WEBVTT 00:00:00.720 --> 00:00:03.130 Nel video sul completamento del quadrato continuavo a dire che l'equazione di secondo grado 00:00:03.130 --> 00:00:05.810 e' solo il completamento del quadrato, 00:00:05.810 --> 00:00:07.450 tipo una scorciatoia per il completamento del quadrato. 00:00:07.450 --> 00:00:10.220 E avevo l'impressione di aver gia' fatto questa 00:00:10.220 --> 00:00:12.120 dimostrazione, ma ora mi rendo conto che non l'ho fatta. 00:00:12.120 --> 00:00:15.750 Quindi fammiti dimostrare l'equazione quadratica attraverso 00:00:15.750 --> 00:00:16.690 il completamento del quadrato. 00:00:16.690 --> 00:00:19.820 Usando il completamento del quadrato. 00:00:19.820 --> 00:00:23.210 Diciamo che ho un'equazione quadratica. 00:00:23.210 --> 00:00:25.870 Suppongo che l'equazione quadratica è effettivamente quello che stai cercando di 00:00:25.870 --> 00:00:28.760 risolvere, mentre quello che un sacco di gente chiama l'equazione quadratica 00:00:28.760 --> 00:00:29.960 e' in realtà la formula quadratica. 00:00:29.960 --> 00:00:33.100 Ma comunque non voglio restare impigliato nella terminologia. 00:00:33.100 --> 00:00:36.030 Ma diciamo che ho un'equazione di secondo grado che dice 00:00:36.030 --> 00:00:46.450 Ax^2 + Bx + C = 0. 00:00:46.450 --> 00:00:48.280 E usiamo semplicemente il completamento del quadrato. 00:00:48.280 --> 00:00:49.480 Quindi come lo facciamo? 00:00:49.480 --> 00:00:56.940 Beh sottraiamo C da entrambi i lati in modo da ottenere 00:00:56.940 --> 00:01:00.740 Ax^2 + Bx = -C. 00:01:00.740 --> 00:01:03.040 E come ho gia' detto nel video sul completamento del quadrato 00:01:03.040 --> 00:01:06.200 non mi piace avere questo coefficiente A qui. 00:01:06.200 --> 00:01:08.355 Mi piace avere solo il coefficiente 1 sul termine 00:01:08.355 --> 00:01:10.980 x^2 quindi fammi dividere tutto per A. 00:01:10.980 --> 00:01:21.440 Quindi ottengo x^2 + (B/A)x = --- devi 00:01:21.440 --> 00:01:24.695 dividere entrambi i lati per A --- -C/A. 00:01:27.940 --> 00:01:29.600 Ora siamo pronti per il completamento del quadrato. 00:01:29.600 --> 00:01:30.890 Cos'era il completamento del quadrato? 00:01:30.890 --> 00:01:34.790 Beh è in aggiungere qualcosa in qualche modo a questa espressione così che 00:01:34.790 --> 00:01:38.590 prenda la forma di qualcosa che è il quadrato 00:01:38.590 --> 00:01:39.140 di un'espressione. 00:01:39.140 --> 00:01:39.940 Che voglio dire con questo? 00:01:39.940 --> 00:01:43.400 Beh, lo faccio qui da una parte. 00:01:43.400 --> 00:01:51.950 Se ti dicessi che (x + a)^2, è uguale a 00:01:51.950 --> 00:01:57.500 x^2 + 2ax + a^2, giusto? 00:01:57.500 --> 00:02:01.330 Quindi, se potessi aggiungere qualcosa qui affinché il lato sinistro 00:02:01.330 --> 00:02:05.810 di questa espressione sembri fatta cosi', potrei 00:02:05.810 --> 00:02:06.330 andare nella direzione opposta. 00:02:06.330 --> 00:02:09.690 Potrei dire che questo sara' (x + qualcosa)^2. 00:02:09.690 --> 00:02:11.590 Quindi che cosa devo sommare su entrambi i lati? 00:02:11.590 --> 00:02:15.140 Se hai visto il video sul completamento del quadrato, dovrebbe essere 00:02:15.140 --> 00:02:17.730 intuitivo per te, si spera. 00:02:17.730 --> 00:02:21.510 Quello che fai è dire: beh, questo B/A, questo corrisponde al 00:02:21.510 --> 00:02:26.183 termine 2a, quindi A sara' la metà di questo, sara' 00:02:26.183 --> 00:02:28.010 la metà di questo coefficiente. 