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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:07.60,0:00:11.00,Default,,0000,0000,0000,,這看起來像是一堆整齊、\N精心排列的數字\N
Dialogue: 0,0:00:11.00,0:00:14.51,Default,,0000,0000,0000,,其實是個數學百寶箱
Dialogue: 0,0:00:14.51,0:00:18.65,Default,,0000,0000,0000,,印度數學家稱之為「須彌山之梯」
Dialogue: 0,0:00:18.65,0:00:21.13,Default,,0000,0000,0000,,在伊朗稱作「海亞姆三角形」
Dialogue: 0,0:00:21.13,0:00:23.74,Default,,0000,0000,0000,,在中國稱作「楊輝三角」
Dialogue: 0,0:00:23.74,0:00:28.03,Default,,0000,0000,0000,,對多數西方世界來說，\N它是「帕斯卡三角形」\N
Dialogue: 0,0:00:28.03,0:00:31.08,Default,,0000,0000,0000,,由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名
Dialogue: 0,0:00:31.08,0:00:35.23,Default,,0000,0000,0000,,似乎有些不公平，\N他的研究時間明顯較晚\N
Dialogue: 0,0:00:35.23,0:00:37.48,Default,,0000,0000,0000,,但他仍有許多貢獻
Dialogue: 0,0:00:37.48,0:00:42.27,Default,,0000,0000,0000,,究竟是什麼讓世界上的數學家\N如此感興趣呢？\N
Dialogue: 0,0:00:42.27,0:00:46.12,Default,,0000,0000,0000,,簡單來說，它充滿了許多型式和秘密
Dialogue: 0,0:00:46.12,0:00:49.43,Default,,0000,0000,0000,,首先且最重要的， \N有個產生三角形的型式\N
Dialogue: 0,0:00:49.43,0:00:54.48,Default,,0000,0000,0000,,從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0
Dialogue: 0,0:00:54.48,0:00:58.59,Default,,0000,0000,0000,,將它們兩兩相加，便能得到下一列
Dialogue: 0,0:00:58.59,0:01:02.07,Default,,0000,0000,0000,,然後不斷的重複
Dialogue: 0,0:01:02.07,0:01:05.78,Default,,0000,0000,0000,,繼續下去，你會得到像這樣的東西
Dialogue: 0,0:01:05.78,0:01:09.32,Default,,0000,0000,0000,,按理來說，帕斯卡三角形是無限大的
Dialogue: 0,0:01:09.32,0:01:18.90,Default,,0000,0000,0000,,每一列對應到二項式 (x+y)^n\N展開時的係數 \N
Dialogue: 0,0:01:18.90,0:01:21.31,Default,,0000,0000,0000,,n 代表列數
Dialogue: 0,0:01:21.31,0:01:23.75,Default,,0000,0000,0000,,從 0 開始算起
Dialogue: 0,0:01:23.75,0:01:26.55,Default,,0000,0000,0000,,所以，當 n=2 並將式子展開
Dialogue: 0,0:01:26.55,0:01:31.11,Default,,0000,0000,0000,,你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)
Dialogue: 0,0:01:31.11,0:01:34.02,Default,,0000,0000,0000,,其係數，即在變數前的數字
Dialogue: 0,0:01:34.02,0:01:38.40,Default,,0000,0000,0000,,與帕斯卡三角形裡\N對應列的數字完全吻合\N
Dialogue: 0,0:01:38.40,0:01:43.26,Default,,0000,0000,0000,,同樣地，當 n=3 時\N展開會得到這樣的係數\N
Dialogue: 0,0:01:43.26,0:01:48.49,Default,,0000,0000,0000,,所以，要查詢所有係數時，\N這三角形是快又簡單的方式\N
Dialogue: 0,0:01:48.49,0:01:50.04,Default,,0000,0000,0000,,還不止這樣
Dialogue: 0,0:01:50.04,0:01:52.90,Default,,0000,0000,0000,,譬如，個別把每列的數字加起來
Dialogue: 0,0:01:52.90,0:01:56.04,Default,,0000,0000,0000,,你會得到連續的 2 的次方
Dialogue: 0,0:01:56.04,0:02:01.22,Default,,0000,0000,0000,,或是將其中一列作十進位展開
Dialogue: 0,0:02:01.22,0:02:07.84,Default,,0000,0000,0000,,也就是說\N第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)\N
Dialogue: 0,0:02:07.84,0:02:12.11,Default,,0000,0000,0000,,會得到 121，也就是 11^2
Dialogue: 0,0:02:12.11,0:02:15.87,Default,,0000,0000,0000,,看看如果對第六列也這樣做，\N會發生什麼事\N
Dialogue: 0,0:02:15.87,0:02:25.14,Default,,0000,0000,0000,,總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推
Dialogue: 0,0:02:25.14,0:02:27.89,Default,,0000,0000,0000,,除此之外也有幾何的運用
Dialogue: 0,0:02:27.89,0:02:29.69,Default,,0000,0000,0000,,看一下對角線
