1
00:00:00,720 --> 00:00:03,130
Nel video sul completamento del quadrato continuavo a dire che l'equazione di secondo grado

2
00:00:03,130 --> 00:00:05,810
e' solo il completamento del quadrato,

3
00:00:05,810 --> 00:00:07,450
tipo una scorciatoia per il completamento del quadrato.

4
00:00:07,450 --> 00:00:10,220
E avevo l'impressione di aver gia' fatto questa

5
00:00:10,220 --> 00:00:12,120
dimostrazione, ma ora mi rendo conto che non l'ho fatta.

6
00:00:12,120 --> 00:00:15,750
Quindi fammiti dimostrare l'equazione quadratica attraverso

7
00:00:15,750 --> 00:00:16,690
il completamento del quadrato.

8
00:00:16,690 --> 00:00:19,820
Usando il completamento del quadrato.

9
00:00:19,820 --> 00:00:23,210
Diciamo che ho un'equazione quadratica.

10
00:00:23,210 --> 00:00:25,870
Suppongo che l'equazione quadratica è effettivamente quello che stai cercando di

11
00:00:25,870 --> 00:00:28,760
risolvere, mentre quello che un sacco di gente chiama l'equazione quadratica

12
00:00:28,760 --> 00:00:29,960
e' in realtà la formula quadratica.

13
00:00:29,960 --> 00:00:33,100
Ma comunque non voglio restare impigliato nella terminologia.

14
00:00:33,100 --> 00:00:36,030
Ma diciamo che ho un'equazione di secondo grado che dice

15
00:00:36,030 --> 00:00:46,450
Ax^2 + Bx + C = 0.

16
00:00:46,450 --> 00:00:48,280
E usiamo semplicemente il completamento del quadrato.

17
00:00:48,280 --> 00:00:49,480
Quindi come lo facciamo?

18
00:00:49,480 --> 00:00:56,940
Beh sottraiamo C da entrambi i lati in modo da ottenere

19
00:00:56,940 --> 00:01:00,740
Ax^2 + Bx = -C.

20
00:01:00,740 --> 00:01:03,040
E come ho gia' detto nel video sul completamento del quadrato

21
00:01:03,040 --> 00:01:06,200
non mi piace avere questo coefficiente A qui.

22
00:01:06,200 --> 00:01:08,355
Mi piace avere solo il coefficiente 1 sul termine

23
00:01:08,355 --> 00:01:10,980
x^2 quindi fammi dividere tutto per A.

24
00:01:10,980 --> 00:01:21,440
Quindi ottengo x^2 + (B/A)x = --- devi

25
00:01:21,440 --> 00:01:24,695
dividere entrambi i lati per A --- -C/A.

26
00:01:27,940 --> 00:01:29,600
Ora siamo pronti per il completamento del quadrato.

27
00:01:29,600 --> 00:01:30,890
Cos'era il completamento del quadrato?

28
00:01:30,890 --> 00:01:34,790
Beh è in aggiungere qualcosa in qualche modo a questa espressione così che

29
00:01:34,790 --> 00:01:38,590
prenda la forma di qualcosa che è il quadrato

30
00:01:38,590 --> 00:01:39,140
di un'espressione.

31
00:01:39,140 --> 00:01:39,940
Che voglio dire con questo?

32
00:01:39,940 --> 00:01:43,400
Beh, lo faccio qui da una parte.

33
00:01:43,400 --> 00:01:51,950
Se ti dicessi che (x + a)^2, è uguale a

34
00:01:51,950 --> 00:01:57,500
x^2 + 2ax + a^2, giusto?

35
00:01:57,500 --> 00:02:01,330
Quindi, se potessi aggiungere qualcosa qui affinché il lato sinistro

36
00:02:01,330 --> 00:02:05,810
di questa espressione sembri fatta cosi', potrei

37
00:02:05,810 --> 00:02:06,330
andare nella direzione opposta.

38
00:02:06,330 --> 00:02:09,690
Potrei dire che questo sara' (x + qualcosa)^2.

39
00:02:09,690 --> 00:02:11,590
Quindi che cosa devo sommare su entrambi i lati?

40
00:02:11,590 --> 00:02:15,140
Se hai visto il video sul completamento del quadrato, dovrebbe essere

41
00:02:15,140 --> 00:02:17,730
intuitivo per te, si spera.

42
00:02:17,730 --> 00:02:21,510
Quello che fai è dire: beh, questo B/A, questo corrisponde al

43
00:02:21,510 --> 00:02:26,183
termine 2a, quindi A sara' la metà di questo, sara'

44
00:02:26,183 --> 00:02:28,010
la metà di questo coefficiente.

45
00:02:28,010 --> 00:02:29,100
Questo sarebbe la A.

46
00:02:29,100 --> 00:02:31,620
E poi quello che devo aggiungere e' A al quadrato.

