這看起來像是一堆整齊、 精心排列的數字
其實是個數學百寶箱
印度數學家稱之為「須彌山之梯」
在伊朗稱作「海亞姆三角形」
在中國稱作「楊輝三角」
對多數西方世界來說， 它是「帕斯卡三角形」
由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名
似乎有些不公平， 他的研究時間明顯較晚
但他仍有許多貢獻
究竟是什麼讓世界上的數學家 如此感興趣呢？
簡單來說，它充滿了許多型式和秘密
首先且最重要的， 有個產生三角形的型式
從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0
將它們兩兩相加，便能得到下一列
然後不斷的重複
繼續下去，你會得到像這樣的東西
按理來說，帕斯卡三角形是無限大的
每一列對應到二項式 (x+y)^n 展開時的係數
n 代表列數
從 0 開始算起
所以，當 n=2 並將式子展開
你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)
其係數，即在變數前的數字
與帕斯卡三角形裡 對應列的數字完全吻合
同樣地，當 n=3 時 展開會得到這樣的係數
所以，要查詢所有係數時， 這三角形是快又簡單的方式
還不止這樣
譬如，個別把每列的數字加起來
你會得到連續的 2 的次方
或是將其中一列作十進位展開
也就是說 第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)
會得到 121，也就是 11^2
看看如果對第六列也這樣做， 會發生什麼事
總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推
除此之外也有幾何的運用
看一下對角線
最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1， 再來就是正整數
即是所謂的自然數
但下一個對角線數字就是三角形數
因為如果拿這些數目的點
你可以把它們組成一個個正三角形
下一條對角線是四面體的數字
因為同樣地， 你能用這數目的球堆出四面體
或這樣，把奇數的部分上色
當三角形還小時，看起來不怎麼樣
但若是加到好幾千列
會得到一個碎形， 稱為「謝爾賓斯基三角形」
這三角形不只是個數學的藝術
它也相當的實用
尤其在組合數學領域裡的 機率和計算
假設，你想要有 5 個小孩
想知道理想中的家庭
有 3 個女孩和 2 個男孩的機率
在二項式展開中
相當於女加男的 5 次方
所以我們看第五列
第一個數字 代表有 5 個女孩的可能性
最後一個數字 代表有 5 個男孩的可能性
而第三個數字就是我們要找的
整列所有可能性總和 當中的 10 個可能性
因此機率為 10/32，也就是 31.25%
或是你隨機在 12 個朋友中
挑出 5 人組籃球隊
總共會有多少種五人組合呢？
在組合數學術語中， 這問題的用語表達是 12 取 5
可用此公式算出
或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字
得到你要的答案
帕斯卡三角形中的諸多型式
是由數學優雅交織而成的驗證
至今仍為我們揭開新的秘密
舉例來說， 數學家們最近找到一個方法來展開
像這樣的多項式
接下來會有怎樣的發現呢？
就要看你囉！
翻譯：Kelly Liu