Dialogue: 0,0:02:29.69,0:02:34.12,Default,,0000,0000,0000,,最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1，\N再來就是正整數
Dialogue: 0,0:02:34.12,0:02:36.66,Default,,0000,0000,0000,,即是所謂的自然數
Dialogue: 0,0:02:36.66,0:02:40.71,Default,,0000,0000,0000,,但下一個對角線數字就是三角形數
Dialogue: 0,0:02:40.71,0:02:42.78,Default,,0000,0000,0000,,因為如果拿這些數目的點
Dialogue: 0,0:02:42.78,0:02:46.39,Default,,0000,0000,0000,,你可以把它們組成一個個正三角形
Dialogue: 0,0:02:46.39,0:02:49.31,Default,,0000,0000,0000,,下一條對角線是四面體的數字
Dialogue: 0,0:02:49.31,0:02:54.62,Default,,0000,0000,0000,,因為同樣地，\N你能用這數目的球堆出四面體\N
Dialogue: 0,0:02:54.62,0:02:57.100,Default,,0000,0000,0000,,或這樣，把奇數的部分上色
Dialogue: 0,0:02:57.100,0:03:00.88,Default,,0000,0000,0000,,當三角形還小時，看起來不怎麼樣
Dialogue: 0,0:03:00.88,0:03:03.30,Default,,0000,0000,0000,,但若是加到好幾千列
Dialogue: 0,0:03:03.30,0:03:07.44,Default,,0000,0000,0000,,會得到一個碎形，\N稱為「謝爾賓斯基三角形」\N
Dialogue: 0,0:03:07.44,0:03:10.76,Default,,0000,0000,0000,,這三角形不只是個數學的藝術
Dialogue: 0,0:03:10.76,0:03:12.74,Default,,0000,0000,0000,,它也相當的實用
Dialogue: 0,0:03:12.74,0:03:18.57,Default,,0000,0000,0000,,尤其在組合數學領域裡的\N機率和計算 \N
Dialogue: 0,0:03:18.57,0:03:20.45,Default,,0000,0000,0000,,假設，你想要有 5 個小孩
Dialogue: 0,0:03:20.45,0:03:22.27,Default,,0000,0000,0000,,想知道理想中的家庭
Dialogue: 0,0:03:22.27,0:03:26.59,Default,,0000,0000,0000,,有 3 個女孩和 2 個男孩的機率
Dialogue: 0,0:03:26.59,0:03:28.39,Default,,0000,0000,0000,,在二項式展開中
Dialogue: 0,0:03:28.39,0:03:32.12,Default,,0000,0000,0000,,相當於女加男的 5 次方
Dialogue: 0,0:03:32.12,0:03:33.66,Default,,0000,0000,0000,,所以我們看第五列
Dialogue: 0,0:03:33.66,0:03:37.13,Default,,0000,0000,0000,,第一個數字\N代表有 5 個女孩的可能性\N
Dialogue: 0,0:03:37.13,0:03:39.93,Default,,0000,0000,0000,,最後一個數字\N代表有 5 個男孩的可能性\N
Dialogue: 0,0:03:39.93,0:03:42.69,Default,,0000,0000,0000,,而第三個數字就是我們要找的
Dialogue: 0,0:03:42.69,0:03:46.64,Default,,0000,0000,0000,,整列所有可能性總和\N當中的 10 個可能性\N
Dialogue: 0,0:03:46.64,0:03:51.49,Default,,0000,0000,0000,,因此機率為 10/32，也就是 31.25%
Dialogue: 0,0:03:51.49,0:03:55.32,Default,,0000,0000,0000,,或是你隨機在 12 個朋友中
Dialogue: 0,0:03:55.32,0:03:57.08,Default,,0000,0000,0000,,挑出 5 人組籃球隊
Dialogue: 0,0:03:57.08,0:04:00.10,Default,,0000,0000,0000,,總共會有多少種五人組合呢？
Dialogue: 0,0:04:00.10,0:04:05.06,Default,,0000,0000,0000,,在組合數學術語中， \N這問題的用語表達是 12 取 5\N
Dialogue: 0,0:04:05.06,0:04:07.24,Default,,0000,0000,0000,,可用此公式算出
Dialogue: 0,0:04:07.24,0:04:11.71,Default,,0000,0000,0000,,或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字
Dialogue: 0,0:04:11.71,0:04:13.38,Default,,0000,0000,0000,,得到你要的答案
Dialogue: 0,0:04:13.38,0:04:15.08,Default,,0000,0000,0000,,帕斯卡三角形中的諸多型式
Dialogue: 0,0:04:15.08,0:04:19.39,Default,,0000,0000,0000,,是由數學優雅交織而成的驗證
Dialogue: 0,0:04:19.39,0:04:23.27,Default,,0000,0000,0000,,至今仍為我們揭開新的秘密
Dialogue: 0,0:04:23.27,0:04:27.42,Default,,0000,0000,0000,,舉例來說，\N數學家們最近找到一個方法來展開\N
Dialogue: 0,0:04:27.42,0:04:30.02,Default,,0000,0000,0000,,像這樣的多項式
Dialogue: 0,0:04:30.02,0:04:31.76,Default,,0000,0000,0000,,接下來會有怎樣的發現呢？
Dialogue: 0,0:04:31.76,0:04:34.10,Default,,0000,0000,0000,,就要看你囉！
Dialogue: 0,0:04:34.10,0:04:39.82,Default,,0000,0000,0000,,翻譯：Kelly Liu