1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
這看起來像是一堆整齊、
精心排列的數字


2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
其實是個數學百寶箱

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
印度數學家稱之為「須彌山之梯」

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
在伊朗稱作「海亞姆三角形」

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
在中國稱作「楊輝三角」

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
對多數西方世界來說，
它是「帕斯卡三角形」


7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
似乎有些不公平，
他的研究時間明顯較晚


9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
但他仍有許多貢獻

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
究竟是什麼讓世界上的數學家
如此感興趣呢？


11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
簡單來說，它充滿了許多型式和秘密

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
首先且最重要的， 
有個產生三角形的型式


13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
將它們兩兩相加，便能得到下一列

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
然後不斷的重複

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
繼續下去，你會得到像這樣的東西

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
按理來說，帕斯卡三角形是無限大的

18
00:01:09,325 --> 00:01:18,904
每一列對應到二項式 (x+y)^n
展開時的係數 


19
00:01:18,904 --> 00:01:21,307
n 代表列數

20
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
從 0 開始算起

21
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
所以，當 n=2 並將式子展開

22
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)

23
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
其係數，即在變數前的數字

24
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
與帕斯卡三角形裡
對應列的數字完全吻合


25
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
同樣地，當 n=3 時
展開會得到這樣的係數


26
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
所以，要查詢所有係數時，
這三角形是快又簡單的方式


27
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
還不止這樣

28
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
譬如，個別把每列的數字加起來

29
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
你會得到連續的 2 的次方

30
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
或是將其中一列作十進位展開

31
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
也就是說
第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)


32
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
會得到 121，也就是 11^2

33
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
看看如果對第六列也這樣做，
會發生什麼事


34
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推

35
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
除此之外也有幾何的運用

36
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
看一下對角線

37
00:02:29,691 --> 00:02:34,117
最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1，
再來就是正整數

38
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
即是所謂的自然數

39
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
但下一個對角線數字就是三角形數

40
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
因為如果拿這些數目的點

41
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
你可以把它們組成一個個正三角形

42
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
下一條對角線是四面體的數字

43
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
因為同樣地，
你能用這數目的球堆出四面體


44
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
或這樣，把奇數的部分上色

45
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
當三角形還小時，看起來不怎麼樣

46
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
但若是加到好幾千列

47
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
會得到一個碎形，
稱為「謝爾賓斯基三角形」


48
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
這三角形不只是個數學的藝術

49
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
它也相當的實用

50
00:03:12,742 --> 00:03:18,571
尤其在組合數學領域裡的
機率和計算 


51
00:03:18,571 --> 00:03:20,454
假設，你想要有 5 個小孩

52
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
想知道理想中的家庭

53
00:03:22,270 --> 00:03:26,590
有 3 個女孩和 2 個男孩的機率

54
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
在二項式展開中

55
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
相當於女加男的 5 次方

56
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
所以我們看第五列

57
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
第一個數字
代表有 5 個女孩的可能性


58
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
最後一個數字
代表有 5 個男孩的可能性


59
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
而第三個數字就是我們要找的

60
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
整列所有可能性總和
當中的 10 個可能性


61
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
因此機率為 10/32，也就是 31.25%

62
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
或是你隨機在 12 個朋友中

63
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
挑出 5 人組籃球隊

64
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
總共會有多少種五人組合呢？

65
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
在組合數學術語中， 
這問題的用語表達是 12 取 5


66
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
可用此公式算出

67
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字

68
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
得到你要的答案

69
00:04:13,383 --> 00:04:15,079
帕斯卡三角形中的諸多型式

70
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
是由數學優雅交織而成的驗證

71
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
至今仍為我們揭開新的秘密

72
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
舉例來說，
數學家們最近找到一個方法來展開


73
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
像這樣的多項式

74
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
接下來會有怎樣的發現呢？

75
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
就要看你囉！

76
00:04:34,102 --> 00:04:39,822
翻譯：Kelly Liu