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帕斯卡三角形裡的數學秘密 - Wajdi Mohamed Ratemi

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    這看起來像是一堆整齊、
    精心排列的數字
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    其實是個數學百寶箱
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    印度數學家稱之為「須彌山之梯」
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    在伊朗稱作「海亞姆三角形」
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    在中國稱作「楊輝三角」
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    對多數西方世界來說，
    它是「帕斯卡三角形」
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    由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名
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    似乎有些不公平，
    他的研究時間明顯較晚
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    但他仍有許多貢獻
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    究竟是什麼讓世界上的數學家
    如此感興趣呢？
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    簡單來說，它充滿了許多型式和秘密
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    首先且最重要的，
    有個產生三角形的型式
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    從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0
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    將它們兩兩相加，便能得到下一列
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    然後不斷的重複
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    繼續下去，你會得到像這樣的東西
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    按理來說，帕斯卡三角形是無限大的
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    每一列對應到二項式 (x+y)^n
    展開時的係數
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    n 代表列數
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    從 0 開始算起
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    所以，當 n=2 並將式子展開
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    你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)
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    其係數，即在變數前的數字
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    與帕斯卡三角形裡
    對應列的數字完全吻合
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    同樣地，當 n=3 時
    展開會得到這樣的係數
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    所以，要查詢所有係數時，
    這三角形是快又簡單的方式
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    還不止這樣
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    譬如，個別把每列的數字加起來
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    你會得到連續的 2 的次方
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    或是將其中一列作十進位展開
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    也就是說
    第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)
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    會得到 121，也就是 11^2
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    看看如果對第六列也這樣做，
    會發生什麼事
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    總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推
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    除此之外也有幾何的運用
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    看一下對角線
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    最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1，
    再來就是正整數
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    即是所謂的自然數
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    但下一個對角線數字就是三角形數
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    因為如果拿這些數目的點
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    你可以把它們組成一個個正三角形
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    下一條對角線是四面體的數字
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    因為同樣地，
    你能用這數目的球堆出四面體
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    或這樣，把奇數的部分上色
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    當三角形還小時，看起來不怎麼樣
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    但若是加到好幾千列
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    會得到一個碎形，
    稱為「謝爾賓斯基三角形」
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    這三角形不只是個數學的藝術
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    它也相當的實用
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    尤其在組合數學領域裡的
    機率和計算
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    假設，你想要有 5 個小孩
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    想知道理想中的家庭
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    有 3 個女孩和 2 個男孩的機率
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    在二項式展開中
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    相當於女加男的 5 次方
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    所以我們看第五列
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    第一個數字
    代表有 5 個女孩的可能性
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    最後一個數字
    代表有 5 個男孩的可能性
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    而第三個數字就是我們要找的
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    整列所有可能性總和
    當中的 10 個可能性
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    因此機率為 10/32，也就是 31.25%
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    或是你隨機在 12 個朋友中
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    挑出 5 人組籃球隊
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    總共會有多少種五人組合呢？
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    在組合數學術語中，
    這問題的用語表達是 12 取 5
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    可用此公式算出
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    或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字
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    得到你要的答案
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    帕斯卡三角形中的諸多型式
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    是由數學優雅交織而成的驗證
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    至今仍為我們揭開新的秘密
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    舉例來說，
    數學家們最近找到一個方法來展開
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    像這樣的多項式
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    接下來會有怎樣的發現呢？
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    就要看你囉！
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    翻譯：Kelly Liu
Title:
帕斯卡三角形裡的數學秘密 - Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

完整課程請見：http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

乍看之下，帕斯卡三角形是一堆整齊、精心排列的數字，其實是個數學百寶箱。到底它為什麼能讓全世界的數學家如此著迷？Wajdi Mohamed Retemi 讓我們看到為什麼帕斯卡三角形內充滿著型式及秘密。

課程提供：Wajdi Mohamed Ratemi，動畫製作：Henrik Malmgren
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Chinese, Traditional subtitles

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