00:02:28.010 --> 00:02:29.100 Questo sarebbe la A. 00:02:29.100 --> 00:02:31.620 E poi quello che devo aggiungere e' A al quadrato. 00:02:31.620 --> 00:02:34.930 Quindi devo prendere la metà di questo, elevarlo al quadrato 00:02:34.930 --> 00:02:36.110 e poi aggiungerlo a entrambi i lati. 00:02:36.110 --> 00:02:38.865 Fammelo fare in un colore diverso. 00:02:38.865 --> 00:02:40.810 Lo faccio in magenta. 00:02:40.810 --> 00:02:42.650 Quindi prendo la metà di questo --- sto solo completando 00:02:42.650 --> 00:02:45.100 il quadrato, faccio solo questo, nessuna magia qui --- 00:02:45.100 --> 00:02:47.450 quindi piu' la metà di questo. 00:02:47.450 --> 00:02:50.230 Beh, la metà di quello è B/2A, giusto? 00:02:50.230 --> 00:02:52.130 Moltiplichi semplicemente per 1/2. 00:02:52.130 --> 00:02:54.240 E lo devo elevare al quadrato. 00:02:54.240 --> 00:02:55.893 Beh, se l'ho fatto sul lato sinistro dell'equazione, 00:02:55.893 --> 00:02:57.660 devo farlo anche a destra. 00:02:57.660 --> 00:03:01.206 Quindi più (B/2A)^2. 00:03:07.470 --> 00:03:10.670 E ora ho questo lato sinistro dell'equazione nella 00:03:10.670 --> 00:03:13.750 forma che è il quadrato di un'espressione che è 00:03:13.750 --> 00:03:14.950 x più di qualcosa. 00:03:14.950 --> 00:03:15.880 E che cosa si tratta? 00:03:15.880 --> 00:03:19.970 Beh questo è uguale a --- fammi cambiare di nuovo colore --- a cosa 00:03:19.970 --> 00:03:21.730 e' uguale il lato sinistro di questa equazione? 00:03:21.730 --> 00:03:24.520 E puoi semplicemente usare questo modello e andare a sinistra. 00:03:24.520 --> 00:03:28.730 E' x più che cosa? 00:03:28.730 --> 00:03:32.960 Bene abbiamo detto: a --- puoi farlo in due modi --- una è 1/2 di questo 00:03:32.960 --> 00:03:36.390 coefficiente o a è la radice quadrata del coefficiente di o 00:03:36.390 --> 00:03:38.310 visto che nemmeno lo abbiamo elevato sappiamo che questo 00:03:38.310 --> 00:03:40.970 è a. B/2A è a. 00:03:40.970 --> 00:03:49.060 Quindi è come dire (x + (b/2a))^2 00:03:49.060 --> 00:03:55.980 e cio' è uguale a --- vediamo se possiamo semplificarlo 00:03:55.980 --> 00:04:00.230 o renderlo un po' più pulito --- è uguale a --- 00:04:00.230 --> 00:04:04.760 vedi, se avessi un denominatore comune --- sto solo usando un 00:04:04.760 --> 00:04:07.600 po' d'algebra --- vedi, quando elevo questo al quadrato 00:04:07.600 --> 00:04:10.780 diventa 4A^2 --- fammelo scrivere. 00:04:10.780 --> 00:04:15.740 Questo è uguale a B^2 / 4A^2. 00:04:15.740 --> 00:04:16.710 Giusto? 00:04:16.710 --> 00:04:19.860 E percio' se devo sommare queste due frazioni, fammelo rendere 00:04:19.860 --> 00:04:29.550 pari 4A^2. 00:04:29.550 --> 00:04:30.330 Giusto? 00:04:30.330 --> 00:04:31.750 E se il denominatore è 4A^2, che cosa 00:04:31.750 --> 00:04:34.360 diventa -C/A ? 00:04:34.360 --> 00:04:40.280 Se moltiplico il denominatore per 4A devo 00:04:40.280 --> 00:04:41.810 moltiplicare il numeratore per 4A. 00:04:41.810 --> 00:04:50.090 Percio' questo diventa -4AC, giusto? 00:04:50.090 --> 00:04:53.030 E poi B^2 / 4A^2, beh e' 00:04:53.030 --> 00:04:54.810 ancora solo B^2. 00:04:54.810 --> 00:04:56.520 Sto solo usando un po' di algrebra. 00:04:56.520 --> 00:04:57.520 Spero non ti stia confondendo. 00:04:57.520 --> 00:04:59.470 Ho solo scritto questo in forma espansa. 00:04:59.470 --> 00:05:02.330 Ho solo fatto il quadrato di questo, B^2 / 4A^2. 00:05:02.330 --> 00:05:04.790 E poi ho sommato questo a questo, ho ottenuto un denominatore comune. 00:05:04.790 --> 00:05:09.710 E -C/A è come -4AC / 4A^2. 