vì nó sẽ có,

vậy đây là a1, a2, đến a_n.

vectơ này sẽ nhân với vectơ b, b1, b2, đến b_n

Nó sẽ bằng tích của mỗi vectơ thành phần tương ứng.

Vậy a1 b1 cộng a2 b2 cộng a3 b3

cộng đến a_n b_n.

Vậy đây có phải vectơ chưa?

Chưa nhé, nó chỉ mới là con số thực thôi.

Bạn chỉ mới lấy tích rồi cộng lại một dãy các số thực thôi.

Vậy cái này sẽ là đại lượng vô hướng (số thực).

Vậy trong tích vô hướng, bạn nhân hai vectơ,

và cho kết quả là một giá trị vô hướng.

Để mình cho bạn một vài ví dụ

để mọi thứ rõ ràng hơn nhé.

Mình sẽ tính tích vô hướng của

vectơ 2,5 và vectơ 7,1

Cái này sẽ bằng 2 nhân 7, cộng 5

nhân 1, hay 14 cộng 6.

À không.

14 cộng 5 sẽ là 19.

Vậy tích vô hướng của hai vectơ này
bằng 19.

Để mình làm thêm một ví dụ nữa.

Mình sẽ dùng màu tím.

Mình có vectơ 1,2,3 và mình sẽ tính tích vô hướng

của nó với vectơ -2,0,5.

Vậy nó sẽ là 1 nhân (-2),
cộng 2 nhân 0, cộng 3 nhân 5.

Vậy nó sẽ là -2 cộng 0 cộng 15.

-2 cộng 15 sẽ bằng 13.

Đây là tích vô hướng theo định nghĩa

Giờ mình sẽ tiếp tục một định nghĩa khác.

Mình sẽ định nghĩa độ dài của một vectơ.

Có thể bạn nghĩ bạn biết phải tính như thế nào.

Mấy bài toán này bạn làm từ bé.

Sao đến giờ mình vẫn phải nhắc lại.

Nhưng mà đối với trình độ đại học

thì mình sẽ đo độ dài theo kiểu khác.

Và giờ mình sẽ làm mọi thứ
hơi trừu tượng một xíu.

Mình sẽ tính nó trong hơn cả không gian ba chiều

như bạn thường thấy.

Các vectơ này có thể có

50 vectơ thành phần.

Và định nghĩa độ dài của mình sẽ vẫn đúng

với 50 vectơ thành phần này.

Và định nghĩa độ dài này

sẽ vẫn giống với khái niệm độ dài bình thường.

Nếu mình tính độ dài của a, và kí hiệu là

hai đường đôi này quanh vectơ.

Vậy độ dài vectơ của mình bằng--

cái này là theo định nghĩa nhé.

Nó bằng căn bậc 2 của mỗi số hạng này,

mỗi thành phần, bình phương lên.

Mình sẽ cộng nó lại hết.

Cộng a2 bình, cộng đến a_n bình.

Cái này khá là dễ hiểu.

Nếu mình muốn tính-- mình sẽ gọi đây là vectơ b,

nếu mình muốn tính độ lớn của vectơ b,

nó sẽ là gì?

Nó sẽ là căn bậc 2 của 2 bình cộng 5 bình

nó sẽ bằng gì nhỉ?

Đây là 4 cộng 25.

Nó sẽ bằng căn bậc 2 của 29.

Vậy đây là độ dài của vectơ này.

Có thể là bạn đã biết cái này rồi.

Ta cần dùng định lý Pytago thôi.

Nếu mình vẽ vectơ b, để mình vẽ nhé.

Đây là hai trục của mình.

Nếu mình vẽ nó theo dạng chuẩn.

Qua phải 2

1, 2.

Và lên 5.

1, 2, 3, 4, 5

Như thế này đây.

vectơ b của mình sẽ như thế này.

Theo định lý Pytago thì,

nếu mình muốn tìm độ dài của vectơ này

khi thuộc R2,

mình có cạnh này (cạnh 2 đơn vị), và cạnh này (cạnh 5 đơn vị)

Nó sẽ là phép lấy căn của định lí Pytago.

Căn bậc 2 của 2 bình cộng 5 bình.

Giống chính xác cái ta vừa làm ở đây.

Vậy định nghĩa độ dài này hoàn toàn giống

với những gì bạn nghĩ về

đo độ dài trong không gian một, hai, ba chiều, đúng không?

Và điều dễ dàng là giờ ta có thể

tính độ dài của vectơ có 50 vectơ thành phần.

Cái mình nghĩ mình sẽ khó

tưởng tượng được theo cách truyền thống.

Và ta có thể áp dụng khái niệm này

và có thể tính hơi trừu tượng hơn

so với tính độ dài bình thường.

Vậy độ dài liên quan gì đến tích vô hướng?

Nếu mình lấy tích vô hướng của a
với chính nó thì sao?

Tích vô hướng của a và a là gì?

Nó sẽ bằng -- để mình viết lại --

a1 đến a_n chấm

a1 đến a_n lần nữa.

Nó sẽ bằng a1 nhân a1, sẽ là a1 bình.

cộng với a2 nhân a2

là a2 bình.

Cộng đến, mình cứ nhân tiếp tục

đến a_n nhân a_n, thì sẽ bằng a_n bình.

Còn cái này thì sao?

Cái này cũng giống như phần dưới căn mà bạn đã thấy.

Hai cái này bằng nhau.

Vậy nếu mình có thể định nghĩa độ dài của vectơ,

dưới dạng định nghĩa của tích vô hướng,

Nó bằng căn bậc 2 tích vô hướng của vectơ với chính nó

Hoặc nếu mình bình phương cả hai vế,

thì định nghĩa mới về độ dài này bình, sẽ bằng tích vô hướng của vectơ đó

với chính nó.

Cái này khá là gọn rồi, thật ra cũng không cần thiết để chứng minh đâu,

Và mình sẽ còn dùng nó trong các video sau này.

Đây là phần giới thiệu của tích vô hướng

và chiều dài của vectơ.

Trong video tiếp theo, mình sẽ giới thiệu thêm

một vài tính chất khá phổ thông của nó.

Mình sẽ giới thiệu chúng

để ta dùng cho các chứng minh về sau.