Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

Nel video sul completamento del quadrato continuavo a dire che l'equazione di secondo grado

e' solo il completamento del quadrato,

tipo una scorciatoia per il completamento del quadrato.

E avevo l'impressione di aver gia' fatto questa

dimostrazione, ma ora mi rendo conto che non l'ho fatta.

Quindi fammiti dimostrare l'equazione quadratica attraverso

il completamento del quadrato.

Usando il completamento del quadrato.

Diciamo che ho un'equazione quadratica.

Suppongo che l'equazione quadratica è effettivamente quello che stai cercando di

risolvere, mentre quello che un sacco di gente chiama l'equazione quadratica

e' in realtà la formula quadratica.

Ma comunque non voglio restare impigliato nella terminologia.

Ma diciamo che ho un'equazione di secondo grado che dice

Ax^2 + Bx + C = 0.

E usiamo semplicemente il completamento del quadrato.

Quindi come lo facciamo?

Beh sottraiamo C da entrambi i lati in modo da ottenere

Ax^2 + Bx = -C.

E come ho gia' detto nel video sul completamento del quadrato

non mi piace avere questo coefficiente A qui.

Mi piace avere solo il coefficiente 1 sul termine

x^2 quindi fammi dividere tutto per A.

Quindi ottengo x^2 + (B/A)x = --- devi

dividere entrambi i lati per A --- -C/A.

Ora siamo pronti per il completamento del quadrato.

Cos'era il completamento del quadrato?

Beh è in aggiungere qualcosa in qualche modo a questa espressione così che

prenda la forma di qualcosa che è il quadrato

di un'espressione.

Che voglio dire con questo?

Beh, lo faccio qui da una parte.

Se ti dicessi che (x + a)^2, è uguale a

x^2 + 2ax + a^2, giusto?

Quindi, se potessi aggiungere qualcosa qui affinché il lato sinistro

di questa espressione sembri fatta cosi', potrei

andare nella direzione opposta.

Potrei dire che questo sara' (x + qualcosa)^2.

Quindi che cosa devo sommare su entrambi i lati?

Se hai visto il video sul completamento del quadrato, dovrebbe essere

intuitivo per te, si spera.

Quello che fai è dire: beh, questo B/A, questo corrisponde al

termine 2a, quindi A sara' la metà di questo, sara'

la metà di questo coefficiente.

Questo sarebbe la A.

E poi quello che devo aggiungere e' A al quadrato.

Quindi devo prendere la metà di questo, elevarlo al quadrato

e poi aggiungerlo a entrambi i lati.

Fammelo fare in un colore diverso.

Lo faccio in magenta.

Quindi prendo la metà di questo --- sto solo completando

il quadrato, faccio solo questo, nessuna magia qui ---

quindi piu' la metà di questo.

Beh, la metà di quello è B/2A, giusto?

Moltiplichi semplicemente per 1/2.

E lo devo elevare al quadrato.

Beh, se l'ho fatto sul lato sinistro dell'equazione,

devo farlo anche a destra.

Quindi più (B/2A)^2.

E ora ho questo lato sinistro dell'equazione nella

forma che è il quadrato di un'espressione che è

x più di qualcosa.

E che cosa si tratta?

Beh questo è uguale a --- fammi cambiare di nuovo colore --- a cosa

e' uguale il lato sinistro di questa equazione?

E puoi semplicemente usare questo modello e andare a sinistra.

E' x più che cosa?

Bene abbiamo detto: a --- puoi farlo in due modi --- una è 1/2 di questo

coefficiente o a è la radice quadrata del coefficiente di o

visto che nemmeno lo abbiamo elevato sappiamo che questo

è a. B/2A è a.

Quindi è come dire (x + (b/2a))^2

e cio' è uguale a --- vediamo se possiamo semplificarlo

o renderlo un po' più pulito --- è uguale a ---

vedi, se avessi un denominatore comune --- sto solo usando un

po' d'algebra --- vedi, quando elevo questo al quadrato

diventa 4A^2 --- fammelo scrivere.

Questo è uguale a B^2 / 4A^2.

Giusto?

E percio' se devo sommare queste due frazioni, fammelo rendere

pari 4A^2.

Giusto?

E se il denominatore è 4A^2, che cosa

diventa -C/A ?

Se moltiplico il denominatore per 4A devo

moltiplicare il numeratore per 4A.

Percio' questo diventa -4AC, giusto?

E poi B^2 / 4A^2, beh e'

ancora solo B^2.

Sto solo usando un po' di algrebra.

Spero non ti stia confondendo.

Ho solo scritto questo in forma espansa.

Ho solo fatto il quadrato di questo, B^2 / 4A^2.

E poi ho sommato questo a questo, ho ottenuto un denominatore comune.

E -C/A è come -4AC / 4A^2.

E ora possiamo fare la radice quadrata di entrambi

i lati di questa equazione.

E si spera che questo inizi a sembrarti

un po' familiare.

Quindi vediamo, otteniamo x.

Quindi, se facciamo la radice quadrata di entrambi i lati di questa equazione

otteniamo x + B/2A è uguale alla radice quadrata di questo ---

facciamo la radice quadrata del numeratore e del demoninatore.

Quindi il numeratore è --- metto prima la B^2, scambio

solo l'ordine, non importa ---

la radice quadrata di B^2 - 4AC, giusto?

Questo è solo il numeratore.

Faccio solo la radice quadrata di questo, e dobbiamo fare anche

la radice quadrata del denominatore.

Quant'e' la radice quadrata di 4A^2?

Beh è solo 2A, giusto?

2A.

E ora che cosa facciamo?

Oh, è molto importante!

Quando facciamo la radice quadrata, non è solo la

radice quadrata positiva.

È piu' o meno radice quadrata.

L'abbiamo visto un paio di volte, quando abbiamo fatto --- e potresti

dire: anche qui e' piu' o meno, ma se metti il più o meno

sulla parte superiore e un più o meno sul fondo,

ti basta scriverlo una volta sola sulla parte superiore.

Ti lascio a pensare perché lo devi scrivere una volta sola.

Se hai un meno e un piu', o un piu' e un piu'

si annullano, o un negativo e un negativo,

che è come avere un piu' di sopra.

Comunque, mi sa che hai capito.

E ora dobbiamo solo sottrarre B/2A da entrambi i lati.

e otteniamo, otteniamo --- e questa è la parte emozionante --- otteniamo x

è uguale a -B/2A piu' o meno questa cosa, quindi

- B^2 - 4AC, tutto questo su 2A.

E abbiamo già un denominatore comune, quindi possiamo

semplicemente sommare le frazioni.

Quindi abbiamo ottenuto --- e lo faccio in un vibrante grassetto ---

non lo so, magari non troppo grassetto, ok, in verde --- quindi abbiamo

otteniamo x è uguale a, numeratore, -B più o meno

radice di B^2 - 4AC, tutto questo su 2A.

E questa è la famosa formula quadratica.

Percio' ecco qua, l'abbiamo dimostrata.

E l'abbiamo dimostrata semplicemente usando il completamento del quadrato.

Spero che tu lo abbia trovato almeno vagamente interessante.

Ci vediamo nel prossimo video.