Tích vô hướng và độ dài của vectơ | Vectơ và Không gian | Đại số tuyến tính | Khan Academy

Định nghĩa của tích vô hướng và độ dài vector.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/proving-vector-dot-product-properties?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/subspace_basis/v/linear-algebra-basis-of-a-subspace?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Mình đã có một vài định nghĩa về
phép toán

liên quan tới vectơ.

Mình đã định nghĩa phép cộng vectơ,

bạn cũng đã thấy.

Nếu bạn có 2 vectơ, a1, a2

và đến a_n.

Mình tìm vectơ này cộng với

vectơ khác b1, b2

và đến b_n, là vectơ thứ ba.

Nếu bạn cộng hai cái này lại, mình sẽ có

phép cộng sẽ cho ra vectơ thứ ba

mà mỗi vectơ thành phần là tổng của các

vectơ thành phần tương ứng
của hai vectơ mà bạn đang cộng lại.

Vậy nó sẽ là a1 + b1, a2 + b2,

và đến a_n + b_n.

Mình đã làm cái này trong nhiều video khác

mà có sử dụng định nghĩa phép cộng vectơ.

Và mình cũng biết về tích của một số thực
với vectơ

Phép nhân đại lượng vô hướng.

Đối là khi, nếu mình có số thực c,

và mình nhân nó với vecto a1, a2

cho đến a_n, mình định nghĩa phép nhân này

là một đại lượng vô hướng nhân vectơ

tức là mỗi vecto thành phần sẽ được

nhân bởi một đại lượng vô hướng,

ca1, ca2, và đến ca_n.

Có thể sau khi thấy hai phép toán này

bạn nghĩ kiểu có cách nào

để nhân hai vecto với nhau không?

Này chỉ là đại lượng vô hướng nhân vecto,
mình chỉ lấy tỉ lệ thôi.

Nó thực sự là cách làm của cái này

nếu bạn tưởng tượng nó theo 3D.

Vậy nó chỉ đang chỉnh tỉ lệ của vecto.

Mình chưa định nghĩa chính xác độ lớn,

mà mong là bạn hiểu phép toán này nhé.

Vậy để nhân vecto hay lấy tích các vecto,

có hai cách để làm.

Mình sẽ chỉ nhắc đến một cái nhé.

Và nó gọi là tích vô hướng (dot product)

Mình sẽ kí hiệu tích vô hướng bằng cách
ghi là a chấm b.

Nó dùng một cách ghi phép nhân ở đây,

nhưng mà mình không được dùng dấu nhân x.

Nó sẽ hiểu nhầm qua

một phép nhân khác.

Vậy tích vô hướng,

nó khá là rõ ràng và dễ hiểu

không như tích có hướng.

Nó khá hay bởi vì nó sẽ có,

vậy đây là a1, a2, đến a_n.

Vecto đó sẽ nhân với vecto b1, b2,
và đến b_n

nó sẽ bằng tích của mỗi vecto thành phần

tương ứng.

Vậy a1b1 + a2b2 + a3b3

cho tới + a_n b_n.

Vậy đây có phải vecto chưa?

Chưa nhé, nó chỉ mới là con số.

Này sẽ là số thực thôi.

Bạn chỉ lấy tích rồi cộng lại một dãy

các số thực.

Vậy cái này sẽ là đại lượng vô hướng.

Ở đây mình sẽ có đại lượng vô hướng nhé.

Vậy trong tích vô hướng, bạn nhân hai vecto,

và sẽ có một giá trị vô hướng.

Để mình cho bạn một vài ví dụ

cho mọi thứ rõ ràng nhé.

Mình sẽ đi tính tích vô hướng của

vecto 2,5 và vecto 7,1

Cái này sẽ bằng 2 nhân 7, cộng 5

nhân 1, hay 14 cộng 6.

À không.

14 cộng 5 sẽ là 19.

Vậy tích vô hướng của hai vecto này
bằng 19.

Để mình làm thêm một ví dụ nữa nhé.

Mình sẽ đổi màu khác.

Được rồi.

Mình có vecto 1, 2, 3
và mình sẽ tính tích vô hướng

của nó với vecto -2, 0, 5.

Vậy nó sẽ là 1 nhân (-2),
cộng 2 nhân 0, cộng 3 nhân 5.

Vậy nó sẽ là -2 cộng 0 cộng 15.

-2 cộng 15 sẽ bằng 13.

Này là tích vô hướng theo định nghĩa

Giờ mình sẽ tiếp tục một định nghĩa khác.

Mình sẽ đi tìm độ dài của vecto.

