Nel video sul completamento del quadrato continuavo a dire che l'equazione di secondo grado
e' solo il completamento del quadrato,
tipo una scorciatoia per il completamento del quadrato.
E avevo l'impressione di aver gia' fatto questa
dimostrazione, ma ora mi rendo conto che non l'ho fatta.
Quindi fammiti dimostrare l'equazione quadratica attraverso
il completamento del quadrato.
Usando il completamento del quadrato.
Diciamo che ho un'equazione quadratica.
Suppongo che l'equazione quadratica è effettivamente quello che stai cercando di
risolvere, mentre quello che un sacco di gente chiama l'equazione quadratica
e' in realtà la formula quadratica.
Ma comunque non voglio restare impigliato nella terminologia.
Ma diciamo che ho un'equazione di secondo grado che dice
Ax^2 + Bx + C = 0.
E usiamo semplicemente il completamento del quadrato.
Quindi come lo facciamo?
Beh sottraiamo C da entrambi i lati in modo da ottenere
Ax^2 + Bx = -C.
E come ho gia' detto nel video sul completamento del quadrato
non mi piace avere questo coefficiente A qui.
Mi piace avere solo il coefficiente 1 sul termine
x^2 quindi fammi dividere tutto per A.
Quindi ottengo x^2 + (B/A)x = --- devi
dividere entrambi i lati per A --- -C/A.
Ora siamo pronti per il completamento del quadrato.
Cos'era il completamento del quadrato?
Beh è in aggiungere qualcosa in qualche modo a questa espressione così che
prenda la forma di qualcosa che è il quadrato
di un'espressione.
Che voglio dire con questo?
Beh, lo faccio qui da una parte.
Se ti dicessi che (x + a)^2, è uguale a
x^2 + 2ax + a^2, giusto?
Quindi, se potessi aggiungere qualcosa qui affinché il lato sinistro
di questa espressione sembri fatta cosi', potrei
andare nella direzione opposta.
Potrei dire che questo sara' (x + qualcosa)^2.
Quindi che cosa devo sommare su entrambi i lati?
Se hai visto il video sul completamento del quadrato, dovrebbe essere
intuitivo per te, si spera.
Quello che fai è dire: beh, questo B/A, questo corrisponde al
termine 2a, quindi A sara' la metà di questo, sara'
la metà di questo coefficiente.
Questo sarebbe la A.
E poi quello che devo aggiungere e' A al quadrato.
Quindi devo prendere la metà di questo, elevarlo al quadrato
e poi aggiungerlo a entrambi i lati.
Fammelo fare in un colore diverso.
Lo faccio in magenta.
Quindi prendo la metà di questo --- sto solo completando
il quadrato, faccio solo questo, nessuna magia qui ---
quindi piu' la metà di questo.
Beh, la metà di quello è B/2A, giusto?
Moltiplichi semplicemente per 1/2.
E lo devo elevare al quadrato.
Beh, se l'ho fatto sul lato sinistro dell'equazione,
devo farlo anche a destra.
Quindi più (B/2A)^2.
E ora ho questo lato sinistro dell'equazione nella
forma che è il quadrato di un'espressione che è
x più di qualcosa.
E che cosa si tratta?
Beh questo è uguale a --- fammi cambiare di nuovo colore --- a cosa
e' uguale il lato sinistro di questa equazione?
E puoi semplicemente usare questo modello e andare a sinistra.
E' x più che cosa?
Bene abbiamo detto: a --- puoi farlo in due modi --- una è 1/2 di questo
coefficiente o a è la radice quadrata del coefficiente di o
visto che nemmeno lo abbiamo elevato sappiamo che questo
è a. B/2A è a.
Quindi è come dire (x + (b/2a))^2
e cio' è uguale a --- vediamo se possiamo semplificarlo
o renderlo un po' più pulito --- è uguale a ---
vedi, se avessi un denominatore comune --- sto solo usando un
po' d'algebra --- vedi, quando elevo questo al quadrato
diventa 4A^2 --- fammelo scrivere.
Questo è uguale a B^2 / 4A^2.
Giusto?
E percio' se devo sommare queste due frazioni, fammelo rendere
pari 4A^2.
Giusto?
E se il denominatore è 4A^2, che cosa
diventa -C/A ?
Se moltiplico il denominatore per 4A devo
moltiplicare il numeratore per 4A.
Percio' questo diventa -4AC, giusto?
E poi B^2 / 4A^2, beh e'
ancora solo B^2.
Sto solo usando un po' di algrebra.
Spero non ti stia confondendo.
Ho solo scritto questo in forma espansa.
Ho solo fatto il quadrato di questo, B^2 / 4A^2.
E poi ho sommato questo a questo, ho ottenuto un denominatore comune.
E -C/A è come -4AC / 4A^2.
E ora possiamo fare la radice quadrata di entrambi
i lati di questa equazione.
E si spera che questo inizi a sembrarti
un po' familiare.
Quindi vediamo, otteniamo x.
Quindi, se facciamo la radice quadrata di entrambi i lati di questa equazione
otteniamo x + B/2A è uguale alla radice quadrata di questo ---
facciamo la radice quadrata del numeratore e del demoninatore.
Quindi il numeratore è --- metto prima la B^2, scambio
solo l'ordine, non importa ---
la radice quadrata di B^2 - 4AC, giusto?
Questo è solo il numeratore.
Faccio solo la radice quadrata di questo, e dobbiamo fare anche
la radice quadrata del denominatore.
Quant'e' la radice quadrata di 4A^2?
Beh è solo 2A, giusto?
2A.
E ora che cosa facciamo?
Oh, è molto importante!
Quando facciamo la radice quadrata, non è solo la
radice quadrata positiva.
È piu' o meno radice quadrata.
L'abbiamo visto un paio di volte, quando abbiamo fatto --- e potresti
dire: anche qui e' piu' o meno, ma se metti il più o meno
sulla parte superiore e un più o meno sul fondo,
ti basta scriverlo una volta sola sulla parte superiore.
Ti lascio a pensare perché lo devi scrivere una volta sola.
Se hai un meno e un piu', o un piu' e un piu'
si annullano, o un negativo e un negativo,
che è come avere un piu' di sopra.
Comunque, mi sa che hai capito.
E ora dobbiamo solo sottrarre B/2A da entrambi i lati.
e otteniamo, otteniamo --- e questa è la parte emozionante --- otteniamo x
è uguale a -B/2A piu' o meno questa cosa, quindi
- B^2 - 4AC, tutto questo su 2A.
E abbiamo già un denominatore comune, quindi possiamo
semplicemente sommare le frazioni.
Quindi abbiamo ottenuto --- e lo faccio in un vibrante grassetto ---
non lo so, magari non troppo grassetto, ok, in verde --- quindi abbiamo
otteniamo x è uguale a, numeratore, -B più o meno
radice di B^2 - 4AC, tutto questo su 2A.
E questa è la famosa formula quadratica.
Percio' ecco qua, l'abbiamo dimostrata.
E l'abbiamo dimostrata semplicemente usando il completamento del quadrato.
Spero che tu lo abbia trovato almeno vagamente interessante.
Ci vediamo nel prossimo video.