47
00:02:31,620 --> 00:02:34,930
Quindi devo prendere la metà di questo, elevarlo al quadrato

48
00:02:34,930 --> 00:02:36,110
e poi aggiungerlo a entrambi i lati.

49
00:02:36,110 --> 00:02:38,865
Fammelo fare in un colore diverso.

50
00:02:38,865 --> 00:02:40,810
Lo faccio in magenta.

51
00:02:40,810 --> 00:02:42,650
Quindi prendo la metà di questo --- sto solo completando

52
00:02:42,650 --> 00:02:45,100
il quadrato, faccio solo questo, nessuna magia qui ---

53
00:02:45,100 --> 00:02:47,450
quindi piu' la metà di questo.

54
00:02:47,450 --> 00:02:50,230
Beh, la metà di quello è B/2A, giusto?

55
00:02:50,230 --> 00:02:52,130
Moltiplichi semplicemente per 1/2.

56
00:02:52,130 --> 00:02:54,240
E lo devo elevare al quadrato.

57
00:02:54,240 --> 00:02:55,893
Beh, se l'ho fatto sul lato sinistro dell'equazione,

58
00:02:55,893 --> 00:02:57,660
devo farlo anche a destra.

59
00:02:57,660 --> 00:03:01,206
Quindi più (B/2A)^2.

60
00:03:07,470 --> 00:03:10,670
E ora ho questo lato sinistro dell'equazione nella

61
00:03:10,670 --> 00:03:13,750
forma che è il quadrato di un'espressione che è

62
00:03:13,750 --> 00:03:14,950
x più di qualcosa.

63
00:03:14,950 --> 00:03:15,880
E che cosa si tratta?

64
00:03:15,880 --> 00:03:19,970
Beh questo è uguale a --- fammi cambiare di nuovo colore --- a cosa

65
00:03:19,970 --> 00:03:21,730
e' uguale il lato sinistro di questa equazione?

66
00:03:21,730 --> 00:03:24,520
E puoi semplicemente usare questo modello e andare a sinistra.

67
00:03:24,520 --> 00:03:28,730
E' x più che cosa?

68
00:03:28,730 --> 00:03:32,960
Bene abbiamo detto: a --- puoi farlo in due modi --- una è 1/2 di questo

69
00:03:32,960 --> 00:03:36,390
coefficiente o a è la radice quadrata del coefficiente di o

70
00:03:36,390 --> 00:03:38,310
visto che nemmeno lo abbiamo elevato sappiamo che questo

71
00:03:38,310 --> 00:03:40,970
è a. B/2A è a.

72
00:03:40,970 --> 00:03:49,060
Quindi è come dire (x + (b/2a))^2

73
00:03:49,060 --> 00:03:55,980
e cio' è uguale a --- vediamo se possiamo semplificarlo

74
00:03:55,980 --> 00:04:00,230
o renderlo un po' più pulito --- è uguale a ---

75
00:04:00,230 --> 00:04:04,760
vedi, se avessi un denominatore comune --- sto solo usando un

76
00:04:04,760 --> 00:04:07,600
po' d'algebra --- vedi, quando elevo questo al quadrato

77
00:04:07,600 --> 00:04:10,780
diventa 4A^2 --- fammelo scrivere.

78
00:04:10,780 --> 00:04:15,740
Questo è uguale a B^2 / 4A^2.

79
00:04:15,740 --> 00:04:16,710
Giusto?

80
00:04:16,710 --> 00:04:19,860
E percio' se devo sommare queste due frazioni, fammelo rendere

81
00:04:19,860 --> 00:04:29,550
pari 4A^2.

82
00:04:29,550 --> 00:04:30,330
Giusto?

83
00:04:30,330 --> 00:04:31,750
E se il denominatore è 4A^2, che cosa

84
00:04:31,750 --> 00:04:34,360
diventa -C/A ?

85
00:04:34,360 --> 00:04:40,280
Se moltiplico il denominatore per 4A devo

86
00:04:40,280 --> 00:04:41,810
moltiplicare il numeratore per 4A.

87
00:04:41,810 --> 00:04:50,090
Percio' questo diventa -4AC, giusto?

88
00:04:50,090 --> 00:04:53,030
E poi B^2 / 4A^2, beh e'

89
00:04:53,030 --> 00:04:54,810
ancora solo B^2.

90
00:04:54,810 --> 00:04:56,520
Sto solo usando un po' di algrebra.

91
00:04:56,520 --> 00:04:57,520
Spero non ti stia confondendo.

92
00:04:57,520 --> 00:04:59,470
Ho solo scritto questo in forma espansa.

93
00:04:59,470 --> 00:05:02,330
Ho solo fatto il quadrato di questo, B^2 / 4A^2.

94
00:05:02,330 --> 00:05:04,790
E poi ho sommato questo a questo, ho ottenuto un denominatore comune.

95
00:05:04,790 --> 00:05:09,710
E -C/A è come -4AC / 4A^2.