Có thể bạn nghĩ là bạn biết độ dài
tính như nào mà.

Mấy bài toán này bạn làm từ bé.

Sao đến giờ mình vẫn phải nhắc đi nhắc lại

Nhưng mà đối với trình độ đại học

thì mình sẽ đo độ dài theo kiểu khác.

Và giờ mình sẽ làm mọi thứ
hơi trừu tượng một xíu.

Mình sẽ tính nó ra khỏi không gian 3 chiều

như bạn thường thấy.

Mình đang cho là các vecto này có

50 vecto thành phần.

Và định nghĩa độ dài của mình sẽ vẫn đúng

với 50 vecto thành phần này.

Vậy định nghĩa độ dài của mình là,

nó sẽ vẫn đúng với độ dài bình thường.

Nếu mình lấy độ dài của a, và kí hiệu là

hai đường đôi này quanh vecto.

Vậy độ dài vecto của mình bằng--

cái này là theo định nghĩa nhé.

Nó bằng căn của mỗi số hạng này,

mỗi thành phần, bình phương lên.

Mình sẽ cộng nó lại hết.

Cộng a2 bình, cộng tất cả
cho tới n_n bình.

Cái này khá là dễ hiểu.

Nếu mình lấy, mình sẽ gọi nó là vecto b,

nếu mình muốn tính độ lớn của vecto b,

nó sẽ là gì?

Nó sẽ là căn của 2 bình cộng 5 bình

nó sẽ bằng gì nhỉ?

Đây là 4 cộng 25.

Nó sẽ bằng căn của 29.

Vậy đây là độ dài vecto.

Có thể là bạn đã biết cái này rồi.

Này là định lý Pytago thôi.

Nếu mình vẽ vecto b, để mình vẽ nhé.

Đây là hai trục của mình.

Vecto b sẽ nhìn như này,

nếu mình vẽ nó theo dạng chuẩn.

Mình sẽ qua phải 2

1, 2.

Và mình sẽ lên 5.

1, 2, 3, 4, 5

Vậy nó sẽ nhìn như thế này đây.

Vecto b của mình sẽ như này.

Theo định lý Pytago thì,

nếu mình muốn tìm độ dài của vecto này

khi mình đang thuộc R2,

mình sẽ lấy cạnh 2 này, và sẽ lấy cạnh 5,

nó sẽ là phép lấy căn như Pytago đó.

căn của 2 bình cộng 5 bình.

Đây là chính xác như vậy luôn.

Vậy định nghĩa độ dài này khá giống

với những gì bạn nghĩ đúng không?

2D hay 3D thì cũng sẽ vẫn vậy.

Nhưng mà giờ thì mình có thể nghĩ về

độ dài của vecto mà có 50 vecto thành phần.

Mà mình nghĩ mình sẽ khó có thể

tưởng tượng theo cách truyền thống được.

Nhưng mà nếu mình áp dụng khái niệm này

và có thể làm nó hơi trừu tượng xíu

so với độ dài bình thường.

Bây giờ, sao để mình làm nó trong tích vô hướng?

Nếu mình lấy tích vô hướng của a
với chính nó thì sao?

Vậy tích phân của a và a là gì?

Nó sẽ bằng -- để mình viết lại --

a1 đi tới a_n sẽ nhân với

a1 đi tới a_n lần nữa.

Nó sẽ bằng a1 nhân a1, sẽ là a1 bình.

cộng với a2 nhân a2

a2 bình.

Cộng cho tới, mình cứ nhân tiếp tục

cho tới a_n nhân a_n, thì sẽ bằng a_n bình.

Nhưng cái này thì sao?

Cái này cũng giống như cái bạn thấy
dưới dấu căn thôi.

Hai cái đó bằng nhau.

Vậy nếu mình xác định độ dài của vecto,

mình có thể viết nó dưới dạng tích vô hướng,

theo định nghĩa tích vô hướng.

Nó bằng căn của vecto tự lấy tích vô hướng.

Hoặc nếu mình bình phương cả hai bên,

thì độ dài bình phương sẽ bằng với
tích vô hướng của vecto đó

với chính nó.

Cái này khá là gọn rồi,
thật ra cũng không cần thiết để chứng minh

nhưng mà kết quả khá là gọn rồi,

và mình sẽ còn nó nữa trong các video sau này.

Đây là phần giới thiệu của tích vô hướng

và chiều dài của nó.

Trong video tiếp theo, mình sẽ giới thiệu thêm

một vài tính chất của nó.

Mình sẽ cứ viết hết ra

để sau này mình còn sử dụng hết được nữa.