00:05:09.710 --> 00:05:11.570 E ora possiamo fare la radice quadrata di entrambi 00:05:11.570 --> 00:05:13.240 i lati di questa equazione. 00:05:13.240 --> 00:05:15.760 E si spera che questo inizi a sembrarti 00:05:15.760 --> 00:05:17.490 un po' familiare. 00:05:17.490 --> 00:05:19.290 Quindi vediamo, otteniamo x. 00:05:19.290 --> 00:05:21.080 Quindi, se facciamo la radice quadrata di entrambi i lati di questa equazione 00:05:21.080 --> 00:05:29.780 otteniamo x + B/2A è uguale alla radice quadrata di questo --- 00:05:29.780 --> 00:05:32.180 facciamo la radice quadrata del numeratore e del demoninatore. 00:05:32.180 --> 00:05:35.950 Quindi il numeratore è --- metto prima la B^2, scambio 00:05:35.950 --> 00:05:38.110 solo l'ordine, non importa --- 00:05:38.110 --> 00:05:43.660 la radice quadrata di B^2 - 4AC, giusto? 00:05:43.660 --> 00:05:46.440 Questo è solo il numeratore. 00:05:46.440 --> 00:05:48.240 Faccio solo la radice quadrata di questo, e dobbiamo fare anche 00:05:48.240 --> 00:05:49.770 la radice quadrata del denominatore. 00:05:49.770 --> 00:05:51.970 Quant'e' la radice quadrata di 4A^2? 00:05:51.970 --> 00:05:54.020 Beh è solo 2A, giusto? 00:05:54.020 --> 00:05:55.950 2A. 00:05:55.950 --> 00:05:56.800 E ora che cosa facciamo? 00:05:56.800 --> 00:05:58.640 Oh, è molto importante! 00:05:58.640 --> 00:06:00.400 Quando facciamo la radice quadrata, non è solo la 00:06:00.400 --> 00:06:01.070 radice quadrata positiva. 00:06:01.070 --> 00:06:03.450 È piu' o meno radice quadrata. 00:06:03.450 --> 00:06:06.600 L'abbiamo visto un paio di volte, quando abbiamo fatto --- e potresti 00:06:06.600 --> 00:06:09.090 dire: anche qui e' piu' o meno, ma se metti il più o meno 00:06:09.090 --> 00:06:10.800 sulla parte superiore e un più o meno sul fondo, 00:06:10.800 --> 00:06:12.290 ti basta scriverlo una volta sola sulla parte superiore. 00:06:12.290 --> 00:06:14.930 Ti lascio a pensare perché lo devi scrivere una volta sola. 00:06:14.930 --> 00:06:17.560 Se hai un meno e un piu', o un piu' e un piu' 00:06:17.560 --> 00:06:19.250 si annullano, o un negativo e un negativo, 00:06:19.250 --> 00:06:20.790 che è come avere un piu' di sopra. 00:06:20.790 --> 00:06:22.210 Comunque, mi sa che hai capito. 00:06:22.210 --> 00:06:26.140 E ora dobbiamo solo sottrarre B/2A da entrambi i lati. 00:06:26.140 --> 00:06:33.680 e otteniamo, otteniamo --- e questa è la parte emozionante --- otteniamo x 00:06:33.680 --> 00:06:42.850 è uguale a -B/2A piu' o meno questa cosa, quindi 00:06:42.850 --> 00:06:51.790 - B^2 - 4AC, tutto questo su 2A. 00:06:51.790 --> 00:06:53.850 E abbiamo già un denominatore comune, quindi possiamo 00:06:53.850 --> 00:06:55.130 semplicemente sommare le frazioni. 00:06:55.130 --> 00:06:58.880 Quindi abbiamo ottenuto --- e lo faccio in un vibrante grassetto --- 00:06:58.880 --> 00:07:02.570 non lo so, magari non troppo grassetto, ok, in verde --- quindi abbiamo 00:07:02.570 --> 00:07:10.970 otteniamo x è uguale a, numeratore, -B più o meno 00:07:10.970 --> 00:07:19.470 radice di B^2 - 4AC, tutto questo su 2A. 00:07:19.470 --> 00:07:23.010 E questa è la famosa formula quadratica. 00:07:23.010 --> 00:07:25.480 Percio' ecco qua, l'abbiamo dimostrata. 00:07:25.480 --> 00:07:28.410 E l'abbiamo dimostrata semplicemente usando il completamento del quadrato. 00:07:28.410 --> 00:07:31.570 Spero che tu lo abbia trovato almeno vagamente interessante. 00:07:31.570 --> 00:07:33.450 Ci vediamo nel prossimo video.