96
00:05:09,710 --> 00:05:11,570
E ora possiamo fare la radice quadrata di entrambi

97
00:05:11,570 --> 00:05:13,240
i lati di questa equazione.

98
00:05:13,240 --> 00:05:15,760
E si spera che questo inizi a sembrarti

99
00:05:15,760 --> 00:05:17,490
un po' familiare.

100
00:05:17,490 --> 00:05:19,290
Quindi vediamo, otteniamo x.

101
00:05:19,290 --> 00:05:21,080
Quindi, se facciamo la radice quadrata di entrambi i lati di questa equazione

102
00:05:21,080 --> 00:05:29,780
otteniamo x + B/2A è uguale alla radice quadrata di questo ---

103
00:05:29,780 --> 00:05:32,180
facciamo la radice quadrata del numeratore e del demoninatore.

104
00:05:32,180 --> 00:05:35,950
Quindi il numeratore è --- metto prima la B^2, scambio

105
00:05:35,950 --> 00:05:38,110
solo l'ordine, non importa ---

106
00:05:38,110 --> 00:05:43,660
la radice quadrata di B^2 - 4AC, giusto?

107
00:05:43,660 --> 00:05:46,440
Questo è solo il numeratore.

108
00:05:46,440 --> 00:05:48,240
Faccio solo la radice quadrata di questo, e dobbiamo fare anche

109
00:05:48,240 --> 00:05:49,770
la radice quadrata del denominatore.

110
00:05:49,770 --> 00:05:51,970
Quant'e' la radice quadrata di 4A^2?

111
00:05:51,970 --> 00:05:54,020
Beh è solo 2A, giusto?

112
00:05:54,020 --> 00:05:55,950
2A.

113
00:05:55,950 --> 00:05:56,800
E ora che cosa facciamo?

114
00:05:56,800 --> 00:05:58,640
Oh, è molto importante!

115
00:05:58,640 --> 00:06:00,400
Quando facciamo la radice quadrata, non è solo la

116
00:06:00,400 --> 00:06:01,070
radice quadrata positiva.

117
00:06:01,070 --> 00:06:03,450
È piu' o meno radice quadrata.

118
00:06:03,450 --> 00:06:06,600
L'abbiamo visto un paio di volte, quando abbiamo fatto --- e potresti

119
00:06:06,600 --> 00:06:09,090
dire: anche qui e' piu' o meno, ma se metti il più o meno

120
00:06:09,090 --> 00:06:10,800
sulla parte superiore e un più o meno sul fondo,

121
00:06:10,800 --> 00:06:12,290
ti basta scriverlo una volta sola sulla parte superiore.

122
00:06:12,290 --> 00:06:14,930
Ti lascio a pensare perché lo devi scrivere una volta sola.

123
00:06:14,930 --> 00:06:17,560
Se hai un meno e un piu', o un piu' e un piu'

124
00:06:17,560 --> 00:06:19,250
si annullano, o un negativo e un negativo,

125
00:06:19,250 --> 00:06:20,790
che è come avere un piu' di sopra.

126
00:06:20,790 --> 00:06:22,210
Comunque, mi sa che hai capito.

127
00:06:22,210 --> 00:06:26,140
E ora dobbiamo solo sottrarre B/2A da entrambi i lati.

128
00:06:26,140 --> 00:06:33,680
e otteniamo, otteniamo --- e questa è la parte emozionante --- otteniamo x

129
00:06:33,680 --> 00:06:42,850
è uguale a -B/2A piu' o meno questa cosa, quindi

130
00:06:42,850 --> 00:06:51,790
- B^2 - 4AC, tutto questo su 2A.

131
00:06:51,790 --> 00:06:53,850
E abbiamo già un denominatore comune, quindi possiamo

132
00:06:53,850 --> 00:06:55,130
semplicemente sommare le frazioni.

133
00:06:55,130 --> 00:06:58,880
Quindi abbiamo ottenuto --- e lo faccio in un vibrante grassetto ---

134
00:06:58,880 --> 00:07:02,570
non lo so, magari non troppo grassetto, ok, in verde --- quindi abbiamo

135
00:07:02,570 --> 00:07:10,970
otteniamo x è uguale a, numeratore, -B più o meno

136
00:07:10,970 --> 00:07:19,470
radice di B^2 - 4AC, tutto questo su 2A.

137
00:07:19,470 --> 00:07:23,010
E questa è la famosa formula quadratica.

138
00:07:23,010 --> 00:07:25,480
Percio' ecco qua, l'abbiamo dimostrata.

139
00:07:25,480 --> 00:07:28,410
E l'abbiamo dimostrata semplicemente usando il completamento del quadrato.

140
00:07:28,410 --> 00:07:31,570
Spero che tu lo abbia trovato almeno vagamente interessante.

141
00:07:31,570 --> 00:07:33,450
Ci vediamo nel prossimo video.